Pengertian Determinan: Cara Mencari, Manfaat dan Contoh Soal

Determinan; Pengertian, Cara Mencari, Manfaat dan Contoh Soal – Di dunia matematika, determinan termasuk salah satu bab yang bikin pusing, butuh ketelitian dan kesabaran tingkat tinggi. Nah sebelum kita lahap cara menentukan determinan itu kayak gimana, coba yuk diinget-inget lagi ya bab matriksnya terlebih dahulu.

A. Pengertian Determinan

Apa sih determinan itu? Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matrik persegi. Masih ingat matriks persegi? Yup, persegi itu kan sisi-sisinya sama? Nah matrik persegi berarti jumlah kolom dan barisnya sama.

Dalam matematika, matriks adalah susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.

Dalam bidang aljabar linear, determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A), det A, atau |A|. Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.

Jika dalam hati, lalu kamu iseng bertanya
“kalau jumlah baris dan kolomnya beda gimana, bisa ga dicari determinannya?”

Jawaban udah pasti ga bisa ya!

Saat kamu belajar tentang matriks, salah satu besaran yang akan kamu pelajari adalah determinan. Jadi sekali lagi, Determinan matriks adalah nilai yang bisa dihitung dari unsur-unsur matriks.

Pelajari mengenai determinan, melalui buku Pengantar Aljabar Linear yang telah disertai dengan peta konsep yang dapat lebih mudah kamu pahami.

B. Cara Mencari Determinan

Determinan Ini merupakan besaran skalar atau besaran yang hanya memiliki besar/nilai. Unsur matriks yang dimaksud adalah unsur matriks persegi.

Apa itu matriks persegi? Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama bisa 2×2 atau 3×3

1. Determinan 2×2

Misalkan kita punya matrik A yang elemennya a,b,c,d yang ditulis kayak gini :

Maka determinan A akan kita tuliskan :
Det A= |A|

lalu, bagaimana caranya menghitung determinan? susah atau gampang? hm… coba dilihat dulu :

Rumus determinan adalah :
|A| = ad-bc
Pertama kita kalikan silang a dengan d

Jadi
a x d = ad
Kemudian kita kalikan juga b dengan c
b x c = bc
Jadi sekali lagi
|A| = ad-bc
Biar gampang boleh diplesetin tuh, ade becek

2. Determinan 3×3

Cara menentukan determinan 3 x 3 itu ada dua cara yaitu cara sarrus dan cara minor kofaktor. apakah cara sarrus lebih mudah dari sara minor faktor atau sebaliknya cara sarrus lebih susah dari cara minor kofaktor, ok langsung saja kita sikat!

a. Cara sarrus

Setelah membahas cara menentukan determinan 2 x 2 ada juga determinan 3 x 3 , lebih banyak komponen sepertinya mencari determinannya juga lebih panjang dan lama. Biar lebih paham kita urai langkah satu persatu.

Kita lihat dulu ya misal kita punya matriks A berikut ini :

Bagaimana cara pengerjaan determinan 3×3 menggunakan metode sarrus adalah sebagai berikut:

• determinan disusun ulang dengan penambahan 2 baris dan 3 kolom
• kemudian buat garis diagonal ke kanan ( warna merah ) dengan operasional penjumlahan kemudian diagonal ke kiri (garis hijau) dengan operasional pengurangan.
  
• kita kalikan mengikuti garis sehingga akan kita dapatkan rumus menentukan determinan matriks 3 × 3 sebagai berikut:
  |A| =a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e. g – a.f.h – b.d.i

b. Cara minor-kofaktor

Selain cara sarrus maka ada cara lain untuk mencari determinan matriks 3×3 yaitu dengan cara minor kofaktor.

Dibandingkan cara Sarrus sepertinya cara minor kofaktor lebih panjang dan terperinci. Ada 3 langkah yang harus kita kerjakan

• Cari M₁₁, M₁₂, M₃
• Buat C₁₁, C₁₂ , C₁₃
• Masukkan ke dalam rumus determinan 3×3

Kita urai satu persatu, caranya adalah sebagai berikut misalkan ada matriks 3×3 A :

Yang akan kita kerjakan pertama adalah menghitung minornya terlebih dahulu berikut ini :

1) Mencari minor

Kita akan mencari minor dari deret ini. Pertama kita akan mencari minor kolom ke-1 baris ke-1 caranya adalah kita hapus kolom ke-1 dan baris ke – satu :

Setelah kita kolom ke- dan baris ke- 1 dihapuskan maka akan kita dapatkan sisanya sebagai M₁₁

Kedua kita akan hapus baris ke-1 kolom ke-2 untuk mendapatkan M₁₂

Setelah dihapus Maka akan kita dapatkan harga M₁₂

Terkahir Ketiga kita hapus baris ke-1 kolom ke-3 untuk mendapatkan M₁₃

Setelah menghapus baris ke-1 kolom ke 3 akan kita dapatkan :

Biar lebih mantap kita coba yuk mencari M₂₂

Kalau kita menginginkan M₂₂ maka kita akan menghapus baris ke 2 kolom ke 2 untuk mendapatkan M₂₂

Setelah dihapus maka akan kita dapatkan M₂₂

Sekali biar lebih afdol, kita cari M₃₃ yu, yaitu menghapus baris ke 3 dan kolom ke 3 untuk mendapatkan M₃₃

Maka akan kita dapatkan M₃₃

2) Mencari kofaktor

Cara mencari kofaktor adalah sebagai berikut:

Cᵢⱼ= -1ⁱ⁺ʲ |Mᵢⱼ|
misalkan kita akan mencari C₁₁
i= 1 j= 1
C₁₁= -1¹⁺¹ | M₁₁ |
kita tadi sudah memiliki M₁₁

maka
C₁₁= -1¹⁺¹ | e.i – f.h |

atau kita bisa pakai cara sebagai berikut,

Di atas baris pertama kita beri tanda (+) lalu (- )setelah itu (+)
Di baris kedua kembali kita beri tanda tanda (-) lalu (+) setelah itu (-)
kemudian baris ketiga kita beri tanda (+ ) lalu (-) setelah itu (+)

Jika mencari C₁₁ , pada baris ke 1 kolom ke 1 harganya (+)

C₁₁= +[ M₁₁]|
kita lihat :

maka determinannya
C₁₁= + ( e. i – f.h)

jika mencari C₁₂ , pada baris ke 1 kolom ke 2 harganya (+)

perhatikan bahwa tanda di atas b adalah ( -)
C₁₂= – |M₁₂ |
kita lihat :

maka kita akan memperoleh determinannya
C₁₂= – ( d. i – f.g)

Terakhir jika mencari C₁₃ , pada baris ke 1 kolom ke 3 harganya (+)

perhatikan bahwa tanda di atas c adalah (+)
C₁₃= +[ M₁₃] kita lihat :

maka determinannya
C₁₃= + ( d.h- e.g)

c). mencari determinan

Sekarang kita masuk ke pokok pencarian determinan yang begitu panjang ini yaitu menggunakan minor kofaktor. ini dia rumusnya
| A| = A₁₁. C₁₁ + A₁₂ . C₁₂ + A₁₃. C₁₃

kita lihat bahwa
harga A₁₁ = a
A₁₂ = b
A₁₃ = c

maka

| A| = a. C₁₁ + b. C₁₂ + c. C₁₃

Ini dia rumus menentukan determinan 3× 3 yang sedari tadi mengguncang otak, mendebar jantung dan membuat mendadak sakit perut.

Grameds dapat mempelajari mengenai matrix dan aljabar linier untuk lebih memahami determinan melalui buku Matlab Untuk Aljabar Linier Dan Matriks yang menjelaskan mengenai konsepnya.

C. Manfaat Belajar Determinan Matriks

Mungkin kamu berpikir, buat apa sih belajar matriks itu? apakah demi mendapat nilai dari guru matematika saja?. Eits jangan salah ternyata, keberadaan matriks cukup membantu para engineer untuk menyelesaikan masalah-masalah yang memiliki variabel cukup banyak.

Dalam kehidupan manusia matrik berfungsi atau berguna untuk mempermudah mengerjakan data untuk menyelesaikan suatu masalah yang berkaitan dengan angka dan jumlah pendataan. penggunaan matrik biasanya terjadi pada data tabel. Contohnya seperti untuk pembuatan jurnal dan pembuatan rapot.

Nah teori matriks biasanya digunakan untuk menjumlah kolom-kolom pada tabel tersebut maupun mengurangi, mengalikan, dan membagi nilai pada kolom tersebut.

Kesimpulannya ini dia Beberapa kegunaan matriks dalam kehidupan sehari

• Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam – macam variabel
• Digunakan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan , misalnya
  masalah operasi penyelidikan sumber – sumber minyak bumi dan sebagainya.
• Dikaitkan dengan penggunaan program linear, analisis input output baik dalam ekonomi, statistic, maupun dalam bidang pendidikan, manajemen,kimia, dan bidang – bidang teknologi yang lainnya.

D. Contoh soal Determinan

Tentu rasanya ga afdol kalau mencari determinan tapi nggak pakai soal. kadang rumus terlihat gampang namun pengerjaan tak semudah bayangan. atau rumus njelimet eh pas coba dikerjain ternyata hanya sekejap mata. Kita coba ya, mau kan?

1. Contoh soal determinan 2×2

Cara memahami determinan tentu saja dengan langsung mencoba soalnya, ya kan kita coba dari yang paling mudah ya

a. Contoh soal 1:

Jika diketahui matriks A sebagai berikut :

Maka tentukan determinannya

Pertama,karena a diwakili oleh 1 d diwakili oleh 3 maka ad operasi silang 1 dengan 3 ya
ad= 1×3 = 3
Kemudian karena b = 1 c = 2

Kita kalikan

Maka bc = 1×2 = 2
Jadi |A| =ad-bc
=(3)-(2)
= 1
jadi determinan A adalah 1

b. Contoh soal 2

Perhatikan determinan matriks B di bawah ini :

Jika diketahui nilai determinan matriks B adalah 4, maka nilai hitunglah nilai x
ok, kita lihat
|B| = ab- bc
a = 2 b= x c= 4 d = 8
maka ad = 2.8 = 16
bc = x.4 = 4x
jadi |B| = ab- bc
4 = 16 – 4x
4x = 16 – 4
4x = 12
x = 12
4
= 3
jadi nilai x adalah 3

c. contoh soal 3:

Terdapat dua buah matriks, yaitu : matriks A dan B seperti dibawah ini :

Agar determinan matriks A sama dengan dua kali determinan B, maka nilai x yang memenuhi adalah
pembahasan:
kita cari det A
a = x b = 2 c = 3 d= 2x
ad= x.2x = 2x²
bc = 2 . 3 = 6
maka determinn A
|A| = ab- bc = 2x² – 6

kita cari determinan B
a = 4 b = 3 c = -3 d= x
ad= 4.x = 4x
bc = 3 . -3 = -9
maka determinan
|B| = ab- bc = 4x – (-9) = 4x + 9
karena determinan matriks A sama dengan dua kali determinan B, maka
det A= 2 det B
|A| = 2 |B|
2x² – 6 = 2(4x + 9)
2x² – 6 = 8x + 18
2x² – 8x = 18 + 6
2x² – 8x = 24
2x² – 8x – 24 = 0
x² – 4x – 12 = 0
kita cari akar- akarnya
( x -6 ) (x + 2 ) =0
x – 6 = 0
x = 6
x + 2 = 0
x = -2
maka akar- akarnya adalah 6 dan -2

d. Contoh soal 4

Diketahui matriks A dan B seperti dibawah ini :

jika determinan matriks A adalah – 5 hitunglah determinan matriks B
kita cari determinan A
|A| = ad- bc
karena determinan A = 5 maka
5 = ad- bc

kita cari determinan B
|B|| = 3ad- 3bc
= 3( ad – bc)
ad- bc = A= 5

|B|= 3|A|
dan |A| = 3. 5 = 15
jadi nilai determinan B adalah 15

2. Contoh soal determinan 3×3

a. Cara sarrus

Contoh soal 1 : Tentukan determinan daru A

Jawab :

kita kerjakan perlahan ya karena perlu ketelitian yang cukup tinggi.
|A| = a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i

pada determinan ini kita lihat komponen- komponennya ya
a = 3 b = 2 c = 1
d = 1 e = 4 f = 2
g = 5 h = 1 i= 0
a.e.i = 3. 4. 0 = 0
b.f. g = 2. .2. 5 = 20
c.d.h = 1. 1. 1 = 1
c.e.g = 1. 4. 5 = 20
a.f.h = 3. 2. 1 = 6
b.d.i = 2. 1. 0 = 0
|A| = a.e.i + b.f.g + c.e.h – c.e.g – a.f.h – b.e.i
= 0 + 20 + 1 – 20 – 6 -0
= -5

Contoh soal 2: Tentukan determinan matriks berikut ini menggunakan metode minor-kofaktor! ?

a= 3 b= 1 c= 2
d= 4 e=5 f=1
g = 2 h= 1 i=2

Jawab :

Pertama kita cari M₁₁. dengan menghapus baris ke- 1 dan ke-1

setelah dihapus baris ke -1 kolom ke1 akan kita dapatkan M₁₁

selanjutnya kita cari harga C₁₁
a= 3 b= 1 c= 2
d= 4 e=5 f=1
g = 2 h= 1 i=2

C₁₁= +[ M₁₁]|
C₁₁= + ( e. i – f.h)
= + ( 5.2 – 1.1)
= + ( 10 – 1)
= 9

pertama kita cari M₁₂. dengan menghapus baris ke- 1 dan ke-2

maka akan kita dapatkan M₁₂

a= 3 b= 1 c= 2
d= 4 e=5 f=1
g = 2 h= 1 i=2

C₁₂= -[ M₁₂ |
= – ( d. i – f.g)
= -(4.2 -1.2)
= -( 8-2)
= -6

kemudian temukan M₁₃ dengan menghapus baris ke- 1 dan ke-3

maka akan kita dapatkan M₁₃

a= 3 b= 1 c= 2
d= 4 e=5 f=1
g = 2 h= 1 i=2
C₁₃= + [ M₁₃ |
= + ( d. h – e.g)
= +(4.1-5.2)
= +( 4-10)
= -6
kita masukkan deh ke rumus determinan dan
kita lihat lagi bahwa
harga A₁₁ = a= 3
A₁₂ = b = 1
A₁₃ = c = 2
lalu tadi kita sudah mendapatkan
C₁₁ = 9
C₁₂ = -6
C₁₃ = -6
maka
| A| = A₁₁. C₁₁ + A₁₂ . C₁₂ + A₁₃. C₁₃
= (3.9) +(1.6) +( 2.-6)
= 27 -6-12
= 9

Nah itu dia bahasan mendalam hingga tenggelam tentang determinan 2×2 dan determinan 3×3 semoga bisa membantu dalam mengerjakan soal dari Bapak ibu guru. Pengerjaan determinan ini harus kamu latih berulang-ulang sampai kamu terbiasa.

Masih pusing dengan pembahasan matriks yang satu ini? Kamu bisa mempelajari Buku Matlab Aljabar dan Linear di Gramedia.
Selamat Berlatih!

Rekomendasi Buku & Artikel Terkait