Pengertian dan Contoh Materi Himpunan dalam Matematika

Contoh Himpunan Matematika—Halo Sobat Grameds, kita bertemu kembali dengan Gramedia Literasi yang akan mengulas materi mengenai himpunan matematika, mulai dari pengertian, jenis-jenisnya, hingga beberapa contoh soal dan pembahasannya.

Nah, sebelum kita mengupas materi ini, cobalah kalian sebutkan terlebih dahulu contoh-contoh dari hewan herbivora. Kalian dapat menyebutkan kambing, sapi, kelinci, kuda, dan sebagainya. Kumpulan hewan-hewan tersebut dapat disebut dengan himpunan hewan herbivora.

Artikel ini juga akan mengupas definisi dari irisan, gabungan, selisih, dan komplemen himpunan. Yuk, simak ulasannya di bawah ini!

 

Pengertian Himpunan

Himpunan merupakan kumpulan dari objek tertentu yang mempunyai definisi jelas dan dianggap sebagai satu kesatuan.

Coba perhatikanlah beberapa contoh kumpulan himpunan berikut ini!

• Himpunan bilangan asli.
  
• Himpunan hewan berkaki dua.
• Himpunan lukisan bagus.
• Himpunan orang pintar.

Berdasarkan contoh kumpulan himpunan di atas, dapatkan kalian membedakan antara himpunan dan yang bukan himpunan?

Kumpulan yang merupakan himpunan di atas adalah contoh 1 dan 2, sedangkan contoh 3 dan 4 bukan himpunan. Bagi kalian yang masih kebingungan, berikut ini penjelasannya.

Perhatikanlah contoh hewan berkaki dua! Kita akan mempunyai pendapat yang sama mengenai berbagai hewan berkaki dua, misalnya ayam, bebek, dan burung. Semua setuju jika hewan-hewan tersebut berkaki dua. Nah, hewan berkaki dua mempunyai definisi yang jelas, sehingga merupakan suatu himpunan.

Contoh bilangan asli juga mempunyai definisi yang jelas, sehingga merupakan suatu himpunan.

Sementara itu, perhatikanlah contoh lukisan bagus dan contoh orang yang pintar, keduanya tidak mempunyai definisi yang jelas. Kata “bagus” dan “pintar” mempunyai definisi yang berbeda untuk setiap orang, misalnya kalian menganggap jika lukisan A bagus, tetapi temanmu belum tentu menganggap lukisan A bagus juga. Oleh karena itu, lukisan yang bagus dan orang yang pintar bukan merupakan suatu himpunan.

Nah, berdasarkan contoh kumpulan himpunan di atas, sekarang kalian sudah mengetahui perbedaan antara himpunan dan yang bukan. Sekarang, kita lanjut dengan mempelajari cara menyatakan suatu himpunan dan macam-macam himpunan.

 

Cara Menyatakan Himpunan

Secara umum, himpunan disimbolkan dengan huruf kapital dan jika anggota himpunan tersebut berupa huruf, anggotanya dituliskan dengan huruf kecil. Ada beberapa cara penulisan himpunan, yaitu:

• Menggunakan kata-kata, yaitu dengan menyebutkan semua syarat ataupun sifat dari anggota himpunan tersebut di dalam kurung kurawal. Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40; ditulis menjadi A = {bilangan asli antara 10 dan 40}.
• Menggunakan notasi pembentuk, yaitu dengan menyebutkan semua sifat dari anggota himpunan tersebut, serta anggotanya dinyatakan dalam suatu variabel dan dituliskan di dalam kurung kurawal. Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40; ditulis menjadi A= {x |10 < x < 40, x ϵ bilangan prima}.
• Mendaftarkan anggota-anggotanya, yaitu dengan menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di dalam kurung kurawal dan tiap anggotanya dibatasi dengan tanda koma. Jika anggotanya terlalu banyak untuk disebutkan, kalian dapat menulis dengan “…”. Contoh: A merupakan bilangan prima antara 10 dan 40; ditulis menjadi A={11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 33, 37}.

Sobat Grameds mungkin ada yang masih mempunyai pertanyaan, “apakah semua himpunan dapat disajikan dengan ketiga cara tersebut?”

Jawabannya adalah “tidak”, dikarenakan tidak semua himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan anggotanya. Contohnya adalah himpunan bilangan real (bilangan riil) yang tidak dapat disajikan dengan menyebutkan semua anggotanya.

Sebelum lanjut ke pembahasan tentang jenis-jenis himpunan, coba kalian kerjakan beberapa contoh soal di bawah ini untuk pemanasan!

Tulislah anggota dari himpunan berikut!

1. A={bilangan asli yang kurang dari 8}
2. B={bilangan prima kurang dari 10}

Jawaban:

1. A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Bilangan asli adalah bilangan yang dimulai dari angka 1. Jadi, anggota himpunan A adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
2. B={2, 3, 5, 7}. Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Jadi, anggota himpunan B adalah 2, 3, 5, 7.

 

Jenis-Jenis Himpunan

Himpunan terdiri atas tiga macam, yaitu himpunan semesta, kosong, dan bagian. Yuk, simak penjelasan dan contohnya di bawah ini!

1. Himpunan Semesta

Himpunan semesta merupakan himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disimbolkan dengan S.

Contoh himpunan semesta adalah A = {3, 5, 7, 9}, kita dapat menuliskan himpunan semesta yang mungkin adalah S = {bilangan ganjil} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah} atau S = {bilangan real}.

Namun, kita tidak menuliskannya sebagai S = {bilangan prima} karena terdapat angka 9 yang bukan termasuk bilangan prima.

 

2. Himpunan Kosong

Himpunan kosong merupakan himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong disimbolkan dengan Ø atau { }.

Sebagai contoh himpunan kosong, misalkan B adalah himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi dua. Dikarenakan tidak ada bilangan ganjil yang habis dibagi dua, A tidak mempunyai anggota, sehingga merupakan himpunan kosong. Ditulis menjadi B = { } atau B = Ø.

Sekarang kalian coba kerjakan soal yang ada di bawah ini! Himpunan berikut yang termasuk himpunan kosong adalah ….

1. Himpunan A adalah himpunan huruf vokal.
2. Himpunan B adalah himpunan nama-nama hari berawalan “C”.

Jawabannya adalah B, karena tidak ada nama hari yang diawali dengan huruf “C”. sehingga himpunan B adalah himpunan kosong.

 

3. Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian B. Jika setiap anggota A juga anggota B, dinotasikan dengan A ⊂ B atau B ⊃ A.

Contoh Soal:
P = {1, 2, 3}
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
P ⊂ Q atau Q ⊃ P

Jika ada anggota A yang bukan anggota B, maka A bukan himpunan bagian dari B dan dinotasikan dengan A ⊄ B.

Contoh Soal:
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {4, 5, 6}
R ⊄ Q

 

Operasi Himpunan

• Irisan

Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan A dan ada di himpunan B. Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan dengan tanda “∩”.

Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
A ∩ B = {b, c}

• Gabungan

Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari anggota himpunan A dan himpunan B. Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan dengan tanda “∪”.

Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
A ∪ B = {a, b, c, d, e, g, k}

• Selisih

A selisih B adalah himpunan dari anggota A yang tidak memuat anggota B. Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan dengan tanda “– “.

Contoh Soal:
A = {a, b, c, d, e}
B = {b, c, e, g, k}
A – B = {a, d}

 

• Komplemen

Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada di himpunan universal (semesta pembicaraan), kecuali anggota himpunan tersebut. Komplemen dari A dinotasikan dengan (dibaca A komplemen).

Contoh Soal:
A = {1, 3, 5, 7, 9}
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
= {2, 4, 6, 8, 10}

---

Itulah artikel terkait “Contoh Himpunan Matematika” yang dapat kalian gunakan untuk referensi dan bahan bacaan. Jika ada saran, pertanyaan, dan kritik, silakan tulis di kotak komentar bawah ini. Bagikan juga tulisan ini di akun media sosial supaya teman-teman kalian juga bisa mendapatkan manfaat yang sama.

Untuk mendapatkan lebih banyak informasi, Grameds juga bisa membaca buku yang tersedia di Gramedia.com. Sebagai #SahabatTanpaBatas kami selalu berusaha untuk memberikan yang terbaik. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan dan pengetahuan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca. Semoga bermanfaat!

 

Rujukan

• Afriyanti, Dini (2007). Matematika Kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian untuk Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Bandung: PT Grafindo Media Pratama.
• Aning, Floriberta (2006). Buku Pintar Matematika: Panduan Belajar Matematika Secara Mudah dan Cepat. Tangerang: Pustaka Widyatama.
• Martono, Koko; Noor, Firmansyah (2007). Matematika dan Kecakapan Hidup. Jakarta: Ganeca Exact.
• Sriyanto (2009). Cepat Tuntas Kuasai Matematika untuk SMA/MA Kelas XII. Yogyakarta: Galangpress.

 

Rekomendasi Buku dan E-Book terkait Matematika

1. Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun

Berhitung adalah langkah-langkah dasar untuk belajar matematika. Secara umum, anak yang baru masuk sekolah akan kesulitan belajar berhitung jika menghadapi soal-soal yang diberikan sekolah, apalagi jika soal-soal itu sudah masuk ke perhitungan puluhan, ratusan, hingga ribuan.

Buku yang terdiri atas 64 halaman ini membantu anak Anda untuk berlatih perhitungan perkalian dan pembagian dengan metode bersusun. Buku tersebut juga disertai contoh-contoh dan soal-soal latihan agar anak Anda dapat berlatih perkalian dan pembagian bersusun satu digit, dua digit, tiga digit, dan empat digit.

Anda akan menemukan pelajaran berhitung yang dikemas secara menyenangkan untuk anak-anak di dalam buku Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun ini. Berikut pelajaran yang ada di dalam buku ini: Perkalian dan pembagian bersusun dengan gambar perkalian dan pembagian bersusun, Satuan perkalian dan pembagian bersusun, puluhan perkalian dan pembagian bersusun, ratusan perkalian dan pembagian bersusun, dan ribuan pembagian bersusun dengan hasil sisa.

Buku berjudul Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun yang ditulis oleh Rizkiananda ini ditujukan untuk anak-anak agar mereka bisa belajar matematika dengan cara yang lebih menyenangkan. Anak-anak akan betah membaca buku ini karena di dalamnya full color. Buku ini dilengkapi dengan poster perkalian, sehingga memudahkan anak untuk menghafalnya.

2. Aku Pandai Berhitung Perkalian dan Pembagian

Anak mama sudah mulai bisa mengucapkan angka? Kapan waktu yang tepat dan bagaimana cara untuk mengajar anak berhitung? Semua mama tentu perlu mengetahui cara mengajarkan anak berhitung. Belajar berhitung dapat menjadi hal yang membingungkan untuk anak-anak, sehingga mama pun dapat dibuat stres olehnya, padahal belajar berhitung bisa menjadi aktivitas yang menyenangkan bagi anak dan juga bagi mama.

Berhitung merupakan kemampuan dasar yang penting untuk anak-anak. Anak-anak yang mahir berhitung sejak dini akan lebih mudah memahami konsep matematika tingkat lanjut di sekolahnya. Berikut ini beberapa strategi sederhana yang dapat membantu anak-anak mengembangkan rasa suka dan tertariknya kepada berhitung.

Buku berjudul Aku Pandai Berhitung Perkalian dan Pembagian ini merupakan buku penunjang anak Sekolah Dasar (SD) untuk kelas 3, 4, dan 5. Buku ini berisi materi sederhana cara-cara mengerjakan soal perkalian dan pembagian, mulai dari yang mudah hingga yang sulit. Selain itu, buku ini juga dilengkapi dengan berbagai macam gambar agar anak lebih mudah memahaminya.

Buku ini lebih berfokus kepada latihan soal dibandingkan materi agar anak lebih aktif mengerjakan latihan soal dan mudah memahami soal-soal yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian. Semoga buku Aku Pandai Berhitung Perkalian dan Pembagian ini dapat membantu proses belajar anak-anak agar menjadi lebih mudah dan menyenangkan, baik di sekolah maupun di rumah.

 

3. Aktivitas Hafiz dan Hafizah: Cerdas Perkalian

Anak-anak cenderung menghindari kegiatan belajar karena kegiatan tersebut menurut mereka terasa membosankan dan juga memusingkan, terlebih jika itu adalah pelajaran matematika. Anak-anak sering kali tidak suka belajar matematika karena konsep berhitung sangat rumit bagi mereka, padahal ayah dan bunda tentu ingin melihat anak-anak mereka pandai berhitung mengingat manfaatnya yang sungguh luar biasa dalam kehidupan.

Buku berjudul Aktivitas Hafiz dan Hafizah: Cerdas Perkalian ini akan mengajak anak-anak untuk belajar berhitung, khususnya perkalian dengan cara yang menyenangkan. Buku ini dikemas dengan karakter Hafiz, Hafizah, dan teman-teman mereka sebagai pemandu dalam belajar yang akan menemani anak-anak dalam memahami materi di dalam buku ini. Dengan banyak latihan soal yang bervariasi, anak-anak akan terlatih dalam menghadapi soal-soal perkalian. Selain itu, buku ini juga dilengkapi dengan aktivitas seru lainnya yang akan membuat anak-anak senang dan tidak merasa bosan dalam belajar.

Hafiz, Hafizah, dan teman-temannya sedang belajar perkalian dan anak boleh bergabung dengan mereka. Setiap halaman di buku ini menampilkan banyak soal latihan perkalian yang bervariasi dan akan membuat anak-anak semakin paham mengenai konsep perkalian. Selain itu, juga terdapat aktivitas lain yang seru dan mengasyikkan. Ayo, cepat selesaikan latihannya dan tingkatkan prestasimu!

 

4. 30 Solusi Unik Taklukkan Matematika

Matematika ibarat hantu kehidupan yang sangat menakutkan. Mendengar istilah matematika, seolah menghadirkan monster yang menyeramkan. Sebagian besar orang tua maupun siswa takut dengan matematika. Bukannya mengatasi ketakutan tersebut, malah justru menghindar jauh-jauh. Anggapan mereka sangat bertentangan dengan keadaan yang sesungguhnya. Sesungguhnya, matematika itu sangat berguna, bahkan hampir setiap aktivitas keseharian mereka saling bersinggungan dengan matematika.

Buku ini hadir sebagai media terbaik untuk membantu mereka yang takut terhadap matematika. Dengan mempelajari buku ini, mereka tidak akan lagi merasa takut terhadap matematika, bahkan mereka akan menyenanginya. Buku ini menghadirkan cara-cara terbaik untuk belajar matematika agar lebih mudah dan menyenangkan. Tak hanya itu, buku ini pun menghadirkan berbagai trik menarik tentang matematika yang bisa dipelajari oleh setiap anak.

Dengan adanya buku ini, kamu akan menemukan cara yang berbeda, lebih mudah, cepat, dan tepat dalam menyelesaikan soal-soal matematika. Kamu penasaran dengan seluruh sajian buku ini? Silakan simak dan nikmati setiap bahasan yang ada di dalam buku ini.

 

5. Logika dan Matematika

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.

Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa. Materi ini di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA) termasuk ke dalam mata pelajaran matematika kelas 11. Tidak berhenti di kelas 11 saja, materi logika matematika juga akan kalian temukan dalam soal-soal Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN), khususnya soal Tes Potensi Skolastik Ujian Tulis Berbasis Kompetensi (TPS-UTBK).

Selain meningkatkan kemampuan berpikir, materi yang satu ini wajib kamu pelajari agar kamu bisa menguasai materi UTBK dan lolos SBMPTN. Logika matematika sangat dekat kaitannya dengan pernyataan dan penarikan kesimpulan. Itulah sebabnya saat belajar materi ini kamu harus tahu apa yang disebut proposisi. Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah, tetapi tidak mungkin keduanya (lebih dari satu).

Contohnya, angka 2 adalah bilangan genap merupakan pernyataan benar. Bilangan genap merupakan bilangan bulat dan habis dibagi 2. Angka 2 termasuk bilangan bulat dan akan habis jika dibagi 2. Proposisi pada logika matematika terbagi menjadi tiga jenis, yaitu proposisi tunggal, majemuk, dan kompleks. Jenis proposisi tunggal, yaitu pernyataan tanpa perangkai. Sementara itu, proposisi majemuk memiliki satu perangkai. Terakhir, proposisi kompleks memiliki dua atau lebih perangkai.

Buku Logika dan Matematika ini dapat digunakan sebagai buku ajar atau referensi yang menunjang pembelajaran mata kuliah Matematika Diskrit. Dengan mempelajari buku ini, mahasiswa diharapkan mampu meningkatkan kemampuannya dalam berpikir logis, kreatif, dan kritis. Kemampuan itu tentunya akan sangat berguna bagi mahasiswa/pembaca dalam menunjang pengembang sistem informasi, pengembang multimedia/game, dan kompetensi yang relevan.