Matriks Singular: Konsep, Rumus, dan Contoh Soal

Ketika Grameds masih duduk di bangku SMA atau sedang mendalami keilmuan yang bersinggungan dengan perhitungan banyak variabel. Maka, akan lebih baik mempelajari matriks untuk mempermudah pekerjaan-pekerjaan tersebut.

Matriks memiliki beragam jenis, salah satunya matriks singular. Matriks ini memiliki kebalikan, yakni matriks non singular. Matriks singular sendiri merupakan matriks yang tidak memiliki invers dan determinannya nol.

Untuk memahami lebih lanjut mengenai matriks singular, Grameds dapat menyimak paparan mengenai matriks singular berikut ini.

Daftar Isi

Sekilas Tentang Matriks

Matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam kolom dan baris sehingga membentuk suatu bangun segi empat. Sebagai gambaran awal matriks, Grameds dapat menyimak contoh matriks berukuran 2 x 3 di bawah ini.

Ukuran matriks ditentukan berdasarkan jumlah baris dan kolom yang dimilikinya. Matriks dengan m kolom dan n baris disebut dengan matriks m x n, yang mana m dan n disebut dengan dimensinya. Misalnya matriks di atas disebut dengan matriks 2 x 3. Hal tersebut disebabkan, matriks tersebut terdiri dari 2 baris dan 3 kolom.

Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut dengan matriks persegi. Adapun matriks dengan jumlah satu baris disebut dengan vektor baris. Sedangkan, matriks dengan satu kolom disebut dengan vektor kolom.

Adapun matriks tak terbatas merupakan matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya). Pada beberapa konteks matriks yang dipertimbangkan tanpa baris atau tanpa kolom disebut dengan matriks kosong.

Untuk penjelasan lebih lanjut, Grameds dapat menyimak gambar di bawah ini.

Baris m adalah horizontal dan kolom n adalah vertikal. Setiap elemen matriks sering kali dilambangkan dengan variabel dua notasei indeks. Misalnya, a_2,1mewakili elemen pada baris kedua dan kolom pertama dari matriks A.

Setiap objek dalam matriks A berdimensi m x n sering dilambangja dengan a_i,j.Yang mana dilai maksimum i = m dan nilai maksimum j = n. Objek dalam matriks disebut dengan elemen, entri atau anggota matriks.

Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama) maka kedua matriks tersebut dapat dilakukan penjumlahan atau pengurangan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, syarat perkalian matriks, yakni ketika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua pada perkalian dua matriks.

Maksudnya, perkalian matriks m x n dengan matriks n x p menghasilkan matriks m x p. Oleh sebab itu, perkalian matriks tidak bersifat komutatif. Pada umumnya, matriks digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suati generalisasi fungsi linear seperti f (x) = 4x.

Misalnya, efek rotasi pada ruang dimensi tiga merupakan sebuah transformasi linear yang dilambangkan dengan matriks R. Jika v adalah sebuah vektor di dimensi tiga, hasil R_vmenyatakan posisi titik tersebut setelah dirotasi.

Matriks dapat diterapkan dalam berbagai bidang sians. Misalnya pada fisika berupa mekanika klasik, optika, dan mekanika kuantum. Matriks juga digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Pada bidang computer graphics, matriks diterapkan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi.

Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks digunakan sebagai penjelas probabilitas keadaan. Seperti pada algoritma pagerank dalam menentukan urutan halaman pencairan di Google. Adapun kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari tutunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga diterapkan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem ekonomi relasi.

Matriks diajarkan di bangku SMA pada mata pelajaran matematika. Berikut rekomendasi buku yang merngkum materi pembelajaran SMA selain matriks. Grameds dapat menggunakan buku ini untuk menunjang belajar matematika.

Fungsi Matriks dalam Kehidupan Sehari-hari

Meskipun operasi matriks terlihat sulit, tetapi ia memiliki banyak manfaat untuk mempermudah pekerjaan-pekerjaan manusia dalam kehidupan sehari-hari. Berikut beberapa manfaat mempelajari matriks dalam kehidupan sehari-hari.

Membantu pekerjaan insinyur dalam menyelesaikan masalah-masalah dengan banyak variabel.
Matriks juga dapat digunakan untuk membuat rapor dan jurnal.
Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier, transformasi geometri, menentukan jadwal siaran televisi, dan pemrogaman komputer.
Membantu menganalisis permasalahan ekonomi yang memiliki berbagai macam variabel.
Sebagai cara untuk menganalisis dalam bidang statistik, pendidikan, sains, ekonomi, dan teknologi.
Membantu mencari solusi pada operasi penyelidikan, misalnya operasi penyelidikan sumber daya alam (batu bara, minyak bumi, dan sebagainya).

Konsep dan Ciri-Ciri Matriks Singular

Dalam buku berjudul Persiapan Olimpiade Matematika untuk Jenjang SMP/Mts & Sederajat yang ditulis I Gusti Agung Oka Yadnya merumuskan bahwa matriks singular merupakan matriks yang nilai determinannya adalah nol (0). Matriks singular tidak memiliki nilai invers matriks atau matriks balikan.

Matriks singular memiliki kebalikan, yakni matriks non singular. Matriks tersebut, determinannya tidak sama dengan nol dan memiliki invers. Invers sendiri merupakan sebuah kebalikan dari kedua matriks. Jika matriks tersebut dikalikan maka akan menghasilkan matriks persegi (AB = BA = |).

Adapun lambang invers matriks ditulis dengan pangkat (-1). Misalnya invers matriks A maka dilambangkan dengan A^-1.

Untuk lebih memahami matriks singular, Grameds dapat berpegangan dengan beberapa ciri matriks singular berikut ini.

Semua elemen dalam satu baris atau kolom sama dengan nol.
Seluruh elemen pada suatu baris merupakan hasil kelipatan dari elemen atau anggota pada baris lain.
Semua elemen pada suatu kolom merupakan hasil penjumlahan dari beberapa kolom lain.
Seluruh elemen pada suatu kolom merupakan hasil kelipatan dari elemen atau anggota pada kolom lain.
Seluruh elemen pada suatu baris merupakan hasil penjumlahan dari beberapa baris lain.

Sebuah matriks dapat digolongkan sebagai matriks singular ketika memenuhi beberapa syarat di bawah ini.

Matriks dengan jenis n x m dengan determinan 0.
Determinan submatriksnya berupa 0.
Determinan salah satu baris atau kolomnya berupa 0.
Tidak semua elemen di setiap baris dan kolomnya berupa 0.
Hanya memiliki satu solusi karena hanya dengan menghitung determinan sudah dapat diketahui bahwa matriks tersebut singular atau non singular.

Rumus Matriks Singular

Prinsip dari matriks singular adalah determinannya sama dengan nol. Maka untuk menentukan sebuah matriks termasuk dalam matriks singular atau tidak maka harus dihitung determinannya. Berikut pembuktian matriks singular pada matriks ordo 2 x 2 dan 3 x 3.

1. Matriks Ordo 2 x 2

0 = (5 x 18) – (6 x 15)

0 = 90 – 90

0 = 0

Jadi, matriks tersebut termasuk dalam matriks singular.

2. Matriks Ordo 3 x 3

0 = ((-3) x 1 x 2) + (1 x 5 x 9) + (2 x (-6) x (-7)) – (2 x 4 x 9) – ((-3) x 5 x (-7)) – (1 x (-6) x (-8))

0 = 96 + 45 + 84 – 72 – 105 – 48

0 = 0

Matriks singular memiliki sifat khusus pada konstruksinya. Misalkan matriks A_nxnsebagai berikut.

Matriks A memenuhi sifat khusus jika dan hanya jika memenuhi sifat berikut.

Secara umum, persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut.

Contoh Soal Matriks Singular

Agar lebih memahami matriks singular, Grameds dapat menyimak beberapa soal dan pembahasan di bawah ini yang telah dirangkum dari berbagai sumber.

1. Diketahui matriks A memenuhi sifat khusus.

Buktikan bahwa matriks A merupakan matriks singular!

Jawab:

= (12 x 24 x 33) + (22 x 27 x 20) + (25 x 14 x 30) – (25 x 24 x 20) – (12 x 27 x 30) – (22 x 14 x 33)

= 9.504 + 11.880 + 10.500 – 12.000 – 9.720 – 10.164

= 0

2. Tentukan apakah matriks A dan matriks B di bawah ini termasuk dalam matriks singular atau tidak!

Jawab:

= ((-1) x 5) – ((-1) x 4)

= -5 + 4

= -1

= (P x (-Q)) – (Q x (-P))

= -PQ + PQ

= 0

Jadi, matriks A termasuk dalam matriks non singular dan matriks B termasuk dalam matriks singular.

3. Tentukan nilai n agar matriks agar menjadi matriks singular.

Jawab:

det (D) = 0

(n (n + 1)) – ((n + 1) (-4)) = 0

(n² + n) – (-4n – 4) = 0

n² + n + 4n + 4 = 0

n² + 5n + 4 = 0

(n + 1) (n + 4) = 0

n + 1 = 0 n = -1

n + 4 = 0 n = -4

Mempelajari matriks dapat mempermudah dalam menyelesaikan berbagai permasalahan sains yang melibatkan banyak variabel. Salah satunya pada matematika. Berikut rekomendasi buku yang dapat dijadikan penunjang belajar untuk mempelajari aljabar linier dan matriks.