Teori Bilangan dan Jenis-Jenis Bilangan

Sejak masa anak-anak, kita telah akrab dengan angka. Ketika memasuki dunia sekolah, kita akan belajar tentang matematika. Ia diajarkan secara bertahap sesuai dengan tingkatan sekolah. Ketika duduk di bangku sekolah dasar, kita diajarkan penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan sederhana.

Beranjak ke jenjang sekolah menengah pertama (SMP), kita mulai menghitung luas bangun datar ataupun volume bangun ruang dengan kerumitan yang lebih tinggi. Ketika memasuki jenjang sekolah menengah atas (SMA), kita mulai belajar menentukan sudut di satu titik dalam bangun datar ataupun ruang, dan materi-materi SMA lainnya.

Lalu, teori bilangan itu apa? Operasi bilangan apa saja yang termasuk di dalamnya? Berikut akan dibahas secara tuntas, Grameds dapat menyimak paparan berikut ini.

Konsep Teori Bilangan

Secara tradisional, teori bilangan dirumuskan sebagai cabang dari matematika murni yang menelaah mengenai sifat-sifat bilangan bulat. Di dalamnya juga membahas mengenai berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dipahami oleh orang yang tidak memiliki keahlian di bidang matematika.

Melansir dari laman kumparan.com, operasi hitung bilangan juga dirumuskan sebagai salah satu kegiatan yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, pembagian, dan perkalian dalam perhitungan susunan angka atau bilangan. Mengacu pada pengertian tersebut maka operasi hitung memiliki beberapa macam sebagai berikut.

• Penjumlahan merupakan penggabungan atau menjumlahkan dua atau lebih bilangan sehingga menjadi bilangan baru.
• Pengurangan merupakan pengambilan sejumlah bilangan dari bilangan tertentu sehingga jumlah bilangannya akan berkurang.
• Perkalian merupakan penjumlahan yang dilakukan secara berulang. Perkalian juga dapat dipahami sebagai proses menjumlahkan bilangan yang sama, sebanyak bilangan pengali.
• Pembagian merupakan pengurangan yang berulang. Ia juga dapat dipahami sebagai pembagian suatu bilangan dalam beberapa kelompok dengan jumlah yang sama.

Selain operasi bilangan yang telah disebutkan di atas, terdapat pula jenis operasi hitung campuran. Pada umumnya, dalam sebuah operasi hitung bilangan campuran akan menemukan beragam jenis operasi hitung dalam satu soal.

Sebagai contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan/atau pembagian dalam satu soal. Oleh sebab itu, untuk menghitung dengan operasi bilangan campuran harus memperkatikan beberapa hal sebagai berikut.

• Jika dalam operasi hitung terdapat penjumlahan dan pengurangan, maka kerjakan terlebih dahulu operasi hitung sebelah kiri
• Jika dalam operasi hitung terdapat perkalian dan pembagian, maka kerjakan terlebih dahulu operasi hitung sebelah kiri
• Jika dalam operasi hitung terdapat penjumlahan atau pengurangan dan perkalian atau pembagian, maka kerjakan terlebih dahulu perkalian atau pembagian
• Jika terdapat operasi hitung dalam tanda kurung, maka kerjakan terlebih dahulu operasi hitung dalam tanda kurung tersebut

Jenis-Jenis Bilangan

Setelah memahami teori bilangan, Grameds dapat menyimak paparan berikut ini mengenai jenis-jenis bilangan.

1. Bilangan Asli

Terdapat dua pemahaman mengenai himpunan bilangan asli. Pertama, secara tradisional, bilangan tradisional merupakan himpunan bilangan positif yang bukan nol {1, 2, 3, 4, …}. Kedua, bilangan asli dipahami sebagai himpunan bilangan nol dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, …}.

Konsep bilangan asli menjadi salah satu konsep matematika paling sederhana. Tidak hanya itu, konsep bilangan asli menjadi konsep pertama yang dapat dipelajari dan dipahami oleh manusia bahkan dari beberapa riset menunjukkan jika beberapa jenis kera juga dapat memahaminya.

Bilangan asli digunakan sebagai pembilang, penghitung, dan sebagainya. Bilangan asli memiliki kaitan dengan bilangan prima. Tidak hanya itu, dalam matematika lanjut, bilangan asli dapat diterapkan untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat hitungan suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya 1 merupakan konsep asbtrak yang tidak bisa ditangkap oleh indera manusia, tetapi memiliki sifat universal. Salah satu cara untuk memperkenalkan konsep semua himpunan bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak melalui aksioma peano.

Konsep bilangan-bilangan yang lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh. Bahkan, tidak jarang memerlukan adanya kedalaman logika untuk dapat memahami dan mendefinisikannya.

Sebagai contoh dalam teori matematika, himpunan semua bilangan rasional dapat dibangun secara bertahap, dimulai dari himpunan bilangan-bilangan asli. Grameds, dapat memahami himpunan bilangan asli sebagai himpunan bilangan bulat potisit yang bukan nol. Sebutan lain dari bilangan asli adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif). Sebagai contoh bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,….

2. Bilangan Prima

Bilangan prima merupakan bilangan asli yang lebih besar daripada 1 serta faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Sebagai contoh angka 2 dan 3 menjadi bagian dari bilangan prima. Sedangkan, 4 bukan bilangan prima karena 4 dapat dibagi 2.

Sepuluh bilangan prima pertama terdiri dari angka 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, dan 29. Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu, tidak termasuk dalam bilangan prima maka bilangan tersebut disebut dengan bilangan komposit.

Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menerapkan saringan Eratosthenes. Secara matematis, tidak ada “bilangan prima yang besar”, hal tersebut disebabkan oleh jumlah bilangan prima adalah tidak terhingga.

Bilangan prima merupakan bilangan-bilangan asli yang hanya dapat dibagi dirinya sendiri dan 1. Atau bilangan yang memiliki 2 faktor dan angka satu bukan termasuk bilangan prima. Sebagai contoh 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ….

3. Bilangan Cacah

Bilangan cacah merupakan himpunan bilangan bulat positif, yakni {0, 1, 2, 3 …}. Sederhananya, bilangan cacah terdiri dari himpunan bilangan asli ditambah angka 0. Sebagai contoh 0,1,2,3,4,5,6,7,….

4. Bilangan Bulat

Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif. Sebagai contoh -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Adapun sifat-sifat dari penjumlahan bilangan bulat sebagai berikut.

• Sifat Tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

• Sifat Komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

• Sifat Asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

• Mempunyai Unsur Identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

• Mempunyai Invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah – a, sedangkan invers dari –a adalah a.

Berikut sifat-sifat yang berlaku dalam operasi bilangan bilat.

• Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b). 4.
• Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.
• Jika p dan q bilangan bulat maka

1. p x q = pq;
2. (–p) x q = –(p x q) = –pq;
3. p x (–q) = –(p x q) = –pq;
4. (–p) x (–q) = p x q = pq.

• Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

1. tertutup terhadap operasi perkalian;
2. komutatif: p x q = q x p;
3. asosiatif: (p x q) x r = p x (q x r);
4. distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x r);
5. distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x r).

• Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.
• Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.
• Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.
• Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut. (a) Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. (b) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu. (c) Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

5. Bilangan Rasional

Bilangan rasional merupakan bilangan yang dinyatakan dengan p/q, yang mana p,q ϵ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu bilangan desimal secara berulang-ulang. Bilangan ini juga menjadi bagian bilangan yang dapat dinyatakan sebagai a/b, yang mana a dan b bilangan bulat serta b tidak sama dengan 0.

Adapun batasan dari bilangan rasional dimulai dari selanga (-∞, ∞). Bilangan rasional mencakup bilangan bulat, bilangan cacah, bilangan asli, bilangan prima, dan bilangan-bilangan lain yang menjadi subset dari bilangan rasional. Berikut contoh dari bilangan rasional.

Jika a/b = c/d maka, ad = bc

Bilangan rasional juga menjadi bagian bilangan-bilangan dengan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b. Yang mana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat, tetapi tidak sama dengan nol.

Sebagai contoh himpunan {½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, …}.

6. Bilangan Irasional

Bilangan irasional merupakan bilangan riil yang tidak dapa dibagi (hasil baginya tidak pernah berhenti). Oleh sebab itu, bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai a/b, dengan a dan b sebagai bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol.

Bilangan rasional dan irasional sangat berbeda. Sebagai contoh bilangan π dan bilangan e. bilangan π sebanrnya tidak tepat jika dinyatakan dengan angka 3.14. Namun, dengan 3,1415926535…. atau 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510…. Begitu pula yang terjadi pada bilangan e. Ia lebih tepat dinyatakan dengan 2,7182818…..

Contoh Soal dan Jawaban Operasi Bilangan

Untuk lebih memahami teori bilangan, berikut contoh soal teori bilangan dan jawabannya yang disadur dari laman Mathcyber1997.com.

1. Tentukan dan urutkan pasangan bilangan berikut dari yang memiliki FPB paling kecil dan paling besar.

a. (247,299)

b. (299,4453)

Pembahasan:

Jawaban a

Gunakan Algoritma Euclid untuk menentukan FPB dari (247,299). Perhatikan bahwa,

299=1×247+52

247=4×52+39

52=1×39+13

39=3×13+0

Jadi, FPB (247,299)=13.

Jawaban b

Dengan cara yang sama, kita peroleh

4453=14×299+267

299=1×267+32

267=8×32+11

32=2×11+10

11=1×10+1

10=10×1+0

Jadi, FPB (299,4453) = 1.

Dengan demikian, FPB paling besar adalah FPB dari (247,299), sedangkan FPB paling kecil adalah FPB dari (299,4543).

2. Di antara pernyataan 91≡0 (mod 7) dan −2≡2 (mod 8), manakah pernyataan yang benar? Jelaskan.

Pembahasan

Bentuk kongruensi a ≡ b (mod c) memiliki makna bahwa terdapat bilangan bulat k sehingga ck + b = a.

91 ≡ 0 (mod 7) merupakan pernyataan yang benar karena akan ditemukan bilangan bulat k = 13, sedemikian sehingga 7k + 0 = 91.

Di lain persoalan, −2 ≡ 2 (mod 8) merupakan pernyataan yang salah karena tidak ada bilangan bulat k yang memenuhi persamaan 8k + 2 = −2.

3. Diketahui 2 himpunan P = {100,−5,9,10,4} dan Q = {5,11,17,23,−11}. Manakah yang merupakan suatu sistem residu lengkap modulo 5? Jelaskan!

Pembahasan

Tinjau himpunan P={100,−5,9,10,4}.

100 ≡ 0 (mod 5)

−5 ≡ 0 (mod 5)

9 ≡ 4 (mod 5)

10 ≡ 0 (mod 5)

4 ≡ 4 (mod 5)

Tinjau himpunan Q = {5,11,17,23,−11}.

5 ≡ 0 (mod 5)

11 ≡ 1 (mod 5)

17 ≡ 2 (mod 5)

23 ≡ 3 (mod 5)

−11 ≡ 4 (mod 5)

Dari sini, dapat disimpulkan bahwa Q merupakan sistem residu lengkap modulo 5.

4. Diketahui tiga pernyataan berikut.

a. Jika 12 | p, maka 3 | p.

b. Jika 2 | p, maka 8 | p.

c. Jika 15 | p, maka 3 | p.

Di antara tiga pernyataan di atas, manakah yang benar? Jelaskan.

Pembahasan

Jawaban a

Pernyataan benar karena

12 | p≡3⋅4|p⇔3 | p∨4 | p.
Jawaban b

Pernyataan salah karena pembagi pada bagian hipotesis lebih kecil dari pembagi pada bagian kesimpulan (2 < 8). Pernyataan yang benar: Jika 8 | p, maka 2 | p.

Jawaban c

Pernyataan benar karena

15 | p≡3⋅5 | p⇔3 | p∨5 | p.

5. Benarkah pernyataan bahwa jika a dan b bilangan cacah dengan b < a, maka a + (−b) = a − b?

Berikan jawaban selengkap mungkin. Jika ya, berikan buktinya. Jika tidak, berikan contoh penyangkal.

Pembahasan

Pernyataan tersebut bernilai benar dan akan dibuktikan sebagai berikut.
Jika b < a, maka ada bilangan asli k sedemikian sehingga a = b + k. Menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a = b + k jhj a – b = k. Jadi, dengan menggunakan sifat komutatif penjumlahan, asosiasitif penjumlahan, identitas, dan invers penjumlahan, diperoleh:

A + (−b ) = (b + k) + (−b)

= ( k + b) + (−b)

= k + (b + (−b))

= k + 0

= k

= a – b

(Terbukti)