Memahami Rumus Integral, Contoh Soal, dan Penyelesaiannya!

Rumus integral – Ketika duduk di bangku SMA, kita akan mempelajari matematika yang lebih kompleks. Salah satu materi yang membutuhkan ketelitian adalah kalkulus yang mencakup beberapa konsep, seperti limit, turunan dan integral.

Jika kembali ke masa pelajaran SMA, mungkin saja beberapa materi tersebut mungkin sudah lupa. Meski begitu, Grameds tak perlu khawatir karena pada artikel ini, kita akan mengingat kembali tentang rumus integral dan turunan beserta contoh soal dan penyelesainnya.

Jadi, tunggu apalagi, tetap simak ulasan ini, sampai selesai, Grameds.

Mengenal Turunan

Turunan dan integral memiliki keterkaitan. Integral menjadi kebalikan dari turunan. Turunan fungsi atau yang disebut juga dengan diferensial adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya.

Misalnya, fungsi f dijadikan menjadi f’ akan memiliki nilai tidak memakai aturan dan hasil dari fungsi yang akan berubah sesuai dengan variabel yang dimasukkan. Atau, umumnya, suatu besaran berubah seiring dengan perubahan besaran lainnya.

Adapun, proses dalam menemukan turunan disebut sebagai diferensiasi. Selanjutnua, pengertian dari turunan aljabah adalah perluasan dari materi limit fungsi.

Dengan konsep limit, turunan dapat didefinisan sebagai berikut.

Turunan tersebut dapat didefinisikan sebagai limit dari perubahan rata-rata dari nilai fungsi terhadap variabel x.

Adapun, rumus turunan seperti yang dimuat dalam laman Rumuspintar.com sebagai berikut.

• f(x) = c, dengan c merupakan konstanta. Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 0.
• f(x) = x. Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = 1.
• f(x) = axn. Turunan dari fungsi tersebut adalah f’(x) = anxn – 1
• Penjumlahan fungsi:  h(x) = f(x) + g(x). Turunan fungsi tersebut yaitu h’(x) = f’(x) + g’(x).
• Pengurangan fungsi: h(x) = f(x) – g(x). Turunan fungsi tersebut adalah h’(x) = f’(x) – g’(x)
• Perkalian konstanta dengan suatu fungsi (kf)(x). Turunan fungsi tersebut adalah k . f’(x).

Turunan memiliki beberapa fungsi sebagai berikut.

• Turunan berfungsi untuk menyelesaikan permasalahan maksimum dan minimum.
• Turunan berfungsi sebagai penghitung gradien dari garis singgung suatu kurva.
• Turunan dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan gerak.
• Turunan dapat digunakan untuk menentukan nilai stasioner suatu fungsi.
• Turunan juga dapat diterapkan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan persamaan gerak.

Turunan juga berlaku pada aljabar. Berikut penggambaran turunan fungsi aljabar dalam bentuk perkalian sebagai berikut.

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x) . v(x).

Turunan dari fungsi tersebut yaitu h’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Turunan fungsi aljabar juga berlaku dalam bentuk pembagian. Berikut penggambarannya.

Misalkan terdapat perkalian fungsi: h(x) = u(x)/v(x)

Maka, turunan dari fungsi tersebut sebagai berikut.

h’(x) = (u’(x) . v(x) – u(x) . v’(x))/v2(x).

Keterangan:

• h(x) : fungsi dalam bentuk perkalian fungsi.
• h’(x) : turunan fungsi bentuk perkalian
• u(x), v(x) : fungsi dengan variabel x
• u’(x), v’(x) : turunan fungsi dengan variabel x

Mengenal Integral

Sederhananya, integral juag dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan. Integral dibedakan menjadi dua, yakni integral tentu dan integral tak tentu. Adapun, notasi dari integral sebagai berikut.

Biasanya, anti turunan dari f(x) dinotasika dengan atau “integral f(x) terhadap x”. bentuk dari  disebut sebagai integral tak tentu dan f(x) disebut dengan integran. Dari pemaparan tersebut maka  Dengan bilangan rasional dan n ≠ 1.

Misalnya, terdapat suatu fungsi sederhana ax². Maka rumus integral fungsi tersebut sebagai berikut.

Keterangan:

• k : koefisien
• x : variabel
• n: pangkat/derajat dari variabel
• C: konstanta

Misalkan terdapat fungsi f(x). jika diketahui luas daerah yang dibatasi oleh grafik f(x) maka dapat ditentukan dengan

Dengan a dan b adalah garis vertikan atau batas luasan daerah yang dihitung dari sumbu –x. Misalnya integral dari f(x) disimbolkan dengan F(x) atau ditulisakan rumus integralnya sebagai berikut.

Maka

Keterangan:

• a, b  : batas atas dan batas bawah integral
• f(x)  : persamaan kurva
• F(x)  : luasan di bawah kurva f(x)

Adapun, sifat dari integral dapat disimak pada penjelasan berikut ini.

Integral dapat dikelompokkan menjadi dua, yakni integral tentu dan integral tak tentu. Berikut penjelasan keduanya yang dirangkum dari laman Rumuspintar.com.

1. Integral Tentu

Integral tentu merupakan jumlahan suatu daerah yang dibatasi dengan kurva atau persamaan tertentu. Integral tentu memiliki nilai tertentu karena memiliki batas yang telah ditentukan dengan jelas. adapun rumus integral tentu didefinisikan sebagai berikut.

Keterangan:

• f(x) : persamaan kurva
• a, b : batas bawah dan batas atas integral
• F(b), F(a): nilai integral untuk x = b dan x = a.

2. Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah suatu kebalikan turunan. Integral tak tentu dari suatu fungsi akan menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu. Hal tersebut disebabkan oleh adanya variabel dalma fungsi baru tersebut.

Adapun rumus dari integral tak tentu sebagai berikut.

Keterangan:

• f(x): persamaan kurva
• F(x): luasan di bawah kurva f(x)
• C: konstanta

Jika dirinci lebih lanjut, integral masih terbagi menjadi beberapa kelompok seperti yang dilansir dari laman Rumuspintar.com sebagai berikut.

1. Integral Pecahan

Fungsi pecahan dapat didefinisikan dengan f(x)/g(x). Adapun, penyelesaian integral fungsi pecahan dapat dilakukan dengan memecah fungsi yang kompleks menjadi fungsi yang lebih sederhana. Seperti contoh berikut yang dipaparkan dalam laman Rumuspintar.com.

Penyelesaian integral tersebut yaitu sebagai berikut.

Fungsi pecahan tersebut dapat dipisah menjadi

(A + B) x + B – A = 1

Sehingga

B – A = 1 , dan A + B = 0

Didapatkan B = ½  dan A = – ½

Maka, dengan menggunakan sifat integral diperoleh

= ½ (- ln |x + 1| + ln |x – 1| + C1)

= – ½ ln |x + 1| + ½ ln |x – 1| + C, dengan C = ½ C1

2. Integral Eksponensial

Fungsi eksponensial secara umum dinotasikan dengan e^x. Adapun, konsep atau rumus integral eksponensial sebagai berikut.

Keterangan:

• ex, ekx : fungsi eksponensial
• C     : konstanta

3. Integral Substitusi

Integral substirusi menjadi solusi untuk permasalahan yang melibatkan perkalian fungsi dengan salah satu fungsi yang menjadi turunan fungsi yang lain.

Seperti contoh berikut ini.

Kita misalkan U = ½ x2 + 3 maka dU/dx = x

Sehingga  x dx = dU

Persamaan integral substitusinya menjadi

= -2 cos U + C = -2 cos ( ½ x2 + 3) + C

4. Integral Parsial

Integral parsial dapat digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian dua fungsi. Secara umum, integral parsial dapat dirumuskan seperti di bawah ini.

Keterangan:

U, V: fungsi

dU, dV: turunan dari fungsi U dan turunan dari fungsi V

5. Tabel Integral

Bentuk integral tak tentu memiliki beberapa jenis di antaranya sebagai berikut.

Integral Fungsi	Hasil Integrasi
	-cos x + C
	sin x + C
	ln |sec x| + C
	arc sin x + C
	arc tan x + C
	arc sec x + C
	cos x + C
	Sin x + C

 

Contoh Soal dan Penyelesaian dari Turunan dan Integral

Untuk lebih memahami tentang integral dan turunan, Grameds dapat menyimak soal serta pembahasan berikut ini yang telah dirangkum dari berbagai laman di internet.

Contoh Soal 1

1. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

• f(x) = 8
• g(x) = 3x + 5
• h(x) = 6×3
• k(x) = 3×5/3
• m(x) = (3×2 + 3)4

Pembahasan

• f’(x) = 0
• g’(x) = 3
• h’(x) = 6 (3) x3 – 1 = 18×2
• k’(x) = 3 (5/3) x(5/3) – 1 = 5×2/3
• m’(x) = 4 . (3×2 + 3)4 – 1 . 6x = 24x . (3×2 + 3)3

Contoh Soal 2

2. Tentukan turunan dari fungsi berikut.

f(x) = (3x + 2) . (2×2 – 1)

Pembahasan

Misal: u(x) = 3x + 2 dan v(x) = 2×2 – 1

f’(x) = u’(x) . v(x) + u(x) . v’(x)

f’(x) = 3 . (2×2 – 1) + (3x + 2) . (4x)

f’(x) = 6×2 – 3 + 12×2 + 8x = 18×2 + 8x – 3

Contoh Soal 3

3. Diberikan sebuah fungsi ordo 2 seperti di bawah ini

Tentukan nilai f(0) + 3f’(1)

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kita dapat memasukkan nilai 0 ke dalam fungsi tersebut.

Setelah mendapatkan nilai f(0). Kita dapat mengerjakan turunan fungsi hasil bagi menggunakan salah sifat turunan.

Untuk menggunakan rumus tersebut, kita dapat menggunakan pemisalan dan turunannya seperti di bawah ini.

U = x2 + 3 ; U’ = 2x

V = 2x + 1 ; V’ = 2

Kemudian, kita bisa memasukkan pemisalan tersebut ke dalam rumus turunan yang sebelumnya serta kita dapat secara langsung memasukkan f’x(1).

Maka, hasil f(0) + 3f’(1) = 3 + 3(0) = 3

Contoh Soal 4

4. Tentukan hasil turunan f(x) = (x2 + 2x + 3)(3x + 2)

Pembahasan

Sama seperti soal sebelumnya, Untuk mengerjakan soal turunan dalam bentuk perkalian, kita dapat menggunakan rumus sifat turunan serta menggunakan pemisalan dalam fungsi tersebut seperti di bawah ini.

F’(x) = u’v + uv’

U = x2 + 2x + 3 ; U’ = 2x + 3

V = 3x + 2 ; V’ = 3

F’(x) = u’v + uv’

F’(x) = (2x+3)(3x + 2) + (x2 + 2x + 3)(3)

F’(x) = 6×2 + 13x + 6 + 3×2 + 6x + 9

F’(x) = 9×2 + 19x + 15

Sehingga bentuk akhir F’(x) adalah 9×2 + 19x + 15

Contoh Soal 5

5. Jika terdapat f(x) = (2x-1)2(x+2). Berapakah nilai f’x(2)

Pembahasan

Untuk mengerjakan soal ini, kita bisa menggunakan sifat turunan fungsi f’(x) = u’v + v’u untuk mendapatkan hasil akhir, maka kita dapat melakukan pemisalan kembali.

F’(x) = u’v + uv’

U= (2x-1)2 = 4×2 – 4x + 1 ; U’ = 8x – 4

V = x + 2 ; V’ = 1

F’(x) = u’v + uv’

F’(x) = (8x – 4)(x + 2) + (4×2 – 4x + 1)(1) ; kita dapat memasukkan nilai 2 seperti di soal

F’(2) = ((8(2) – 4)(2 + 2)) + ((4(2)2 – 4(2) + 1)(1))

F’(2) = ((16-4)(4)) + ((16-8+1)(1))

F’(2) = 96 + 9 = 105

Sehingga nilai akhir F’(2) adalah 105

Contoh Soal 6

6. Tentukan sebuah garis singgung pada kurva y= -2×2 + 6x + 7 yang tegak lurus dengan garis x – 2y +13 = 0

Pembahasan

Disebutkan di dalam soal bahwa terdapat 2 garis yang saling tegak lurus, sehingga kita dapat mengasumsikan bahwa kedua garis memiliki kemiringan tertentu. Kita dapat menentukan nilai m1 dan m2 dari kedua garis.

m1 merupakan slope dari garis y= -2×2 + 6x + 7. Untuk mencari nilai m1, dapat dilakukan dengan cara menurunkan fungsi y= -2×2 + 6x + 7.

m1 = y’(x) = -4x + 6

m2 merupakan slope dari x – 2y +13. Untuk mencari nilai m2, kita harus mengubah fungsi tersebut menjadi fungsi y.

x – 2y +13 = 0

x + 13 = 2y

y = 0,5x + 6.5

m2 = y’(x) = 0,5

Dikarenakan kedua garis saling tegak lurus, maka nilai m1 x m2 = -1.

m1 x m2 = -1

(-4x + 6)0,5 = -1

-2x + 3 = -1

-2x =  -4

X = 2

Kita masukkan ke dalam persamaan m1 sehingga di dapatkan nilai m1 = -2. Setelah menemukan nilai x, kita masukkan nilai tersebut ke fungsi y sehingga di dapatkan nilai y = 11.

Untuk membuat sebuah garis singgung, rumus yang digunakan adalah (y-y1) = m1(x – x1).

(y – 11) = -2 (x – 2)

Y – 11 = -2x +4

Y = -2x + 15

Garis singgung adalah y+2x-15 = 0

Contoh Soal 7

7. Terdapat sebuah box tanpa tutup dengan alas berbentuk persegi memiliki luas sebesar 512 cm2. Berapakah panjang rusuk agar volumenya memiliki nilai maksimum

Pembahasan

Pada soal tersebut, dijelaskan bahwa box tidak memiliki tutup. Sehingga, box tersebut terdiri dari 4 sisi dan 1 alas. Anggap sisi alas adalah s dan tinggi sisi adalah t. Kita dapat menuliskan persamaan box seperti di bawah ini.

512 = luas alas + 4 sisi box

512 = s.s + 4.s.t

512 = s2 + 4st

512 – s2 = 4st

Setelah mendapatkan t, kita bisa mencari volume dari box tersebut

V = s3 = s2 . t

Untuk mendapatkan volume maksimum, kita dapat menurunkan persamaan volume di atas

V’(s) = 0

S2 = 170,67 cm2

S = 13,07 cm

Jadi, panjang s yang dibutuhkan agar volumenya maksimum adalah 13,07 cm.

Setelah memahami soal tentang turunan, Grameds dapat menyimak soal dan penyelesaian dari integral sebagai berikut.

Pembahasan

1.

2.

1/(x2 – x + 6) = 1/((x – 3)(x + 2)) = A/(x – 3)  + B/(x + 2)

A(x + 2) + B (x – 3) = 1

(A + B) x + 2A – 3B = 1

Diperoleh A = 1/5  dan B = – 1/5

= 1/5 (ln |x – 3| + C1 – ln |x + 2| – C2) = 1/5 ln |x – 3| – 1/5 ln |x + 2| + C, dengan C = 1/5 C1 – 1/5 C2

3. , dapat diselesaikan dengan menggunakan integral parsial.

Misal:

u = x maka du = dx

dv = ex dx maka v =

Sehingga

4.

Misal :

u = cos x maka du = – sin x, dengan menggunakan konsep integral substitusi diperoleh:

5.

1/3 x3 + 3x + C dengan batas atas 2 dan batas bawah 1, sehingga:

= (1/3 (2)3 + 3 (2)) – (1/3 (1)3 + 3 (1))

= (8/3) + 6 – 1/3 – 3

= 16/3

Itulah beberapa pembahasan kita tentang rumus integral dan juga contoh soalnya. Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat dan memudahkan kamu dalam mengerjakan soal integral. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Jika ingin mencari buku terkait matematika atau kalkulus, maka kamu bisa mendapatkannya di gramedia.com atau melihat rekomendasi buku di bawah ini.

Rekomendasi Buku Tentang Rumus Integral

Kalkulus bukanlah hantu matematika. Ketika telah memahami konsep dari kalkulus maka soal sesulit apapun bisa diselesaikan.

Berikut rekomendasi buku pendamping belajar kalkulus dari Gramedia.com. Rekomendasi buku berikut ini disertai dengan rangkumannya sebagai gambaran awal sebelum menjadikannya teman belajar.

1. Kalkulus Integral

Buku kalkulus Integral ini merupakan tindak lanjut dari buku kalkulus Differensial yang sudah ditulis oleh penulis sebelumnya pada tahun 2019. Pada buku kalkulus Differensial dibahas dari konsep fungsi, limit dan turunan sedangkan pada buku ini dibahas mulai dari anti turunan yang merupakan kelanjutan dari konsep turunan. Buku ini juga membahas materi integral baik dari integral tentu, taktentu, takwajar, teorema-teorema penunjang hingga software pendukung dalam menyelesaikan integral dari suatu fungsi.

Buku fungsi khusus sendiri sudah ditulis penulis pada awal tahun 2019 yang di dalamnya terdapat konsep fungsi gamma, beta, legendre yang di dalamnya merupakan penerapan integral takwajar. Sehingga buku kalkulus differensial, kalkulus integral dan fungsi khusus merupakan serangkaian yang tidak bisa dipisahkan dan dapat digunakan secara bersamaan untuk menempuh matakuliah kalkulus oleh mahasiswa.

2.  Kalkulus Differensial

Buku Kalkulus I ini merupakan tindak lanjut dari buku kalkulus untuk teknik yang sudah ditulis oleh penulis sebelumnya pada tahun 2016. Buku kalkulus untuk teknik lebih spesifik dan memuat hanya materi fungsi, turunan dan integral. Sedangkan buku kalkulus ini membahas materi yang lebih luas yaitu fungsi, limit, turunan dll. Buku ini digunakan untuk mahasiswa yang menempuh kalkulus, kalkulus diferensial atau matakuliah lain.

3. Kalkulus Diferensial & Integral: Teori dan Aplikasi

Kalkulus Diferensial dan Integral sebagai cabang keilmuan berperan penting sebagai dasar ilmu pengetahuan yang mendukung keahlian dalam bidang matematika lanjutan dan bidang keteknikan. Selain itu, juga merupakan mata kuliah utama yang mengantarkan mahasiswa supaya dapat memahami cabang-cabang matematika tingkat tinggi. Sebagai mata kuliah keahlian dasar, Kalkulus Diferensial dan Integral harus dipelajari oleh mahasiswa pada jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Teknik, Fakultas Ekonomi, Fakultas MIPA-Matematika, Fakultas Teknik Informatika, dan ilmu-ilmu komputer lainnya di setiap perguruan tinggi.

Buku ajar (textbook) ini memaparkan uraian teori mengenai Kalkulus Diferensial dan Integral secara terperinci yang dilengkapi dengan sejumlah teori dan aplikasinya dalam berbagai bidang keilmuan seperti Fisika, Ekonomi, Bisnis, dan Demografi. Pada setiap pembahasan diberikan pengertian dengan bahasa yang sederhana, sehingga mudah dipahami. Serta bagaimana menerapkannya dalam bentuk penyelesaian contoh, yang dipaparkan secara jelas setiap langka-langkah pembahasannya, baik dalam bentuk gambar maupun dalam berbagai komentar yang akan memberikan pemahaman yang sangat baik.

4. Kartun Kalkulus

“Bagaimana memanusiakan kalkulus dan membuat konsepnya jadi menarik? Jawaban cerdas Larry Gonick adalah tokoh-tokoh kartun yang berbicara, berkomentar, bercanda—sambil mengajar persamaan dan konsep dan kegunaan kalkulus. Pencapaian luar biasa, dan sangat seru.” – Lisa Randall, Profesor Fisika Harvard University dan penulis Knocking on Heavens Door.

Larry Gonick, kartunis yang merupakan lulusan matematika berhasil menyajikan buku pelajaran kalkulus bergambar tingkat kuliah tahun pertama yang menjelaskan mengenai fungsi, limit, turunan, dan integral. Buku Kartun Kalkulus tidak seperti buku pelajaran pada umumnya yang terikat dengan aturan penulisan buku pengetahuan ilmiah. Buku ini dilengkapi dengan ilustrasi sederhana, jernih, dan lucu, sehingga konsep-konsep yang dijelaskan akan lebih mudah untuk dipahami.

Terdapat berbagai teori dasar kalkulus, contoh soal, dan latihan-latihan. Buku ini menjadi kombinasi sempurna antara hiburan dan pendidikan. Buku ini juga dikemas sebagai buku petunjuk yang kaya akan humor dan informatif mengenai teori kalkulus, mulai dari cara statistika, aljabar, dan lainnya. Buku Kartun Kalkulus cocok untuk para mahasiswa, guru, dosen, orang tua, dan profesional. Larry Gonick telah membuat komik sejarah, sains, dan subjek lain selama empat puluh tahun. Dia pernah menjadi pengajar kalkulus di Harvard (tempat dia mendapat gelar Badan MA matematika) dan di Knight Science Journalism Fellow di MIT. Larry Gonick juga berprofesi sebagai karyawan kartunis di majalah Muse.

Baca juga terkait Rumus Integral: