Turunan Fungsi Aljabar: Rumus, Contoh Soal, dan Pembahasannya

Turunan Fungsi Aljabar—Turunan fungsi aljabar merupakan fungsi baru hasil penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya yang sudah ditetapkan menurut aturan. Bila diimplementasikan ke dalam grafik fungsi, turunan ini adalah gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Tingkat turunan memiliki fungsi tidak terbatas hanya pada satu tingkat, tetapi juga bisa dua tingkat, tiga tingkat, dan lebih.

Konsep turunan pada tiap-tiap tingkatnya juga sama. Hanya saja, fungsinya yang diturunkan memiliki perbedaan karena mengacu pada hasil dari turunan sebelumnya.

 

Sifat-Sifat Turunan Fungsi Aljabar

Sebelum mengulas lebih lanjut mengenai rumus turunan fungsi aljabar, ada baiknya Grameds untuk memahami sifat-sifat turunannya terlebih dulu. Dikutip dari e-Modul Matematika yang diterbitkan oleh Kemendikbud untuk Sekolah Menengah Atas tahun 2018, sifat-sifat turunan fungsi aljabar di antaranya:

1. Turunan fungsi konstan: f(x) = k ⇒ f'(x) = 0
2. Turunan fungsi identitas: f(x) = x ⇒ f'(x) = 1
3. Turunan fungsi aljabar berpangkat n

(Sumber gambar: detikcom)

4. Rumus turunan jumlah dan selisih fungsi-fungsi

(Sumber gambar: detikcom)

5. Turunan fungsi aljabar hasil kali

(Sumber gambar: detikcom)

6. Rumus turunan fungsi aljabar hasil kali di atas dapat diperluas untuk mencari rumus turunan yang terdiri dari tiga fungsi, di antaranya:

(Sumber gambar: detikcom)

7. Turunan fungsi aljabar hasil bagi dengan v(x) ≠ 0

(Sumber gambar: detikcom)

8. Sifat-sifat turunan fungsi aljabar

(Sumber gambar: detikcom)

9. Turunan Fungsi Trigonometri

(Sumber gambar: e-Modul Matematika kelas XI/Kemendikbud, 2018 (Hal.18))

Rumus Turunan Fungsi Aljabar

Setelah mengetahui dan memahami sifat dari turunan fungsi aljabar, berikut rumus turunan fungsi aljabar yang dilansir dari buku Super Matematika SMA IPA oleh Drs. Joko Untoro

Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar

Dikutip dari Lembar Kerja Peserta Didik Matematika bab Aplikasi Turunan Fungsi Aljabar, aplikasi turunan fungsi aljabar terdiri dari:

1. Persamaan garis singgung
2. Fungsi naik dan fungsi turun
3. Nilai-nilai stasioner yang meliputi pengertian nilai stasioner dan titik stasioner serta jenis-jenis nilainya
4. Nilai maksimum dan nilai minimum

Supaya Grameds lebih paham, simak penjelasannya berikut ini:

1. Persamaan Garis Singgung

Materi gradien yang membahas mengenau koefisien arah atau kemiringan dari suatu garis, bila digambarkan pada suatu ruas garis AB dengan A(x1, y1) dan B (x2,y2), bisa didefinisikan dengan:

2. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Walau terlihat asing, tetapi istilah naik dan turun sudah kerap Grameds temui dalam kehidupan sehari-hari. Contohnya, berita mengenai harga bahan pokok di pasar yang sedang tidak stabil. Ketika mengulas mengenai materi fungsi, ada pula fungsi naik dan fungsi turun.

Suatu fungsi dapat dikatakan naik jika ditelusuri dari arah kiri ke kanan nilai fungsi selalu mengalami pertambahan nilai dari kecil ke besar. Berlaku sebaliknya, suatu fungsi dapat dikatakan turun jika ditelusuri dari arah kiri ke kanan nilai fungsinya selalu mengecil atau adanya pengurangan nilai dari besar ke kecil.

 

3. Nilai-Nilai Stasioner

Perhatikanlah gambar titik stasioner pada kurva tersebut. Bila y=f(x) dengan x=a dan f'(a) = 0, f(a) merupakan nilai kritis atau nilai stasioner dari suatu fungsi f(x) di x=a. Sedangkan (a, f(a)) merupakan titik kritis atau titik stasionernya.

 

4. Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Nilai maksimum dari fungsi f(x) yang terdapat pada interval tertutup merupakan nilai terbanyak dalam interval tersebut, sedangkan nilai minimumnya adalah nilai paling sedikit dalam interval tertutup tersebut. Nilai maksimum maupun nilai minimum dari suatu fungsi f(x) dalam interval tertutup memiliki hasil yang tak selalu sama dengan nilai balik maksimum maupun nilai balik minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup tersebut. Di samoung itu, nilai maksimum atau nilai minimum fungsi f(x) dalam interval tertutup bisa menghasilkan dua kemungkinan, yakni:

1. Nilai balik maksimum atau nilai balik minimum suatu fungsi f(x)
2. Nilai-nilai fungsi pada ujung interval tertutup tersebut

 

Contoh Soal Turunan Fungsi Aljabar

Berikut ini ada beberapa contoh soal yang dilengkapi dengan pembahasan mengenai materi turunan fungsi aljabar.

1. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi berikut :

1). f(x) = 8x

2). f(x) = x3

3). f(x) = -4×5

4). f(x) = 2×4

5). f(x) = 4×3 – 3×2 + 8x -5

Pembahasan:

1). f(x) = 8x

⇔ f'(x) = 1.8×1-1

⇔ f'(x) = 1.8×0

⇔ f'(x) = 1.1

⇔ f'(x) = 1

 

2). f(x) = x3

⇔ f'(x) = 3.×3-1

⇔ f'(x) = 3.×2

⇔ f'(x) = 3×2

 

3). f(x) = -4×5

⇔ f'(x) = -4.5×5-1

⇔ f'(x) = -4.5×4

⇔ f'(x) = -20×4

 

4). f(x) = 2×4

⇔ f'(x) = 2.4×4-1

⇔ f'(x) = 2.4×3

⇔ f'(x) = 8×3

 

5). f(x) = 4×3 – 3×2 + 8x -5

⇔ f'(x) = 4.3×3-1 – 3.2×2-1 + 8.1×1-1 – 5.1×1-1

⇔ f'(x) = 4.3×2 – 3.2×1 + 8.1×0 – 5.1×0

⇔ f'(x) = 12×2 – 6×1 + 8×0 – 5×0

⇔ f'(x) = 12×2 – 6x + 8 – 0

⇔ f'(x) = 12×2 – 6x + 8

 

2. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a). f(x) = 15x

b). f(x) = 4

c). f(x) = 12

Pembahasan:

a). f(x) = 15x

⇔f(x) = 15×1

⇔f'(x) = 15×1−1

⇔f'(x) = 15×0

⇔f'(x) = 15

 

b). f(x) = 4

⇔f(x) = 4×0

⇔f'(x) = 0 ⋅ 4×0−1

⇔f'(x) = 0

 

c). f(x) = 12

⇔f(x) = 12×0

⇔f'(x) = 0 ⋅ 12×0−1

⇔f'(x) = 0

 

3. Apabila f(x)=x2−1x+1, maka f′(x)=

Pembahasan:

f(x)=x2−1x+1=x2−x−1+1f′(x)=2×2−1−(−1)x−1−1+0=2x+x−2

Jadi, hasil dari f′(x)=2x+x−2

 

4. Diketahui f(x) = (2x + 3)²

Tentukan turunan pertamanya!

Pembahasan:

f ‘ (x) = 2(2x + 3) . (2)

= 4(2x + 3)

= 8x + 12

 

5. Menentukan Turunan Kedua (f”(x)) Dari Fungsi f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 8^x – 5

Pembahasan:

f(x) = 4x^3 – 3x^2 + 8^x – 5

f'(x) = 4.3x^(3-1) – 3.2x^(2-1) + 8 – 0

f'(x) = 12x^2 – 6x + 8

f”(x) = 12.2x^(2-1) – 6 + 0

f”(x) = 24x – 6

 

6. Carilah Turunan Kedua (f”(x)) dari fungsi f(x) = 4×3 – 3×2 + 8x – 5

Pembahasan:

f(x) = 4×3 – 3×2 + 8x – 5

f'(x) = 4.3x(3-1) – 3.2x(2-1) + 8 – 0

f'(x) = 12×2 -6x + 8

f”(x) = 12.2x(2-1) – 6 + 0

f”(x) = 24x – 6

 

7. Carilah turunan pertama dari fungsi berikut:

f(x) = 4(2×2 + 2x)

Pembahasan:

f(x) = 4(2×2 + 2x)

f(x) = 8×2 + 8x

 

⇔ f'(x) = 8.2×2-1 + 8.1×1-1

⇔ f'(x) = 8.2×1 + 8.1×0

⇔ f'(x) = 16x + 8

 

8. Menentukan Turunan Pertama Dari Fungsi f(x) = (4x^2 – 12x)(x + 2)

Pembahasan:

f(x) = (4x^2 − 12x)(x + 2)

f’(x) = 4x^3 + 8x^2 − 12x^2 − 24^x

f’(x) = 4x^3 − 4x^2 − 24x

f’(x) = (3.4x^3−1) – (2⋅4x^2−1) − 24

f’(x) = 12x^2 − 8x – 24

 

9. Carilah turunan f'(x) untuk f(x) = (x2 + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan:

u = (x2 + 2x + 3)

v = (4x + 5)

Sehingga didapatkan hasil:

u’ = 2x + 2

v’ = 4

Kemudian Grameds masukkan ke dalam rumus f'(x) = u’v + uv’ sehingga turunannya menjadi :

f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x2 + 2x + 3)(4)

f'(x) = 8×2 + 10x + 8x + 10 + 4×2 + 8x + 12

f'(x) = 8×2 + 4×2 + 10x + 8x + 8x + 10 + 12

f'(x) = 12×2 + 26x + 22

 

10. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi berikut ini :

1). f(x) = 3×1/2

2). f(x) = 6×3/2

Pembahasan:

1). f(x) = 3×1/2

⇔ f'(x) = 1/2. 3x (1/2 – 1)

⇔ f'(x) = 3/2. x-1/2

 

2).  f(x) = 6×3/2

⇔ f'(x) = 3/2. 6x (3/2 – 1)

⇔ f'(x) = 9×1/2

 

11. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

a). f(x) = 15x

b). f(x) = 4

c). f(x) = 12

Pembahasan:

a. f(x) = 15x

⇔f(x) = 15×1

⇔f'(x) = 15×1−1

⇔f'(x) = 15×0

⇔f'(x) = 15

 

b. f(x) = 4

⇔f(x) = 4×0

⇔f'(x) = 0 ⋅ 4×0−1

⇔f'(x) = 0

 

c. f(x) = 12

⇔f(x) = 12×0

⇔f'(x) = 0 ⋅ 12×0−1

⇔f'(x) = 0

Nah itu dia Grameds, penjelasan lengkap mengenai satuan panjang dan contoh soal serta pembahasannya. Bila ingin belajar lebih lanjut mengenai materi matematika, silakan cek rekomendasi buku terkait beriku ini, semoga bermanfaat!

 

Rekomendasi Buku Terkait

1. Semalam Suntuk Belajar Matematika SMA

Belajar Matematika pastinya tak akan seru tanpa adanya hafalan rumus. Sedangkang menghafal mungkin bukanlah hal yang mudah tanpa adanya sebuah buku yang isinya merangkum segala hal. Sebagian orang tak tertarik untuk belajar Matematika karena memang memiliki banyak materi, beragam rumus-rumus, dan bukanlah suatu yang praktis seperti mata pelajaran lainnya. Kesulitan memahami pelajaran ini merupakan salah satu alasan mengapa banyak siswa membencinya.

Untuk menjawab permasalahan tersebut, Anak Hebat Indonesia telah menghadirkan buku Semalam Suntuk Belajar Matematika SMA pada tahun 2018. Dengan ketebalan 272 halaman dan ukuran 11 x 18 cm, buku ini dibuat dengan ukuran yang kecil sehingga sangat pas untuk digenggam Grameds supaya praktis untuk dibawa kemanapun.

Buku yang disusun oleh Anastasia Angelica ini telah dikelompokkan dalam pokok-pokok bahasan yang mudah untuk dimengerti serta telah disarikan langsung inti-intinya sehingga bisa lebih efektif nan efisien supaya Grameds tidak kesulitan menghafal materi terlalu banyak. Cara menyampaikan materi ini berbeda dari buku pelajaran pada umumnya yang membuat buku ini menjadi lebih menarik untuk para pelajar.

Buku yang telah dirancang khusus bagi pelajar tingkat SMA ini dijamin bisa membuat pembaca berhasil menguasai pelajaran Matematika dengan waktu singkat. Sesuai dengan judulnya, hanya dalam semalam setelah membaca serta memahami buku ini, Grameds bisa langsung menjadi ahli Matematika serta langsung bisa mengerjakan seluruh soal Matematika yang hadir di ujian-ujian sekolah dengan cepat dan mudah. Semoga dengan hadirnya buku ini Grameds bisa menjadi ranking satu!

 

2. Sukses Juara Kompetisi Matematika SMA/MA

Ada dua tipe kompetisi Matematika yang kerap kali diselnggarakan di Indonesia dan bisa diikuti oleh siswa berprestasi, yakni olimpiade Matematika dan kompetisi Matematika sekolah. Kedua tipe kompetisi itu pastinya mengujikan materi yang berbeda. Biasanya, Olimpiade Matematika mengujikan materi yang umum. Sedangkan, kompetisi Matematika sekolah mengujikan materi matematika yang telah diajarkan di sekolah, tetapi soal-soal yang disajikan memiliki tingkat kesulitan lebih tinggi dibandingkan soal matematika di sekolah pada umumnya. Maka dari itu, siswa yang memiliki keinginan untuk mengikuti kompetisi matematika sekolah, khususnya pada tingkat SMA, wajib belajar kumpulan materi tersebut dengan banyak mengerjakan kumpulan soal latihan.

Buku Sukses Juara Kompetisi Matematika SMA/MA ini telah dirancang khusus bagi siswa untuk menghadapi kompetisi Matematika. Buku ini dapat digunakan sebagai sebagai sumber kumpulan soal latihan kompetisi Matematika yang bahkan sampai saat ini belum terlalu banyak beredar di pasaran. Selain itu, materi dibagi ke dalam dua level, yakni level dasar dan lanjut, di mana tiap-tiap level terdiri dari 200 soal latihan yang berbentuk pilihan ganda.

Di samping itu, buku ini juga disusun berdasarkan pengalaman penulis selama beberapa tahun berkontribusi sebagai:

-Penyusun naskah soal

-Anggota tim penyusun naskah soal

-Koordinator tim penyusun naskah soal

-Anggota tim penilai dalam kompetisi-kompetisi Matematika sekolah di Indonesia

Dengan kumpulan soal yang bervariatif dalam buku ini diharapkan para siswa bisa berlatih dengan maksimal sehingga memperoleh rasa percaya diri yang baik untuk berhadapan dengan kompetisi Matematika.

 

3. Super Coach: Matematika SMA/MA-SMK/MAK Kelas 10

Super Coach: Matematika SMA/MA-SMK/MAK Kelas 10 adalah buku yang sangat pas untuk digunakan sebagai buku pendamping dari buku teks pelajaran Matematika untuk SMA MA – SMK MAK. Mengapa begitu?

Buku ini sudah didesain khusus suipaya peserta didik mampu mengasah berbagai ragam kompetensi dengan mandiri. Untuk mencapai hal tersebut, buku ini telah dilengkapi dengan berbagai komponen penting, yakni sebagai berikut.

Pada setiap awal bab disajikan: Materi pokok pembelajaran, indikator pembelajara, ringkasan materi pembelajaran.

Kolom Ayo Menganalisis berisi kumpulan soal yang biasa hadir di PH, PTS, PAS, USBN, maupun UN. Hal ini bertujuan untuk mengarahkan peserta didik supaya memperoleh kemampuan dalam menganalisis soal, menyederhanakan soal, hingga menemukan solusi dari soal-soal tersebut. Pengulangan yang dilakukan dengan terus-menerus membuat peserta didik memiliki kemampuan bernalar.

Pada kolom Uji Kompetensi Mandiri, Penilaian Tengah Semester, maupun Penilaian Akhir Semester berisi kumpulan soal yang sudah dirancang khusus dengan tingkat kesulitan yang berbeda-beda sesuai kompetensi dasar. Hal tersebut bertujuan untuk melatih siswa dalam mengerjakan kumpulan soal dengan berbagai tingkat kesulitan.

Baca Juga!

• Ketahui Cara Menghitung Rata-Rata, Kuartil, dan Modus
• Memahami Rumus Normalitas, Molaritas, dan Molalitas
• Rumus Diskriminan, Soal, dan Pembahasannya
• Rangkuman Materi Matematika Kelas 7 Semester 1 Lengkap
• Contoh Soal Eksponen Matematika dan Pembahasannya
• Induksi Matematika: Pengertian, Jenis dan Konsep Dasarnya

Sumber Rujukan

• https://www.detik.com/jabar/berita/d-6226197/turunan-fungsi-aljabar-contoh-soal-rumus-dan-aplikasinya
• https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/turunan-fungsi-aljabar-pengertian-rumus-aplikasi-contoh-soal
• https://www.ruangguru.com/blog/turunan-fungsi-aljabar
• https://rumuspintar.com/turunan/
• https://www.zenius.net/blog/turunan-fungsi-aljabar