Limit Fungsi Trigonometri: Pengertian Hingga Contoh Soal

Limit Fungsi Trigonometri – Trigonometri merupakan cabang dari ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut segitiga, biasanya digunakan dalam membuat desain bangunan, pembuatan jembatan, dan pada bidang astronomi.

Sementara itu, limit trigonometri merupakan nilai paling dekat dari suatu sudut. Istilah-istilah yang ada dalam trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), secan (sec), cosecan (csc), dan cotangent (ctg).

Daftar Isi

Limit Fungsi Trigonometri

Sama halnya dengan limit trigonometri, limit fungsi trigonometri merupakan nilai paling dekat dari suatu sudut pada fungsi trigonometri. Ada beberapa manfaat dari penggunaan limit trigonometri, antara lain:

1. Membantu Menentukan Batas-Batas Integral

Limit trigonometri sering digunakan dalam menentukan batas-batas integral suatu fungsi. Dengan menggunakan limit, kita dapat menentukan nilai integral suatu fungsi dengan lebih akurat.

2. Membantu Menyelesaikan Persamaan Diferensial

Limit trigonometri juga dapat digunakan dalam menyelesaikan persamaan diferensial yang merupakan persamaan matematika yang menjelaskan cara suatu fungsi berubah terhadap waktu atau variabel lainnya.

Baca juga: pengertian trigonometri

3. Membantu Memahami Sifat-Sifat Suatu Fungsi Trigonometri

Dengan menggunakan limit, kita dapat memahami sifat-sifat suatu fungsi trigonometri seperti apakah fungsi tersebut terbatas atau tidak, dan apakah fungsi tersebut mengalami perubahan sifat atau tidak pada nilai tertentu.

4. Membantu dalam Perhitungan yang Lebih Akurat

Penggunaan limit dapat membantu dalam perhitungan yang lebih akurat, terutama pada nilai-nilai yang sangat dekat dengan batas tertentu. Secara keseluruhan, penggunaan limit trigonometri dapat membantu dalam memahami sifat-sifat suatu fungsi trigonometri, menyelesaikan persamaan diferensial, dan menentukan batas-batas integral.

Cara Menghitung Limit Fungsi Trigonometri

Dalam penghitungannya, terdapat dua teorema yang menjadi dasar dari limit fungsi trigonometri seperti di bawah ini.

Teorema 1 (hanya berlaku pada saat x → 0)

Teorema 2 (hanya berlaku pada saat x → c, Ɐc ∈ R)

Dengan menggunakan dua teorema di atas, kita dapat mencari nilai dari sebuah limit trigonometri dengan lebih mudah. Dalam sebuah soal limit fungsi trigonometri pula, biasanya menggunakan sudut-sudut istimewa yang nilainya tidak rumit.

Sudut-Sudut Istimewa dalam Trigonometri

Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri, yaitu 0^o, 30^o, 45^o, 60^o, 90^o. Perhatikan tabel sudut istimewa dari 4 kuadran di bawah ini agar lebih mudah dalam memahami sudut istimewa.

Baca juga rumus sin cos tan

Kuadran 1

Kuadran 2

Kuadran 3

Kuadran 4

Setelah mempelajari tabel sudut istimewa di atas, telah dimengerti bahwa terdapat beberapa sudut istimewa di setiap kuadran dan jika diperhatikan lebih lanjut akan terlihat bahwa setiap kuadran memiliki keterkaitan atau kemiripan satu sama lain.

Contoh Soal Limit Trigonometri

4. Diberikan sebuah bentuk limit trigonometri sebagai berikut

Tentukan hasil operasi limit di atas!

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kamu harus melihat kembali identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri.

Dari identitas trigonometri dan teorema limit trigonometri di atas, kita dapat menyelesaikan soal limit trigonometrinya.

Jadi, hasilnya adalah

5. Terdapat sebuah fungsi campuran seperti di bawah ini

Berapakah nilai a jika limit di x = 0?

Pembahasan

Pertama, untuk mengerjakan soal ini, kita harus memberlakukan batas limit kanan dan kiri.

Uji nilai pada ruas kiri

Uji nilai pada ruas kanan

a = 1

Untuk memenuhi persamaan di atas, nilai a=1.

Rumus Trigonometri

Pada saat menentukan nilai dari suatu limitnya, beberapa cara atau metode yang sering dipakai adalah substitusi, pemfaktoran, turunan, dan kali sekawan. Dalam trigonometri, terdapat beberapa rumus yang berbentuk seperti di bawah ini.

1. Rumus Kebalikan

2. Rumus Identitas

sin²α + cos²α = 1
1 + cot²α = csc²α
1 + tan²α = sec²α

3. Rumus Jumlah dan Selisih Trigonometri

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

4. Rumus Perkalian

2 cos α cos β = cos (α + β) + cos (α – β)
2 cos α sin β = sin (α + β) – sin (α – β)
2 sin α cos β = sin (α + β) + sin (α – β)
– 2 sin α sin β = cos (α + β) – cos (α – β)

5. Sudut Rangkap

sin 2α = 2 sin α cos α
cos 2α = 1 – 2 sin²α = cos²α – sin²α
tan 2α =
cot 2α =

Turunan Trigonometri

f (x)	f’(x)
sin x	cos x
cos x	– sin x
tan x	sec² x
cot x	– csc² x
sec x	sec x tan x
csc x	– csc x cot x

Keenam jenis rumus di atas merupakan hal yang mendasar dari materi trigonometri, karena hampir setiap soal yang menyangkut geometri pasti menggunakan rumus-rumus tersebut.

Itulah artikel terkait “limit fungsi trigonometri” yang bisa kalian gunakan untuk referensi dan bahan bacaan. Bagikan juga tulisan ini di akun media sosial supaya teman-teman kalian juga bisa mendapatkan manfaat yang sama.

Untuk mendapatkan lebih banyak informasi, Grameds juga bisa membaca buku yang tersedia di Gramedia.com. Sebagai #SahabatTanpaBatas kami selalu berusaha untuk memberikan yang terbaik. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan dan pengetahuan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca. Semoga bermanfaat!

Penulis: Fandy Aprianto Rohman

Rujukan

Istiyanto, Heri (2009). Bank Soal Matematika SMA. Jakarta: Gagas Media.
Kanginan, Marthen (2005). Cerdas Belajar Matematika. Bandung: Grafindo Media Pratama.
Martono, Koko; Noor, Firmansyah. 2007. Matematika dan Kecakapan Hidup. Jakarta: Ganeca Exact.

Rekomendasi Buku dan E-Book Terkait

1. Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun

Berhitung adalah langkah-langkah dasar untuk belajar matematika. Menghitung merupakan kemampuan akal untuk menjumlahkan. Berhitung adalah salah satu cabang dari matematika yang mempelajari operasi penjumlahan, operasi pengurangan, operasi perkalian, dan operasi pembagian. Secara umum, anak yang baru masuk sekolah akan kesulitan belajar berhitung jika menghadapi soal-soal yang diberikan sekolah, apalagi jika soal-soal itu sudah masuk ke perhitungan puluhan, ratusan, hingga ribuan.

Buku yang terdiri atas 64 halaman ini membantu anak Anda untuk berlatih perhitungan perkalian dan pembagian dengan metode bersusun. Buku tersebut juga disertai contoh-contoh dan soal-soal latihan agar anak Anda dapat berlatih perkalian dan pembagian bersusun satu digit, dua digit, tiga digit, dan empat digit.

Anda akan menemukan pelajaran berhitung yang dikemas secara menyenangkan untuk anak-anak di dalam buku Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun ini. Berikut pelajaran yang ada di dalam buku ini.

Perkalian dan pembagian bersusun dengan gambar perkalian dan pembagian bersusun.
Satuan perkalian dan pembagian bersusun.
Puluhan perkalian dan pembagian bersusun.
Ratusan perkalian dan pembagian bersusun.
Ribuan pembagian bersusun dengan hasil sisa.

Buku berjudul Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun yang ditulis oleh Rizkiananda ini ditujukan untuk anak-anak agar mereka bisa belajar matematika dengan cara yang lebih menyenangkan. Anak-anak akan betah membaca buku ini karena di dalamnya full color. Buku ini dilengkapi dengan poster perkalian, sehingga memudahkan anak untuk menghafalnya.

Segera miliki buku berjudul Matematika Genius Perkalian dan Pembagian Bersusun karya Rizkiananda hanya di Toko Buku Gramedia terdekat atau melalui Gramedia.com.

2. Aku Pandai Berhitung Perkalian dan Pembagian

Anak mama sudah mulai bisa mengucapkan angka? Kapan waktu yang tepat dan bagaimana cara untuk mengajar anak berhitung? Semua mama tentu perlu mengetahui cara mengajarkan anak berhitung. Belajar berhitung dapat menjadi hal yang membingungkan untuk anak-anak, sehingga mama pun dapat dibuat stres olehnya, padahal belajar berhitung bisa menjadi aktivitas yang menyenangkan bagi anak dan juga bagi mama.

Berhitung merupakan kemampuan dasar yang penting untuk anak-anak. Anak-anak yang mahir berhitung sejak dini akan lebih mudah memahami konsep matematika tingkat lanjut di sekolahnya. Pada anak usia dini, kegiatan berhitung dapat disebut juga dengan berhitung permulaan. Kemampuan berhitung permulaan adalah kemampuan yang dimiliki setiap anak untuk mengembangkan kemampuannya dan karakteristik perkembangannya yang dimulai dari lingkungan terdekat dengan dirinya, sejalan dengan perkembangan kemampuannya anak dapat meningkat ke tahap pengertian mengenai jumlah yang berhubungan dengan penjumlahan dan pengurangan.

Berikut ini beberapa strategi sederhana yang dapat membantu anak-anak mengembangkan rasa suka dan tertariknya kepada berhitung. Buku berjudul Aku Pandai Berhitung Perkalian dan Pembagian ini merupakan buku penunjang anak Sekolah Dasar (SD) untuk kelas 3, 4, dan 5. Buku ini berisi materi sederhana cara-cara mengerjakan soal perkalian dan pembagian, mulai dari yang mudah hingga yang sulit. Selain itu, buku ini juga dilengkapi dengan berbagai macam gambar agar anak lebih mudah memahaminya.

Buku ini lebih berfokus kepada latihan soal dibandingkan materi agar anak lebih aktif mengerjakan latihan soal dan mudah memahami soal-soal yang berkaitan dengan perkalian dan pembagian. Semoga buku Aku Pandai Berhitung Perkalian dan Pembagian ini dapat membantu proses belajar anak-anak agar menjadi lebih mudah dan menyenangkan, baik di sekolah maupun di rumah.

3. Aktivitas Hafiz dan Hafizah: Cerdas Perkalian

Anak-anak cenderung menghindari kegiatan belajar karena kegiatan tersebut menurut mereka terasa membosankan dan juga memusingkan, terlebih jika itu adalah pelajaran matematika. Anak-anak sering kali tidak suka belajar matematika karena konsep berhitung sangat rumit bagi mereka, padahal ayah dan bunda tentu ingin melihat anak-anak mereka pandai berhitung mengingat manfaatnya yang sungguh luar biasa dalam kehidupan.

Buku berjudul Aktivitas Hafiz dan Hafizah: Cerdas Perkalian ini akan mengajak anak-anak Anda untuk belajar berhitung, khususnya perkalian dengan cara yang menyenangkan. Buku ini dikemas dengan karakter Hafiz, Hafizah, dan teman-teman mereka sebagai pemandu dalam belajar yang akan menemani anak-anak dalam memahami materi di dalam buku ini. Dengan banyak latihan soal yang bervariasi, anak-anak akan terlatih dalam menghadapi soal-soal perkalian. Selain itu, buku ini juga dilengkapi dengan aktivitas seru lainnya yang akan membuat anak-anak senang dan tidak merasa bosan dalam belajar.

Hafiz, Hafizah, dan teman-temannya sedang belajar perkalian dan anak Anda boleh bergabung dengan mereka. Setiap halaman di buku ini menampilkan banyak soal latihan perkalian yang bervariasi dan akan membuat anak-anak semakin paham mengenai konsep perkalian. Selain itu, juga terdapat aktivitas lain yang seru dan mengasyikkan. Ayo, cepat selesaikan latihannya dan tingkatkan prestasimu!

4. 30 Solusi Unik Taklukkan Matematika

Matematika ibarat hantu kehidupan yang sangat menakutkan. Mendengar istilah matematika, seolah menghadirkan monster yang menyeramkan. Sebagian besar orang tua maupun siswa takut dengan matematika. Bukannya mengatasi ketakutan tersebut, malah justru menghindar jauh-jauh. Anggapan mereka sangat bertentangan dengan keadaan yang sesungguhnya. Sesungguhnya, matematika itu sangat berguna, bahkan hampir setiap aktivitas keseharian mereka saling bersinggungan dengan matematika.

Buku ini hadir sebagai media terbaik untuk membantu mereka yang takut terhadap matematika. Dengan mempelajari buku ini, mereka tidak akan lagi merasa takut terhadap matematika, bahkan mereka akan menyenanginya. Buku ini menghadirkan cara-cara terbaik untuk belajar matematika agar lebih mudah dan menyenangkan. Tak hanya itu, buku ini pun menghadirkan berbagai trik menarik tentang matematika yang bisa dipelajari oleh setiap anak.

Dengan adanya buku ini, kamu akan menemukan cara yang berbeda, lebih mudah, cepat, dan tepat dalam menyelesaikan soal-soal matematika. Kamu penasaran dengan seluruh sajian buku ini? Silakan simak dan nikmati setiap bahasan yang ada di dalam buku ini.

5. Logika dan Matematika

Matematika merupakan suatu bahan kajian yang memiliki objek abstrak dan dibangun melalaui proses penalaran deduktif, yaitu kebenaran sebelumnya, sehingga keterkaitan antar konsep dalam matematika bersifat sangat kuat dan jelas. Matematika berfungsi untuk mengembangkan kemampuan bernalar melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, dan eksperimen sebagai alat pemecahan masalah melalui pola berpikir dan model matematika, serta sebagai alat komunikasi sebagai simbol, tabel, grafik, diagram, dalam menjelaskan gagasan.

Sementara itu, logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal.

Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa. Materi ini di bangku Sekolah Menengah Atas (SMA) termasuk ke dalam mata pelajaran matematika kelas 11. Tidak berhenti di kelas 11 saja, materi logika matematika juga akan kalian temukan dalam soal-soal Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN), khususnya soal Tes Potensi Skolastik Ujian Tulis Berbasis Kompetensi (TPS-UTBK).

Selain meningkatkan kemampuan berpikir, materi yang satu ini wajib kamu pelajari agar kamu bisa menguasai materi UTBK dan lolos SBMPTN. Logika matematika sangat dekat kaitannya dengan pernyataan dan penarikan kesimpulan. Itulah sebabnya saat belajar materi ini kamu harus tahu apa yang disebut proposisi. Proposisi adalah suatu pernyataan yang mempunyai dua kemungkinan nilai kebenaran, yaitu benar atau salah, tetapi tidak mungkin keduanya (lebih dari satu).

Contohnya, angka 2 adalah bilangan genap merupakan pernyataan benar. Bilangan genap merupakan bilangan bulat dan habis dibagi 2. Angka 2 termasuk bilangan bulat dan akan habis jika dibagi 2. Proposisi pada logika matematika terbagi menjadi tiga jenis, yaitu proposisi tunggal, majemuk, dan kompleks. Jenis proposisi tunggal, yaitu pernyataan tanpa perangkai. Sementara itu, proposisi majemuk memiliki satu perangkai. Terakhir, proposisi kompleks memiliki dua atau lebih perangkai.

Buku Logika dan Matematika ini dapat digunakan sebagai buku ajar atau referensi yang menunjang pembelajaran mata kuliah Matematika Diskrit. Dengan mempelajari buku ini, mahasiswa diharapkan mampu meningkatkan kemampuannya dalam berpikir logis, kreatif, dan kritis. Kemampuan itu tentunya akan sangat berguna bagi mahasiswa atau pembaca dalam menunjang pengembang sistem informasi, pengembang multimedia/game, dan kompetensi yang relevan.

BACA JUGA: