Sifat-Sifat Eksponen: Pengertian dan Contoh

Sifat-Sifat eksponen – Angka atau bilangan digunakan untuk dapat menghitung berbagai macam benda maupun kegiatan. Contohnya adalah menghitung uang, menghitung jarak hingga menghitung luas suatu benda atau ruangan.

Akan tetapi, bagaimana jika hal-hal yang dihitung memiliki jarak yang cukup panjang atau bahkan sangat panjang, seperti jarak matahari dengan bumi? Atau hal tersebut memiliki ukuran yang sangat kecil seperti ukuran dari sel darah?

Untuk menghitung beberapa benda atau hal-hal dengan lebih mudah yang memiliki jarak terlalu panjang, ukuran terlalu kecil atau terlalu besar, maka digunakanlah bilangan eksponensial. Apa yang dimaksud dengan bilangan eksponensial dan sifat-sifatnya? Simak penjelasan tentang sifat-sifat eksponen dalam artikel berikut.

Pengertian dan Sejarah Bilangan Eksponen

Sumber: George Becker/Pexels

Dikutip dari laman resmi Columbia University, bilangan eksponensial merupakan bentuk dari singkatan matematika yang memungkinkan seseorang untuk dapat menulis ekspresi matematik yang mulanya rumit menjadi lebih ringkas atau simpel.

Bilangan eksponen merupakan bilangan yang dikalikan dengan berulang-ulang kali dengan bilangan itu sendiri.

Proses penemuan dari konsep eksponen ini telah dimulai sejak zaman Euclid yaitu seorang matematikawan yang dikenal pula sebagai Bapak Geometri. Euclid, yang juga dikenal sebagai Euclid dari Alexandria, dianggap sebagai “Bapak Geometri” karena kontribusinya yang besar dalam bidang geometri.

Euclid menulis sebuah buku yang dikenal sebagai “The Elements” pada abad ke-3 SM, yang menjadi teks standar geometri sampai abad ke-19. Buku tersebut mencakup definisi, postulat, dan teorema-teorema geometri yang digunakan sampai saat ini. Karya Euclid ini juga membantu dalam mengembangkan ilmu matematika lainnya seperti matematika aljabar, trigonometri, dan analisis.

Euclid tidak secara eksplisit menemukan atau menggunakan konsep eksponen dalam karyanya, sebab pada zamannya eksponen saat itu belum ditemukan. Namun, ia menggunakan konsep pangkat dalam geometri dan aritmatika dalam bukunya yang berjudul “The Elements”.

Ia menggunakan pangkat untuk menunjukkan perbandingan ukuran antara objek-objek geometri seperti segitiga, persegi, dan lingkaran. Namun eksponen sebagai konsep matematika baru muncul setelahnya oleh matematikawan Arab dan Eropa pada abad ke-16 dan ke-17.

Penggunaan dari konsep eksponen modern pertama kali dilakukan atau digunakan oleh Michael Stifel, ia adalah seorang matematikawan asal Inggris dan menulis sebuah buku berjudul “Arithmetica Integra” pada tahun 1544.

Matematikawan lain yang turut menggunakan konsep bilangan eksponen adalah Simon Stevin, seorang matematikawan, filsuf, dan ilmuwan Belanda. Dia adalah salah satu dari yang pertama menggunakan notasi pangkat, yang sekarang dikenal sebagai eksponen, dalam karya matematikanya. Namun sebenarnya, konsep eksponen sudah digunakan sejak zaman Yunani kuno, tetapi hanya sebagai konsep geometri dan tidak digunakan dalam notasi matematika.

Dari penemuan dan penggunaan konsep eksponen modern, The Britannica Dictionary menjelaskan bahwa pengertian eksponen adalah sebuah simbol yang ditulis di atas dan di samping sebuah bilangan untuk menunjukan berapa kali bilangan tersebut dapat dikalikan dengan bilangan itu sendiri.

Dari definisi tersebut, maka dapat diketahui bahwa eksponen merupakan sebuah simbol atau angka yang akan menunjukan berapa banyak suatu angka atau bilangan dapat dikalikan.

Sederhananya, eksponen dapat diartikan sebagai bentuk dari perkalian dengan bilangan yang sama secara berulang-ulang kali. Sehingga, eksponen merupakan perkalian yang diulang-ulang.

Eksponen dapat dikenali pula sebagai bilangan dengan pangkat atau berpangkat. Untuk dapat memahami tentang eksponen, Grameds perlu memahami sifat-sifat dan bentuk dalam eksponen.

 

Sifat-Sifat Eksponen

Sumber: Magda Ehlers/Pexels

Grameds mungkin sudah pernah mengenal istilah dari notasi ilmiah. Ciri dari notasi ilmiah adalah memiliki bilangan dengan pangkat yang digunakan untuk meringkas penulisan angka yang memiliki  jumlah terlalu besar atau terlalu kecil.

Contohnya adalah ketika menuliskan masa dari elektron yaitu 9,1 x 10-31 kg bilangan dengan pangkat dalam contoh tersebut tentunya sudah tidak asing, terutama ketika Grameds mempelajari ilmu matematika.

Bilangan berpangkat tersebut dikenal pula dengan nama bilangan eksponen. Bilangan eksponen biasanya digunakan agar suatu bilangan dapat dengan lebih mudah ditulis serta menjadi lebih singkat, sederhana atau simpel.

Dengan begitu, akan memudahkan dalam proses penulisan serta tentunya memudahkan untuk dipahami.

Apabila Grameds ingin memahami tentang bilangan eksponen, Grameds harus mengenali dan memahami sifat-sifat eksponen. Sifat dalam bilangan eksponen memiliki peran yang cukup penting, antara lain adalah berikut:

• Pangkat penjumlahan

Sifat eksponen pangkat penjumlahan adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa jika Grameds melakukan penjumlahan pada eksponen dari bilangan yang sama, maka hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut dikalikan dengan jumlah eksponennya. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah (a^m) + (a^n) = a^(m+n).

Misalnya, jika Grameds memiliki 2 pangkat 3 dan 2 pangkat 4, maka (2^3) + (2^4) = 2^(3+4) = 2^7. Ini sama dengan 128.

• Pangkat pengurangan

Sifat eksponen pangkat pengurangan adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa jika Grameds melakukan pengurangan pada eksponen dari bilangan yang sama, maka hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut dibagi dengan pangkat eksponennya. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah (a^m) – (a^n) = a^(m-n).

Misalnya, jika Grameds memiliki angka 2 pangkat 4 dan 2 pangkat 3, maka (2^4) – (2^3) = 2^(4-3) = 2^1 = 2.

Sifat ini berlawanan dengan sifat eksponen pangkat penjumlahan. Sifat ini juga sangat bermanfaat dalam menyederhanakan ekspresi matematika yang rumit. Namun dalam beberapa kasus, hasil dari pengurangan eksponen bisa menjadi bilangan negatif jika eksponen yang di kurangkan lebih besar dari eksponen yang dikurangi.

• Pangkat perkalian

Sifat eksponen pangkat perkalian adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa apabila dilakukan perkalian pada eksponen dari bilangan yang sama, maka hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut dikuadratkan dengan jumlah eksponennya. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah (a^m) * (a^n) = a^(m*n).

Misalnya, jika Grameds memiliki 2 pangkat 2 dan 2 pangkat 3, maka (2^2) * (2^3) = 2^(2*3) = 2^6 = 64.

Bagi para mahasiswa jurusan Matematika, pastinya akan mencari buku pengantar analisis matematika. Jika belum menemukan buku yang tepat, maka buku Pengantar Analisis Matematika bisa dijadikan sebagai referensi.  Terlebih lagi, buku ini ditulis dengan sumber yang jelas dan bahasa yang sederhana, sehingga jadi lebih mudah dipahami.

 

• Pangkat pembagian

Sifat eksponen pangkat pembagian adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa apabila dilakukan pembagian pada eksponen dari bilangan yang sama, maka hasilnya akan sama dengan bilangan tersebut diakarkan dengan pembagian eksponennya. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah (a^m) / (a^n) = a^(m/n)

Contohnya, apabila ada bilangan 8 pangkat 4 dan 8 pangkat 2, maka (8^4) / (8^2) = 8^(4/2) = 8^2 = 64.

Sifat eksponen pangkat pembagian ini berlawanan dengan sifat eksponen pangkat perkalian. Sifat ini juga sangat bermanfaat dalam menyederhanakan ekspresi matematika yang rumit dan juga dalam menyelesaikan soal-soal matematika yang menggunakan eksponen.

Namun perlu diingat jika eksponen pembagian hasilnya adalah bilangan rasio atau pecahan, sehingga perlu diperhatikan jika pecahan itu tidak dapat dituliskan dalam bentuk bilangan bulat.

• Pangkat nol

Sifat eksponen pangkat nol adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa jika sebuah bilangan dipangkatkan dengan bilangan nol, maka hasilnya selalu sama yaitu 1. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah a^0 = 1, dimana a merupakan bilangan apapun.

Misalnya, apabila ada bilangan 2 pangkat 0, maka 2^0 = 1.

• Pangkat satu

Sifat eksponen pangkat satu adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa jika sebuah bilangan dipangkatkan dengan bilangan satu, maka hasilnya selalu sama dengan bilangan tersebut sendiri. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah a^1 = a, dimana a merupakan bilangan apapun.

Misalnya, jika kita memiliki 2 pangkat 1, maka 2^1 = 2.

• Perkalian bilangan yang diberi pangkat

Sifat eksponen perkalian bilangan yang diberi pangkat adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa apabila Grameds melakukan perkalian pada dua bilangan yang masing-masing diberi pangkat, maka kita dapat menambahkan pangkat dari kedua bilangan tersebut. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah (a^m)(b^n) = (ab)^(m+n).

Misalnya, apabila Grameds memiliki sebuah bilangan 2 pangkat 3 dan 3 pangkat 2, maka (2^3)(3^2) = (8)(9) = 72 = (2*3)^(3+2).

Pelajaran matematika sudah diajarkan sejak seorang anak memasuki jenjang pendidikan Sekolah Dasar (SD). Bagi sebagian anak, mungkin saja kesulitan dalam mengerjakan soal-soal matematika. Namun, buku 30 Solusi Unik Taklukkan Matematika ini bisa menjadi sumber  bacaan agar seorang anak jadi lebih mudah memepelajari matematika.

 

• Pangkat dengan bilangan pecahan

Sifat eksponen pangkat dengan bilangan pecahan adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa jika sebuah bilangan dipangkatkan dengan bilangan pecahan, maka hasilnya sama dengan bilangan tersebut diakarkan dengan pangkat yang sama dengan bilangan pecahan yang digunakan. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah a^(m/n) = √(a^m)^n, dimana m/n adalah bilangan pecahan, a merupakan bilangan apapun dan √ adalah simbol akar.

Misalnya, apabila ada suatu bilangan 2 pangkat 3/2, maka 2^(3/2) = √(2^3)^(2/3) = √8^(2/3) = √8^(2/3) = 2^(2/3)

• Pangkat negatif

Sifat eksponen berupa pangkat negatif adalah sifat eksponen yang menyatakan bahwa jika sebuah bilangan dipangkatkan dengan bilangan negatif, maka hasilnya sama dengan bilangan tersebut di dibagi dengan pangkat yang sama dengan bilangan negatif yang digunakan. Notasi matematika yang digunakan untuk menyatakan sifat ini adalah a^(-n) = 1/a^n, dimana a merupakan bilangan apapun dan n adalah bilangan negatif.

Misalnya, apabila ada sebuah bilangan 2 pangkat -3, maka 2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8 = 0.125

Setelah mengetahui kesembilan sifat eksponen, tentunya akan lebih mudah untuk Grameds memahami tentang bilangan eksponen.

Contoh Soal Eksponen

Sumber: Magda Ehlers/Pexels

Agar dapat memahami materi tentang sifat eksponen lebih baik, Grameds bisa mencoba mengerjakan contoh soal dan mengecek jawabannya dengan pembahasan yang ada dalam artikel berikut ini.

Diketahui 2^3 = 8, maka hitunglah nilai dari (2^3)^2

Jawab:

(2^3)^2 = 8^2 = 64

Diketahui 5^4 = 625, maka hitunglah nilai dari (5^4) / (5^2)

Jawab:

(5^4) / (5^2) = 625 / 25 = 25

1. Diketahui a^3 = 8 dan a^2 = 4, maka hitunglah nilai dari a^5

Jawab:

a^5 = a^(3+2) = a^3 * a^2 = 8 * 4 = 32

1. Diketahui 3^2 = 9, maka hitunglah nilai dari √3^-2

Jawab:

√3^-2 = (1/3^2)^(1/2) = 1/9 = 0.111

1. Diketahui a^5 = 32 dan a^2 = 4, maka hitunglah nilai dari a^7

Jawab:

a^7 = a^(5+2) = a^5 * a^2 = 32 * 4 = 128

1. Diketahui b^4 = 256 dan b^2 = 16, maka hitunglah nilai dari b^-3

Jawab:

b^-3 = 1/(b^3) = 1/(b^(4-1)) = 1/(256/16) = 1/16

1. Diketahui c^3 = 27 dan c^2 = 9, maka hitunglah nilai dari c^(3/2)

Jawab:

c^(3/2) = √c^3 = √27 = 3

1. Diketahui d^5 = 243, maka hitunglah nilai dari (d^5)^(1/5)

Jawab:

(d^5)^(1/5) = d

1. Diketahui e^6 = 4096, maka hitunglah nilai dari (e^6)^(-1/6)

Jawab:

(e^6)^(-1/6) = 1/e

Perlu diingat, dalam soal-soal ini, a,b,c,d,e adalah bilangan apapun yang dianggap sama.

1. Diketahui f^6 = 46656, maka hitunglah nilai dari (f^6)^(2/3)

Jawab:

(f^6)^(2/3) = f^4

1. Diketahui g^8 = 16777216, maka hitunglah nilai dari (g^8)^(-1/4)

Jawab:

(g^8)^(-1/4) = g^-2

1. Diketahui h^3 = 27, maka hitunglah nilai dari (h^3)^(1/3)

Jawab:

(h^3)^(1/3) = h

1. Diketahui i^5 = 3125, maka hitunglah nilai dari (i^5)^(3/5)

Jawab:

(i^5)^(3/5) = i^3

1. Diketahui j^4 = 256, maka hitunglah nilai dari (j^4)^(-1/4)

Jawab:

(j^4)^(-1/4) = j^-1

Perlu diingat, dalam soal-soal ini, f,g,h,i,j adalah bilangan apapun yang dianggap sama.

1. Diketahui x^3 = 8 dan x = 2, maka hitunglah nilai dari x^5

Pembahasan:

x^5 = x^(3+2) = x^3 * x^2 = 8 * 4 = 32

Jawab: x^5 = 32

1. Diketahui y^4 = 16 dan y = 2, maka hitunglah nilai dari y^-2

Pembahasan:

y^-2 = 1/(y^2) = 1/(2^2) = 1/4

Jawab: y^-2 = ¼

1. Diketahui a^5 = 32 dan a^3 = 8, maka hitunglah nilai dari a^2

Pembahasan:

a^2 = (a^5)/(a^3) = 32/8 = 4

Jawab: a^2 = 4

1. Diketahui b^3 = 27 dan b = 3, maka hitunglah nilai dari b^(3/2)

Pembahasan:

b^(3/2) = √b^3 = √27 = 3

Jawab: b^(3/2) = 3

1. Diketahui c^7 = 16384 dan c^3 = 8, maka hitunglah nilai dari c^4

Pembahasan:

c^4 = (c^7)/(c^3) = 16384/8 = 2048

Jawab: c^4 = 2048

Dalam soal-soal ini, x,y,a,b,c adalah bilangan apapun yang dianggap sama.

Untuk dapat memahami materi bilangan eksponen, Grameds harus memahami konsep dasar dari eksponen. Konsep dasar eksponen yang dimaksud adalah sifat eksponen.

Apabila Grameds telah benar-benar memahami apa yang dimaksud dengan sifat eksponen, maka akan lebih mudah bagi Grameds untuk menggunakan konsep eksponen untuk dapat menyelesaikan pekerjaan serta menjawab soal matematika yang berhubungan dengan konsep eksponen itu sendiri.

Tentu saja, tidak semua orang dapat mudah memahami konsep dari bilangan eksponen. Apabila Grameds merasa kesulitan memahami materi tentang eksponen, Grameds bisa mempelajari materi sifat-sifat eksponen lebih lanjut dengan membaca buku.

Sebagai #SahabatTanpaBatas, gramedia.com menyediakan berbagai macam buku termasuk buku matematika. Jangan ragu untuk membeli buku di Gramedia, karena dijamin original dan tentunya berkualitas.

Penulis: Khansa

Rujukan:

• https://www.superprof.co.id/blog/pengertian-eksponen/
• https://www.orami.co.id/magazine/pengertian-eksponen
• https://rumushitung.com/2014/08/13/sejarah-penemuan-eksponen/
• http://linkmath.blogspot.com/2016/06/sejarah-bilangan-eksponen.html