Deret Aritmatika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Deret Aritmatika – Para siswa yang sudah memasuki kelas 9 jenjang pendidikan Sekolah Menengah Pertama (SMP) sudah harus mempersiapkan diri untuk mengikuti Ujian Nasional (UN). Untuk ini, mereka tidak lagi bisa bermain-main dalam belajar dan harus meningkatkan fokus dalam pendidikan.

Terdapat setidaknya 4 mata pelajaran yang wajib siswa pelajari untuk UN ini. Mata pelajaran tersebut adalah Bahasa Indonesia, Bahasa Inggris, Matematika, dan Ilmu Pengetahuan Alam (IPA). Meskipun tingkat kesulitan dari 4 mata pelajaran tersebut sama, tidak dapat dipungkiri salah satu momok terbesar bagi para siswa adalah matematika.

Selain mereka harus mengulang kembali pelajaran-pelajaran yang mereka dapatkan di kelas 7 dan kelas 8, mereka juga akan mendapatkan sejumlah materi baru. Tingkat kesulitan dari materi-materi tersebut juga terbilang cukup rumit. Salah satu di antaranya adalah deret aritmatika.

Pada artikel kali ini, Grameds akan mendapat penjelasan seputar deret aritmatika. Semoga saja, artikel ini bisa bermanfaat bagi Grameds yang membutuhkan pengetahuan terkait topik deret aritmatika, terlepas dari apapun latar belakang kalian.

Deret Aritmatika

Sebelum kita masuk ke dalam pembahasan rumus mengenai deret aritmatika, ada baiknya kita memahami terlebih dahulu definisi dari barisan matematika. Meskipun merupakan topik yang berbeda, keduanya memiliki kesinambungan satu sama lain, sehingga siswa sebaiknya mempelajari keduanya agar memiliki pemahaman yang mendalam.

Pada dasarnya, barisan aritmatika adalah barisan bilangan sedemikian rupa sehingga selisih antara suku-suku yang berurutan tetap. Sementara deret aritmatika dapat dideskripsikan sebagai jumlah keseluruhan dari suku-suku yang ada pada barisan aritmatika.

Penjelasan di atas mungkin belum tentu bisa dipahami oleh sebagian orang. Oleh karena itu, kita sekarang akan bersama-sama melihat beberapa contoh dari barisan aritmatika agar kalian bisa semakin mudah memahami topik ini.

4,7,10,13,16,19,22…..

Contoh di atas merupakan salah satu barisan aritmatika. Jika Grameds perhatikan, setiap angka di dalam barisan aritmatika tersebut adalah angka yang didapatkan setelah dijumlahkan dengan angka 3. Mari kita lihat contoh barisan aritmatika lainnya.

5,9,13,17,21,25,29…..

Ini adalah contoh lain dari barisan aritmatika. Grameds bisa melihat bahwa setiap angka yang kalian temukan di dalam barisan aritmatika tersebut didapatkan setelah dijumlahkan dengan angka 4. Kalian juga bisa menemukan contoh barisan aritmatika lain dengan prinsip yang sama.

Setelah memahami contoh barisan aritmatika, Grameds seharusnya bisa mendapat gambaran lebih detail terkait deret aritmatika. Kita akan mengambil beberapa contoh di atas dan mengubah mereka menjadi deret aritmatika. Berikut contohnya:

S₉₁ = 4,7,10,13,16,19,22= 91

Contoh di atas adalah contoh sederhana dari deret aritmatika. Jadi, yang perlu Grameds lakukan adalah menjumlahkan seluruh barisan aritmatika sampai kalian bisa mendapatkan hasilnya. Mari kita gunakan contoh barisan aritmatika di atas sebagai deret aritmatika.

S₁₁₉ = 5,9,13,17,21,25,29 = 119

Berdasarkan 2 contoh ini, Grameds bisa menyimpulkan bahwa deret aritmatika mempunyai cara pengerjaan yang sama. Hanya saja, ada kalanya Grameds perlu menemukan angka atau variabel tertentu. Topik ini akan kita bahas bersama-sama pada sesi rumus deret aritmatika dan contoh soal deret aritmatika ini.

Sejarah Deret Aritmatika

Sedikit sejarah mengenai deret aritmatika, belum ada sumber pasti mengenai siapa sosok yang kali pertama menemukan sistem deret aritmatika. Namun, beberapa sumber mengatakan adalah Carl Friedrich Gauss, pakar matematika dan IPA asal Jerman yang kali pertama mencari tahu akan deret aritmatika.

Saat itu, Carl Friedrich Gauss masih duduk di bangku Sekolah Dasar (SD). Konon, dirinya menemukan kembali metode ini untuk menghitung jumlah bilangan bulat dari 1 hingga 100, dengan mengalikan n/2 pasangan bilangan dijumlahkan dengan nilai masing-masing pasangan n+1.

Meskipun begitu, fakta di atas belum bisa dibuktikan kebenarannya, mengingat masih ada sosok matematikawan lain yang juga terkenal menciptakan berbagai teori matematika bahkan sebelum memasuki abad masehi. Sebut saja sosok-sosok seperti Pythagoras dan Archimedes dari Yunani, Aryabhata dan Brahmagupta dari India, serta Zhang Qiujian dari Cina.

Pelajaran matematika memang sesuatu yang dianggap sulit oleh kebanyakan siswa. Meskipun begitu, ada kalanya kita menemukan beberapa metode menarik untuk belajar matematika. Salah satunya adalah membaca buku yang berwarna dan mudah dipahami, seperti buku “Ensiklopedia Saintis Junior: Matematika”.

Rumus Deret Aritmatika

Berbekal pemahaman yang sudah kita bahas di atas, sekarang Grameds bisa mempelajari rumus deret aritmatika. Perlu kalian ketahui bahwa layaknya sejumlah materi matematika lain, deret aritmatika juga memiliki variabel tersendiri yang perlu menjadi perhatian bagi siswa.

Variabel-variabel tersebut juga berkaitan dengan barisan aritmatika, di mana terkadang Grameds perlu menemukan variabel ini sebelum bisa mengerjakan soal deret aritmatika. Beberapa variabel yang dimaksud adalah beda dan suku tengah.

Jadi, di bawah ini, selain kita akan mempelajari rumus deret aritmatika, kita juga akan mempelajari rumus beda dan rumus suku tengah yang bisa kalian pakai jika diperlukan. Simak penjelasan di bawah ini.

Rumus Beda

b = U_n – U_n-1

• b = Beda
• U_n = Suku ke-sekian
• U_n-1 = Suku ke-sekian dikurang 1

Beda dalam barisan aritmatika atau deret aritmatika disimbolkan sebagai “b”. Untuk menemukan beda, Grameds hanya perlu mengurangi suku ke-sekian (U_n) dalam baris aritmatika dengan suku lain yang terletak sebelum suku ke-sekian (U_n-1).

Rumus Suku Tengah

U_t = (a + U_n) ÷ 2

• U_t = Suku tengah
• a = Suku awal
• U_n = Suku akhir

Suku tengah dalam barisan aritmatika atau deret aritmatika disimbolkan sebagai “U_t“. Untuk menemukan suku tengah, Grameds harus menentukan terlebih dahulu suku awal (a) dan suku akhir (U_n) dalam baris aritmatika, kemudian membaginya dengan 2.

Rumus Deret Aritmatika

S_n = ½n (2a + (n – 1) b)

• S_n = Deret aritmatika
• a = Suku pertama
• n = Jumlah suku
• b = Beda

Deret aritmatika dalam rumus ini disimbolkan sebagai “S_n“. Hal pertama yang perlu kalian lakukan untuk bisa mencari deret aritmatika adalah mengalikan setengah dengan jumlah suku (n) yang bisa ditemukan dalam barisan aritmatika tersebut.

Selanjutnya, Grameds bisa menjumlahkan hasil dari penjumlahan di atas dengan variabel-variabel lain yang ditemukan di dalam kurung. Terdapat beberapa penjumlahan yang harus kalian hitung, yaitu mengalikan 2 dengan suku pertama (a), lalu ditambah dengan hasil dari jumlah suku yang sudah dikurang 1 dan dikalikan dengan beda (b).

Ada beberapa rumus deret aritmatika lain yang bisa Grameds pakai tergantung keperluan. Beruntungnya, rumus-rumus ini tidak berbeda jauh dengan rumus deret aritmatika di atas, dan penggunaannya tidak akan sering ditemukan. Rumus-rumus tersebut dapat kalian baca dalam buku “Super Complete Inti Materi & Rumus Matematika SMP/MTS 7,8,9”.

Contoh Soal Deret Aritmatika

Tentunya, membahas rumus saja tidak akan berpengaruh apa-apa terhadap pemahaman siswa dalam matematika. Agar Grameds paham dan piawai dalam mengerjakan soal matematika, tentunya kalian harus terus melatih kemampuan dengan mengerjakan latihan soal.

Dengan berlatih soal-soal matematika, kalian dapat menguji coba rumus-rumus yang sebelumnya kalian pelajari, dan memastikan benar atau tidaknya rumus tersebut. Jika hanya mempelajari rumus matematika tanpa mengerjakan soal, kalian tidak bisa mengetahui apakah rumus tersebut benar atau salah, serta bisa dipakai atau tidak.

Untuk itu, kali ini kita akan membahas bersama-sama beberapa soal yang berkaitan dengan deret aritmatika. Soal-soal ini akan diurutkan mulai dari paling mudah sampai dengan soal yang sulit, agar pemahaman kalian bisa bertambah secara perlahan.

Jika Grameds ingin mencoba meningkatkan tingkat kesulitan serta ingin mengetes terkait paham atau tidaknya kalian terhadap soal deret aritmatika, kalian bisa mengerjakan soal-soal ini terlebih dahulu sebelum membaca pembahasan di bawahnya. Selamat berlatih, Grameds!

Soal Pertama

Diketahui sebuah deret aritmatika yang memiliki 8 jumlah suku. Suku pertama dari deret aritmatika ini adalah 5, dan masing-masing suku memiliki beda sebesar 4. Temukan deret aritmatika berdasarkan informasi tersebut!

Grameds yang membaca soal tersebut dengan teliti, mungkin sudah menyadari bahwa semua variabel bisa kalian temukan. Tugas selanjutnya adalah hanya tinggal memasukan variabel-variabel tersebut ke dalam rumus yang sudah kita bahas di atas.

S_n = ½n (2a + (n – 1) b)
S_n = ½ 8 ((2 x 5) + (8 – 1) 4)
S_n = 4 (10 + 28)
S_n = 142

Jawaban di atas sebenarnya sudah cukup. Tetapi, ada kalanya kalian mungkin tidak yakin dengan jawaban yang kalian temukan. Jika demikian adanya, Grameds bisa saja mencoba menuliskan isi dari deret aritmatika dan memastikan bahwa jumlah dari deret aritmatika tersebut benar adanya. Berikut contohnya:

S₁₄₂ = 5,9,13,17,21,25,29,33

Dengan demikian, hasil di atas menandakan bahwa perhitungan kalian sudah tepat. Hasil dari deret aritmatika pada soal pertama adalah 142.

Soal Kedua

Deret aritmatika dengan 12 suku jika dijumlahkan memiliki hasil akhir sebesar 306. Berapa beda yang dimiliki oleh deret aritmatika ini jika suku pertamanya adalah 9?

Perlu Grameds pahami kalau kalian tidak bisa menggunakan rumus untuk mencari beda yang tadi sudah diajarkan. Ini disebabkan karena tidak adanya suku-suku lain dalam soal. Meskipun begitu, Grameds tidak perlu khawatir karena yang perlu kalian lakukan sama seperti soal sebelumnya.

Grameds hanya perlu membaca secara teliti terkait variabel mana saja yang sudah ditemukan di dalam soal. Jika kalian sudah menemukan apa variabel-variabel pada soal di atas, kalian tinggal memasukkannya ke dalam rumus yang sudah kita pelajari sebelumnya.

S_n = ½n (2a + (n – 1) b)
306 = ½ 12 ((2 x 9) + (12 – 1) b)
306 = 6 (18 + 11b)
306 = 108 + 66b
306 – 108 = 66b
198 = 66b
198 ÷ 66 = b
3 = b

Perhitungan deret aritmatika di atas memang cukup panjang. Tidak menutup kemungkinan jika kalian menemukan kesalahan ketika menghitung soal di atas. Jika Grameds masih memiliki waktu, kalian bisa mencoba untuk memastikan apakah perhitungan kalian benar atau tidak, dengan membuat deret aritmatika berdasarkan informasi di atas.

S₃₀₆ = 9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42

Jika seluruh angka di atas dijumlahkan, maka hasilnya sudah sesuai dengan hasil akhir deret aritmatika yang sudah disebutkan di atas. Dengan ini, kalian sudah membuktikan perhitungan yang kalian lakukan sudah tepat. Beda dari deret aritmatika soal kedua adalah 3.

Soal Ketiga

Barisan aritmatika U₁,U₂,U₃,U₄,U₅…54,58 diketahui memiliki suku tengah sebesar 30 dan total deret aritmatika keseluruhan yaitu sebesar 450. Berapa jumlah suku yang terdapat pada deret aritmatika di atas?

Seperti yang dijanjikan, soal terakhir memang cukup rumit untuk diselesaikan. Terdapat banyak informasi yang bolong untuk mengetahui hasil akhir dari soal tersebut. Tetapi, ini bisa menjadi kesempatan bagi Grameds untuk memakai seluruh rumus yang kalian sudah pelajari sebelumnya.

Yang pertama, kalian bisa menemukan beda dari barisan aritmatika terlebih dahulu. Ini dikarenakan selain rumusnya sederhana dan menghitungnya cepat, kalian juga memerlukan beda untuk menghitung hal-hal lain dalam soal. Berikut penyelesaiannya.

b = U_n – U_n-1
b = 58 – 54
b = 4

Setelah menemukan beda, kita akan melanjutkan ke langkah berikutnya, yaitu menemukan suku pertama dalam baris aritmatika. Suku pertama ini penting untuk nantinya mencari total suku deret aritmatika secara keseluruhan. Di sini, dikarenakan terdapat informasi mengenai suku tengah, Grameds bisa memakai rumus tersebut untuk mencari suku awal.

U_t = (a + U_n) ÷ 2
30 = (a + 58) ÷ 2
30 = a/2 + 29
30 – 29 = a/2
1 = a/2
1 x 2 = a
2 = a

Setelah semua variabel sudah kalian temukan, langkah terakhir yang perlu kalian lakukan adalah memasukan semua variabel tersebut ke dalam rumus deret aritmatika untuk menemukan berapa suku pada barisan aritmatika dan juga deret aritmatika ini. Perhitungannya adalah sebagai berikut:

S_n = ½n (2a + (n – 1) b)
450 = ½n ((2 x 2) + (n – 1) 4)
450 = ½n (4 + 4n – 4)
450 = 4n + 2n² – 4n
450 = 2n²
450 ÷ 2 = n²
225 = n²
15 = n

Perhitungan sepanjang ini bisa membuat Grameds kelelahan sehingga fokus kalian turun di tengah-tengah perhitungan. Alangkah baiknya jika Grameds mengecek ulang terkait benar atau tidaknya hasil yang kalian dapat dari perhitungan ini. Caranya cukup sederhana, yakni seperti yang kalian lakukan juga pada soal-soal sebelumnya.

S₄₅₀ = 2,6,10,14,18,22,26,30,34,38,42,46,50,54,58

Dengan pembuktian ini, kalian sudah berhasil menunjukkan bahwa perhitungan kalian sudah benar, karena jumlah suku yang ada dalam barisan aritmatika dan deret matematika ini berjumlah 15.

Soal-soal di atas bisa saja menjadi momok bagi Grameds yang belum terbiasa mengerjakan soal deret aritmatika seperti ini. Tetapi, jika kalian sering berlatih, kalian akan terbiasa dan pada akhirnya bisa mengerjakan soal dengan lancar. Buku “Super Coach Pola Belajar Siswa Mandiri Matematika SMP/MTS Kelas IX” selain berisikan rumus dan penjelasan matematika, juga memiliki soal-soal yang bisa membantu meningkatkan pemahaman kalian.

Dengan demikian, berakhir sudah artikel yang berisikan pembahasan mengenai deret aritmatika. Semoga saja Grameds bisa mendapatkan ilmu bermanfaat setelah membaca artikel ini, dan bisa menerapkannya dalam pelajaran matematika.

Jika Grameds tertarik untuk membeli buku-buku soal matematika, atau mencari artikel-artikel lain terkait topik yang sama, Grameds bisa langsung kunjungi situs www.gramedia.com. Di sana, kalian akan menemukan bahan bacaan dari Gramedia, #SahabatTanpaBatas, yang bermanfaat untuk dibaca guna bisa mendapatkan ilmu, wawasan, dan juga informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: M. Adrianto S.

BACA JUGA:

1. Barisan dan Deret Aritmetika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal
2. Daftar Rumus Matematika Paling Sering Dipakai
3. Latihan Soal Rata-Rata Gabungan
4. 3 Rumus Skala dalam Matematika Dasar
5. Rumus Bola dan Contoh Soalnya: Volume dan Luas Permukaan