Persamaan Linear: Pengetian, Ciri, Jenis dan Contoh Soal

Persamaan linear – Dalam pembelajaran matematika di bangku sekolah dahulu kita kerap menemukan soal persamaan. Pasalnya ada beberapa jenis persamaan dalam matematika. Salah satunya adalah persamaan linear.

Seperti yang dijelaskan sebelumnya persaman linear memang ada di mata pelajaran matematika atau lebih tepatnya pada materi aljabar. Aljabar sendiri merupakan cabang materi dalam matematika yang biasanya akan menggunakan tanda dan huruf yang menjadi pengganti atau perwakilan dari angka-angka tertentu.

Mempelajari persamaan linear bukanlah suatu hal yang percuma. Pasalnya penerapan persamaan linear kerap dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari manusia lho. Sebagai contohnya adalah ketika proses pembuatan anggaran biaya pemakaian dan biaya operasional suatu perusahaan.

Mengingat pentingnya persamaan linear dalam kehidupan manusia. Tentunya kita juga bisa mempelajari lebih dalam lagi tentang persamaan linear tersebut. Tenang, kalian tak perlu bingung untuk mencari informasinya.

Nah, dalam artikel ini akan dijelaskan mengenai persamaan linear, mulai dari pengertian hingga contoh soal dari persamaan linear itu sendiri. Yuk tunggu apalagi, segera simak ulasannya sampai selesai, ya.

Pengertian Persamaan Linear

pixabay.com/geralt

Hal pertama yang akan kita bahas bersama adalah mengenai pengertian persamaan linear. Di awal paragraf telah dijelaskan jika persamaan linear masuk ke dalam materi aljabar matematika. Nah dalam poin ini secara khusus akan dijelaskan apa itu persamaan linear secara lebih dalam lagi.

Sistem persamaan linear bisa diartikan sebagai suatu persamaan aljabar. Dimana persamaan linear sendiri memiliki karakteristik pada setiap sukunya mengandung konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal.

Persamaan tersebut disebut linear karena ada hubungan matematis yang digambarkan sebagai garis lurus dalam sistem koordinat Kartesius. Sistem koordinat tersebut akan menetapkan setiap titik secara unik dalam bidang dengan serangkaian koordinat numerik.

Selain itu persamaan linear juga bisa kita artikan sebagai persamaan yang memiliki pangkat tertinggi dari variabelnya selalu satu. Persamaan linear juga kerap disebut sebagai persamaan satu derajat. Dalam persamaan linear akan ada beberapa hal penting seperti variable, koefisien dan juga konstanta.

Variabel adalah simbol pengganti nilai numerik dalam kondisi tidak diketahui yang ada di suatu persamaan. Nilai dalam variabel juga tidak selalu tetap dan bisa diubah. Koefisien bisa diartikan sebagai bilangan yang akan menyatakan jumlah suatu variabel dan biasanya akan diletakkan pada bagian depan variable.

Secara umum sistem persamaan linear memiliki dua sifat utama seperti penjelasan di bawah ini.

Kita ibaratkan jika “I” merupakan persamaan linear akan menghasilkan:

1. Penambahan dan pengurangan bilangan di kedua ruas persamaan I tidak akan mengubah solusi persamaan tersebut.
2. Perkalian untuk bilangan tidak nol pada kedua ruas persamaan adalah I dan tidak akan mengubah solusi persamaan tersebut.

Ciri-Ciri Persamaan Linear

Dalam persamaan linear memiliki ciri-ciri tertentu. Akan lebih mudah mengetahui ciri tersebut jika melihat langsung dari soal persamaan linear. Namun beberapa ciri yang ada di bawah ini juga akan memantu kalian lebih memahami persamaan linear.

1. Persamaan linear akan memiliki pangkat satu.
2. Persamaan linear tidak memiliki perkalian variabel.
3. Persamaan linear biasanya akan terdiri dari dua ruas yang akan dihubungkan dengan tanda sama dengan (=).
4. Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian pada kedua ruas persamaan linear tidak akan mengubah bentuk nilai persamaan.

Unsur Dalam Persamaan Linear

Dalam proses penyelesaiannya, persamaan linear akan menggunakan rumus-rumus tertentu. Dalam rumus persamaan linear tersebut akan memiliki beberapa unsur penting. Pada penjelasan sebelumnya beberapa unsur dalam penyelesaian persamaan linear sudah dijelaskan secara singkat.

Namun, untuk bisa lebih memahami apa saja unsur-unsur dalam penyelesaian persamaan linear, maka penjelasan beberapa poin di bawah ini bisa membantu.

• Variable

Variabel dalam persamaan linear bisa diartikan sebagai penambah atau pengganti suatu bilangan yang pada dasarnya belum diketahui besaran nilai secara jelas. Variable sendiri kebanyak akan disimbolkan menggunakan huruf, misalnya seperti a, b, c, …, x, y, z.

Sebagai contohnya adalah pada suatu bilangan yang dikalikan dengan 2 dan dikurangi lagi dengan 9 akan menghasilkan 3. Soal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan 2x – 9 = 3. Huruf x tersebut adalah variabel pada persamaan.

• Koefisien

Koefisien adalah suatu bilangan yang dapat menjelaskan banyaknya jumlah variabel sejenis. Keberadaan koefisien sendiri akan berada di depan variable. Sebagai contohnya adalah pada soal 2 pensil dan 4 spidol dapat dituliskan dalam persamaan seperti:

Pensil = x , spidol = y.

Nantinya akan berubah menjadi persamaan 2x+5y. Dimana x dan y adalah variabel dan angka 2 dan 5 merupakan koefisien.

• Konstanta

Ada juga unsur konstanta dalam persamaan linear. Dimana konstanta adalah suatu nilai yang konstan yang tidak diikuti oleh variable pada bagian belakang. Sebagai contohnya adalah pada soal persamaan 2x + 5y + 7. Angka 7 pada soal persamaan tersebut adalah bentuk konstanta. Hal ini tak lain karena tidak ada variable apapun di bagian belakang angka 7.

• Suku

Suku adalah bagian dari bentuk persamaan. Suku akan terdiri beberapa unsur penting persamaan linear, mulai dari koefisien, variable dan juga konstanta. Sebagai contohnya pada soal persamaan 7x-y+4. Suku dari soal persamaan tersebut adalah 6x, -y, 4.

Pembelajaran materi persamaan linier atau aljabar akan tetap dipelajari hingga jenjang pendidikan perguruan tinggi. Dalam aljabar terdapat materi-materi penting yang akan diajarkan kepada mahasiswa. Tentunya, ringkasan materi aljabar linear seperti dalam buku Matlab untuk Aljabar Linier dan Matriks bisa membantu para mahasiswa untuk lebih memahami aljabar.

 

Jenis-Jenis Persamaan Linear

Persamaan linear dibagi menjadi beberapa jenis. Dimana ada tiga jenis persamaan linear, mulai dari persamaan linear satu variabel, persamaan linear dua variabel dan persamaan linear tiga variabel. Namun  jika ditulis dalam matematik, persamaan linier secara umum adalah y = mx + b.

Setiap jenis persamaan linear memiliki pengertian dan cara penyelesaian yang berbeda-beda. Oleh karena itu, untuk bisa memahami apa itu persamaan linear, kita perlu tahu juga jenis-jenis persamaan linear.

Berikut ini adalah penjelasan mengenai jenis-jenis persamaan linear selengkapnya.

• Persamaan Linear Satu Variabel

Persamaan linear satu variabel adalah salah satu jenis persamaan linear. Seperti dengan namanya, persamaan linear satu variabel tersebut akan memiliki satu variabel dengan pangkat 1 dalam bentuk kalimat terbuka dan dapat dihubungkan dengan tanda =.

Kalimat terbuka dalam persamaan linear satu variabel disini bisa diartikan sebagai kalimat yang belum diketahui kebenarannya atau bisa jadi dalam posisi benar maupun dalam kondisi salah. Secara umum bentuk persamaan linear satu variabel jika dituliskan secara matematik adalah seperti berikut ini.

ax + b = 0

Keterangan:

a = koefisien

b = konstanta

x = variable

Sebagai catatan,  jika a dan b adalah bilangan riil. Lalu a dan b bukanlah angka nol. Perlu diketahui juga jika variabel tidak akan selalu menggunakan lambang x, bisa jadi akan menggunakan lambing huruf lain seperti y maupun lainnya.

• Persamaan Linear Dua Variabel

Selanjutnya, ada persamaan linear dua variabel yang juga menjadi salah satu jenis persamaan linear. Persamaan linear dua variabel ini adalah sistem persamaan yang memiliki variabel berjumlah dua dengan pangkat 1. Persamaan linear dua variabel tersebut akan menggunakan relasi = dan tidak akan menggunakan perkalian variabel pada setiap persamaan.

Dalam kehidupan sehari-hari, jenis persamaan linear dua variabel ini kerap digunakan untuk menyelesaikan masalah sederhana lho, khususnya dalam kegiatan jual beli. Biasanya persamaan persamaan linear dua variabel tersebut akan digunakan untuk mencari keuntungan.

Secara matematis, persamaan linear dua variabel bisa dituliskan seperti yang ada di bawah ini:

ax + by = c

Dalam proses penyelesaiannya, persamaan linear dua variabel dapat dilakukan dengan menggunakan dua metode yaitu metode substitusi dan metode eliminasi. Metode substitusi dapat digunakan dengan cara mengubah satu variabel dengan variabel persamaan lain. Lalu untuk metode eliminasi sendiri adalah cara menghapus salah satu variabel dalam persamaan.

• Persamaan Linear Tiga Variabel

Lalu masih ada persamaan persamaan linear tiga variabel yang juga merupakan jenis persamaan linear. Secara mudahnya persamaan linear tiga variabel ini adalah bentuk perluasan dari persamaan linier dua variabel.

Dimana untuk menyelesaikan persamaan linear tiga variabel ini bisa dilakukan dengan dua cara yaitu menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi. Sistem persamaan linear tiga variabel ini akan menentukan titik potong.

Pemanfaatan persamaan linear tiga variabel ini akan begitu berguna ketika digunakan dalam mendirikan bangunan agar lebih presisi. Secara umum penulisan persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut.

ax + by + cy = d

Persamaan linear masuk ke dalam materi aljabar. Selain persamaan linear, dalam aljabar juga ada materi lain yang begitu penting. Mulai dari vector, matriks, persamaan linear, transformasi linear seperti yang dipaparkan dalam buku Aljabar Linear Edisi Kedua. Nah, biar semakin mudah memahami aljabar linear, langsung saja dapatkan bukunya.

https://www.gramedia.com/products/aljabar-linier-edisi-kedua?queryID=8e130ad41351bda9dade14a58d283596

Metode Penyelesaian Persamaan Linear

Pada bagian jenis persamaan linear ada beberapa metode yang bisa digunakan untuk menyelesaikan soal persamaan. Dimana metode-metode tersebut adalah seperti metode subtitusi dan metode persamaan.

Setiap jenis metode penyelesaian persamaan linear memiliki pengertian dan cara yang berbeda-beda. Oleh karena itu, untuk memahami setiap jenis metode penyelesaian persamaan linear,maka penjelasan di bawah ini bisa membantu.

Metode Substitusi

Metode substitusi adalah salah satu cara untuk menyelesaikan soal mengenai persamaan linear dua variabel atau tiga variabel. Dimana nantinya ketika menggunakan metode substitusi ini akan mengubah suatu variabel dengan variabel dari persamaan lainnya.

Nah akan lebih jelas jika kalian membaca contoh soal yang ada di bawah ini.

1. Tentukan nilai variabel x dan y dari kedua persamaan berikut dengan menggunakan metode substitusi matematika!

2x + 4y = 28

3x + 2y = 22

Jawab:

Hal pertama yang bisa kalian lakukan adalah dengan memilih salah satu persamaan yang akan dipindahkan elemennya. Sebagai contohnya adalah kalian dapat memilih persamaan yang pertama yaitu.

2x + 4y = 28

Selanjutnya kalian bisa memilih variabel y untuk dipindahkan ke sisi ruang kanan. Jika sudah maka persamaan tersebut akan berubah menjadi seperti yang ada di bawah ini.

2x = 28 – 4y

Karena memang kalian tadi kalian memilih variabel y untuk dipindahkan, maka koefisien pada variabel x akan dihilangkan dengan cara membagi masing-masing ruang dengan nilai koefisien yang dimiliki oleh x.

2x/2 = 28-4y/2

Dari proses perhitungan tersebut akan dihasilkan persamaan x = 14 – 2y sebagai bentuk solusi dari variabel x.

Selanjutnya kalian bisa menggabungkan persamaan 3x + 2y = 22 dengan persamaan x = 14 – 2y. Dimana  cara yang digunakan adalah mengganti variabel x dengan persamaan.

x = 14 – 2y

3x+ 2y = 22

3 (14 – 2y) + 2y = 22 (Di bagian ini variabel x sudah diganti dengan x= 14 -2y, ya)

42 – 6y  + 2y = 22

-4y = 22 – 42

-4y = -20

-4y/-4 = -20/-4

y = 5.

Dari perhitungan tersebut nilai variable y telah ditemukan yaitu 5.

Ketika nilai variabel y telah ditemukan yaitu 5, selanjutnya kalian bisa mencari nilai dari variabel x dengan memasukkan angka 5 pada variabel y.

x = 14 – 2y

x = 14 – 2(5)

x = 14 – 10

x = 4.

Dari perhitungan di atas, maka akan ditemukan nilai variabel x adalah 4. Sehingga jawab utama dari soal tersebut adalah x = 4 dan y  = 5.

Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan soal persamaan linear dua atau tiga variable. Dimana metode eliminasi secara garis besar akan menghapus atau menghilangkan satu variabel dalam persamaan tersebut.

Misalnya variabel pada persamaan a dan b dan agar bisa mencari nilai a, maka kita perlu menghilangkan b terlebih dahulu. Hal tersebut juga berlaku sebaliknya.

Nah agar makin paham berikut ini adalah contoh soal persamaan linear dengan pembahasan metode eliminasi.

 

Tentukan nilai variabel x dan y dari persamaan berikut ini.

x + 2y = 20

2x + 3y = 33

Dengan menggunakan metode eliminasi.

Jawab:

Hal pertama yang perlu dilakukan untuk mencari nilai variabel x adalah dengan cara menghilangkan y pada bagian masing-masing persamaan.

x + 2y = 20

2x + 3y = 33

Dari persamaan tersebut bisa kita lihat jika nilai variable y dari masing-masing persamaan adalah 2 dan 3. Lanjutkan dengan mencari KPK atau kelipatan persekutuan terkecil dari 2 dan 3.

2 = 2, 4, 6, 8, …

3 = 3, 6, 8, …

Ketika tahu KPK dari 2 dan 3 adalah 6, maka kita bagi angka 6 dengan masing-masing koefisien.

6 : 2 = 3 → x3

6 : 3 = 2 → x2

Selanjutnya bisa dilakukan proses perkalian dan lanjutkan dengan eliminasi menggunakan hasil pembagian masing-masing.

x + 2y = 20   | x3

2x + 3y = 33 _   | x2

Dari proses perhitungan tersebut akan dihasilkan sebagai berikut.

3x + 6y = 60

4x + 6y = 66 _

-x      = -6

x          =   6

Dari proses perhitungan di atas bisa kita ketahui jika nilai x adalah 6 dan untuk mencari variable y, kalian hanya perlu melakukan cara yang sama.

(sumber soal: zenius.net)

Contoh Soal Persamaan Linier

Berikut ini adalah beberapa contoh soal persamaan linear lengkap dengan cara penyelesaiannya.

Soal 1

Manakah di antara 3, 4, dan 5 yang merupakan penyelesaian persamaan berikut ini?

1.     2x – 3 = 7
2.     x + 2 = 10 – x

Jawaban:

2x – 3 = 7

2x = 7 + 3

2x = 10

X = 5

Sehingga, penyelesaian persamaan linear 2x – 3 = 7 adalah 5.

x + 2 = 10 – x

x + x = 10 – 2

2x = 8

x = 8/2

x = 4

Jadi, penyelesaian persamaan linear x + 2 = 10 – x adalah 4

Soal 2

Selesaikanlah.

1. 2x – 3 = 5
2. 3x = 5x – 12
3. 6x – 17 = -3x + 10
4. 4x + 12 = 7 – x

Jawaban:

Semua persamaan di atas adalah persamaan linear dengan penyelesaian sebagai berikut!

 

1. Soal pertama

2x – 3 = 5

2x = 5 + 3

2x = 8 x

= 4

 

2. Soal kedua

3x = 5x – 12

3x – 5x = -12

-2x = -12

x = -12/-2

x = 6

 

3. Soal Ketiga

6x – 17 = -3x + 10

6x + 3x = 10 + 17

9x = 27

x = 27/9

x = 3

 

4. Soal Keempat

4x + 12 = 7 – x

4x + x = 7 – 12

5x = – 5

x = -1

(sumber soal: Kompas.com)

Saat ini, pembelajaran aljabar sudah mulai banyak digunakan dalam beberapa hal. Nah,, biar kalian semakin paham dengan aljabar, maka kamu bisa menjadikan buku Struktur Aljabar dengan Aplikasi cocok dijadikan sebagai referensi. Buku ini menyajikan konsep-konsep dasar dari struktur aljabar yang dilengkapi dengan sejumlah contoh sederhana yang sebagian diangkat dari persoalan aplikasinya.

 

Nah, itulah ulasan mengenai persamaan linear, mulai dari pengertian hingga contoh soal beserta pembahasannya sudah ada di atas. Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat untuk kalian, ya.

Jika ingin mencari buku tentang aljabar, maka bisa mendapatkannya di gramedia.com. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Hendrik

Sumber soal:

1. https://www.zenius.net/blog/persamaan-linear-2-substitusi-eliminasi#Definisi_Sistem_Persamaan_Linear_Dua_Variabel_SPLDV
2. https://www.kompas.com/skola/read/2022/11/24/153000669/soal-dan-jawaban-penyelesaian-persamaan-linear

sumber materi:

1. https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-cara-menyelesaikan-sistem-persamaan-linear-dua-variabel-spldv
2. https://www.zenius.net/blog/persamaan-linear-2-substitusi-eliminasi#Definisi_Sistem_Persamaan_Linear_Dua_Variabel_SPLDV
3. https://www.kompas.com/skola/read/2022/11/24/163000669/persamaan-linear–pengertian-ciri-ciri-dan-jenis-jenisnya?page=all
4. https://katadata.co.id/agung/berita/62e8d6565b11d/memahami-persamaan-linear-pengertian-jenis-dan-contoh-soalnya
5. https://kumparan.com/kabar-harian/persamaan-linear-pengertian-sifat-jenis-jenis-dan-contoh-soalnya-1wlL08OBad3
6. https://rumuspintar.com/persamaan-linear/