Pengertian Konstanta, Variabel, dan Suku Beserta Contoh Soalnya

Dalam pelajaran matematika terdapat pembahasan tentang konstanta. Konstanta adalah suatu bilangan tunggal yang nilainya tetap atau tidak mengalami perubahan sehingga bisa disebut dengan konstan. Materi konstanta sendiri cukup penting dalam disiplin ilmu sain, karena dalam perhitungan seperti Fisika dan Geometri, menggunakan perhitungan ini.

Bagi beberapa orang, perhitungan konstanta memang cukup sulit apalagi jika kita tidak memiliki ilmu yang cukup tentangnya. Namun, ilmu yang masuk dalam kategori perhitungan aljabar ini memiliki banyak manfaat khususnya dalam perhitungan sains lho.

Jika sahabat Grameds ingin memahami lebih dalam tentang pengertian dan maksud dari konstanta, mari simak ulasan lengkapnya di bawah sini.

Daftar Isi

Pengertian Konstanta

Dalam pembukaan di atas, sudah sempat disinggung bahwa konstanta merupakan cabang kelimuan yang masuk ke dalam unsur perhitungan aljabar. Namun, apa arti sebenarnya dari konstanta?

Menurut Murlina Sugesti dalam buku Rumus Super Lengkap Matematika SMP Kelas 1, 2 & 3, konstanta dalam aljabar adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berbentuk bilangan dan tidak memuat suatu variabel. Dalam ilmu matematika, konstanta adalah suatu bilangan tunggal yang nilainya tetap atau tidak berubah-ubah (konstan). Konstanta digunakan dalam berbagai disiplin ilmu sains. Beberapa konstanta diberi nama menurut nama penemunya.

Misalnya dalam rumus aljabar seperti 2×2 + 3xy + 7x – 8, maka kita bisa mengetahui kalau ‘-8’ adalah konstanta karena tidak memiliki variabel di belakangnya. Contoh konstanta yang lain bisa dilihat melalui rumusan aljabar 3-4×2 – x. Dalam rumusan tersebut, kita bisa mengetahui bahwa konstanta adalah angka “3”.

Dari dua contoh konstanta di atas, kita bisa mengambil kesimpulan lainnya, yaitu konstanta bisa memiliki nilai suku positif atau negatif. Ia akan tetap menjadi konstanta, asalkan tidak ada variabel lain yang mengikutinya.

Contohnya dalam soal seperti 4p + 5q 2r 3. Konstanta dari bentuk aljabar 4p +5q 2r 3 adalah berbentuk positif semuanya sehingga konstantanya adalah 3.

Sebuah konstan dapat dipakai untuk menyatakan sebuah fungsi konstan, sebuah fungsi yang mengabaikan argumen (nilai masukan)-nya dan selalu memberikan hasil nilai yang sama. Misalkan, diketahui ada sebuah fungsi konstan dengan satu variabel, katakanlah $f(x)=5$ . Fungsi ini mempunyai grafik yang memuat sebuah garis horizontal yang sejajar dengan sumbu-x. Fungsi tersebut selalu memberikan nilai yang sama, yaitu 5 karena tidak ada variabel yang memuat di dalam bentuk fungsi tersebut.

Sifat konsep “konstanta” yang bergantung kepada konteks dapat dilihat dalam contoh dari kalkulus dasar:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{karena }}x{\text{ konstanta (tidak bergantung pada }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {konstanta,} &&{\text{dengan }}\mathbf {konstanta} {\text{ berarti tidak bergantung pada }}x.\end{aligned}}

“Konstanta” berarti tidak bergantung kepada setiap variabel dan tidak berubah saat variabel berubah. Pada kasus pertama di atas, konstanta x berarti tidak bergantung pada h, sedangkan pada kasus kedua di atas, konstanta berarti tidak bergantung kepada x. Dalam konteks yang lebih sempit, konstanta dapat dipandang sebagai variabel dalam konteks yang lebih luas.

Ada beberapa nilai yang sering muncul dalam matematika dan secara konvensional dilambangkan dengan simbol tertentu. Simbol standar dan nilainya disebut konstanta matematika. Sebagai contoh:

0 (nol).
1 (satu), bilangan asli setelah nol.
$π$ (pi), konstanta yang mewakili rasio keliling lingkaran terhadap diameternya, kira-kira sama dengan 3,141592653589793238462643.
$e$ , dengan 2,718281828459045235360287.
$i$ , unit imajiner sedemikian rupa $i 2 = -1$ .
${\sqrt {2}}$ (akar kuadrat 2), panjang diagonal persegi dengan sisi-sisi satuan, kira-kira sama dengan 1,414213562373095048801688.
$φ$ (rasio emas), kira-kira sama dengan 1.618033988749894848204586, atau secara aljabar, $1+{\sqrt {5}} \over 2$

Konstanta dalam Kalkulus

Dalam kalkulus, konstanta diperlakukan dalam beberapa cara berbeda tergantung operasinya. Sebagai contoh, turunan dari fungsi konstanta adalah nol. Menurut definisi, hal ini dikarenakan konstanta tidak berubah. Jadi, turunannya adalah nol. Sebaliknya, jika mengintegrasikan sebuah fungsi konstanta, konstanta tersebut dikalikan dengan variabel integrasi. Ketika menghitung suatu limit, konstanta tetap sama seperti sebelum dan sesudah perhitungan.

Integrasi fungsi dari satu variabel seringkali melibatkan konstanta integral. Konstanta tersebut muncul karena bahwa operator integral merupakan invers dari operator diferensial. Artinya, tujuan integrasi adalah untuk memulihkan fungsi asli sebelum diferensiasi.

Seperti yang dijelaskan contoh di atas, turunan dari fungsi konstanta adalah nol dan operator diferensial adalah operator linear, sehingga fungsi yang hanya berbeda dengan suku konstanta memiliki turunan yang sama. Untuk membenarkannya dan memastikan bahwa semua solusi yang mungkin disertakan, konstanta integrasi ditambahkan ke integral taktentu. Biasanya, konstanta integrasi ditulis sebagai $C$ , dan mewakili konstanta dengan nilai tetap, namun nilainya belum ditentukan.

Sebelumnya juga telah disebutkan bahwa konstanta adalah bagian dari unsur aljabar. Lalu, apa itu aljabar dan apa saja unsur-unsurnya? Simak penjelasan berikut.

Unsur-Unsur Aljabar

Setelah memahami tentang konstanta secara sederhana, sahabat Grameds juga perlu memahami tentang unsur aljabar. Hal ini tidak lepas dari posisi konstanta yang merupakan satu bagian dari aljabar. Dalam perhitungan rumus aljabar, kita tidak boleh hanya melihat konstanta saja, tetapi juga melihat unsur-unsur lain seperti variabel dan koefisien pada perhitungan matematika.

Namun, apa sebenarnya aljabar itu? Menurut buku Kisi-Kisi Pasti Ujian Nasional SMP 2015 Prediksi Akurat yang ditulis Reni Fitriani, aljabar diartikan sebagai bentuk matematikan yang penyajiannya memuat huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui nilainya.

Secara umum, aljabar (dari bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pengumpulan bagian yang rusak”) adalah salah satu bagian dari bidang matematika yang luas, bersama-sama dengan teori bilangan, geometri dan analisis. Dalam bentuk paling umum, aljabar adalah ilmu yang mempelajari simbol-simbol matematika dan aturan untuk memanipulasi simbol-simbol ini; aljabar adalah benang pemersatu dari hampir semua bidang matematika.

Selain itu, aljabar juga meliputi segala sesuatu dari dasar pemecahan persamaan untuk mempelajari abstraksi seperti grup, gelanggang, dan medan. Semakin banyak bagian-bagian dasar dari aljabar disebut aljabar elementer, sementara bagian aljabar yang lebih abstrak yang disebut aljabar abstrak atau aljabar modern.

Aljabar elementer umumnya dianggap penting untuk setiap studi matematika, ilmu pengetahuan, atau teknik, serta aplikasi dalam kesehatan dan ekonomi. Aljabar abstrak merupakan topik utama dalam matematika tingkat lanjut, yang dipelajari terutama oleh para profesional dan pakar matematika.

Berikut contoh bentuk aljabar.

2x, -3p, 4y – 5, 2x² – 3x + 7, (x + 1) (x -5)

Huruf x, p, dan y pada bentuk aljabar tersebut disebut variabel. Selain konstanta, pada suatu bentuk aljabar terdapat unsur-unsur aljabar yang lain, meliputi variabel, koefisien, dan suku. Untuk mengetahui masing-masing pengertiannya, berikut penjelasannya.

Lantas apa yang dimaksud dengan variabel konstanta, koefisien, dan suku dalam perhitungan aljabar?

1. Variabel

Variabel adalah simbol atau lambang pengganti pada bilangan yang belum diketahui dengan jelas nilainya. Dalam beberapa bahasan, variabel juga dikenal sebagai peubah. Biasanya dalam penerapan rumus aljabar, nilai dari variabel akan bisa terlihat jelas karena dilambangkan menggunakan huruf seperti a, b, x, y, atau z.

Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat ialah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.

Pada dasarnya variabel dapat dibedakan menjadi dua, yaitu variabel kualitatif dan variabel kuantitatif. Variabel kualitatif adalah sesuatu yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-ubah (atau variabel) yang tidak dapat diukur, seperti selera, preferensi, kepuasan, dan lainnya.

Sementara itu, variabel kuantitatif adalah sesuatu yang sifatnya tidak tetap, tetapi berubah-ubah (atau variabel) yang dapat diukur, seperti dalam kilogram, ton, unit, satuan moneter, rupiah, hari, dan sebagainya. Misalnya jumlah penjumlahan yang dijual suatu perusahaan adalah variabel kuantitatif dalam rupiah.

Jadi, bila ada yang menganggap variabel konstanta adalah satu kesatuan, hal ini bisa dipastikan kurang tepat karena konstanta dan variabel memiliki makna yang berbeda.

Di dalam matematika, nama-nama lambang-tunggal untuk variabel adalah norma. Setelah abad ke-17, filsuf dan matematikawan Prancis, René Descartes, abjad-abjad awal alfabet, misalnya a, b, dan c biasa digunakan untuk konstanta; dan akhir alfabet, misalnya x, y, z, dan t digunakan untuk variabel. Dalam dokumen matematika, variabel dan konstanta biasanya dicetak miring.

Cabang-cabang dan terapan-terapan tertentu matematika biasanya memiliki kesepakatan penamaan tertentu untuk variabel. Variabel-variabel yang memiliki peran atau arti serupa sering kali disajikan dalam abjad-abjad yang berdekatan. Misalnya, tiga sumbu ruang koordinat tiga dimensi telah disepakati sebagai x, y, dan z, sedangkan variabel acak di dalam statistika biasanya ditulis X, Y, dan Z. Di dalam fisika, nama-nama variabel ditentukan luas oleh besaran yang mereka wakili, tetapi terdapat berbagai kesepakatan yang muncul.

Suatu kesepakatan yang kerap diikuti dalam peluang dan statistika adalah penggunaan X, Y, dan Z untuk nama-nama variabel acak, dan variabel-variabel itu digantikan oleh x, y, z untuk keluaran sampel atau pengamatan variabel-variabel acak itu. Lambang-lambang yang ditulis belakangan (abjad kecil) merupakan variabel matematika biasa.

Lambang-lambang yang ditulis lebih awal (abjad besar) sebenarnya mewakili fungsi-fungsi dari ruang sampel (himpunan keluaran atomik) dari percobaan ke bilangan asli (biasanya demikian). Kesepakatan lainnya yang kadang-kadang digunakan di dalam statistika adalah pelambangan nilai-nilai populasi statistik tertentu menggunakan abjad kecil (atau besar) Yunani, sedangkan taksiran kuantitas-kuantitas berbasis sampel itu dilambangkan oleh abjad besar (atau kecil) dari alfabet latin.

2. Koefisien

Selanjutnya ada koefisien. Koefisien adalah faktor konstanta dari suatu variabel pada bentuk rumus aljabar. Jadi dalam rumus aljabar, koefisien merupakan angka atau bilangan yang melekat pada sebuah variabel. Misalnya dalam rumus 4×2 +9x -12, kita bisa mengetahui koefisien dari x2 adalah 4 dan koefisien dari x adalah 9. Koefisien sendiri cukup mudah ditemukan asalkan memiliki nilai variabel yang jelas pada rumusan aljabar.

Dalam matematika, koefisien adalah faktor perkalian dalam beberapa suku dari sebuah polinomial, deret, atau ekspresi; biasanya berupa angka, tetapi bisa juga ekspresi apa pun (termasuk variabel seperti $a$ , $b$ dan $c$ ). Dalam kasus terakhir, variabel yang muncul di koefisien sering disebut parameter, dan harus dibedakan dengan jelas dari variabel lain.

Misalnya, dalam

7x^{2}-3xy+1.5+y,

Dua suku pertama masing-masing memiliki koefisien 7 dan −3. Suku ketiga 1.5 adalah koefisien konstanta. Suku terakhir tidak memiliki faktor koefisien yang ditulis secara eksplisit yang tidak akan mengubah suku; koefisien dengan 1 (karena variabel tanpa angka memiliki koefisien 1).

Dalam banyak skenario, koefisien adalah angka (seperti kasus untuk setiap suku pada contoh di atas), meskipun bisa menjadi parameter masalah atau ekspresi apa pun dalam parameter ini. Dalam kasus seperti itu, dengan jelas membedakan antara simbol yang mewakili variabel dan simbol yang mewakili parameter.

Mengikuti René Descartes, variabel sering dilambangkan dengan $x$ , $y$ , …, dan parameter dengan $a$ , $b$ , $c$ , …, tetapi tidak selalu. Misalnya, jika $y$ dianggap sebagai parameter dalam ekspresi di atas, maka koefisien dari $x$ adalah $-3 y$ , dan konstanta koefisien (selalu dengan memperhatikan {{mvar | $1.5 + y$ .

Maka

ax^{2}+bx+c,

Secara umum, diasumsikan bahwa $x$ adalah satu-satunya variabel, dan $a$ , $b$ dan $c$ adalah parameter; dengan koefisien konstanta adalah $c$ dalam kasus ini. Demikian pula, polinomial dalam satu variabel $x$ dapat ditulis sebagai

a_{k}x^{k}+\dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}

Untuk beberapa bilangan bulat positif $k$ , $a_{k},\dotsc ,a_{1},a_{0}$ adalah koefisien; untuk mengizinkan ekspresi semacam ini dalam semua kasus, kita harus mengizinkan suku pengantar dengan 0 sebagai koefisien. Maka $i$ adalah $a_{i}\neq 0$ (jika ada), $a_{i}$ disebut sebagai koefisien utama dari polinomial. Misalnya, koefisien awal polinomial

\,4x^{5}+x^{3}+2x^{2}

adalah 4.

Beberapa koefisien spesifik yang sering muncul dalam matematika memiliki nama khusus. Misalnya, koefisien binomial muncul dalam bentuk yang diperluas dari $(x+y)^{n}$ , dan ditabulasikan dalam segitiga Pascal.

3. Suku

Unsur rumus aljabar selanjutnya adalah suku. Suku adalah variabel beserta koefisiennya, termasuk konstanta, pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi penjumlahan atau selisih. Dalam perhitungan aljabar sendiri dikenal suku satu, suku dua, suku tiga, dan suku polinom (suku banyak). Setiap suku ini terpisah dan memiliki nilai sendiri-sendiri. Berikut ini contoh konstanta suku dalam matematika:

Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contohnya, 6x, 2x², –5ab dan sebagainya.
Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contohnya, d² + 4, x + 3y, 9x – 2x dan sebagainya.
Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contohnya, x² + 4x – 8, 2x + 7x – 5 dan sebagainya.

4. Fungsi

Dalam perhitungan rumus aljabar yang berhubungan dengan konstanta, koefisien, dan variabel juga dikenal dengan yang namanya fungsi. Bila Sedulur cukup bingung, fungsi konstanta adalah bentuk hubungan matematis yang menunjukkan hubungan keterikatan antara variabel satu dengan lainnya.

Contoh dari fungsi aljabar yang terikat dengan koefisien, variabel, dan konstanta adalah seperti: y = f(x) atau z = f(x,y).

Variabel yang terdapat dalam suatu fungsi dapat dibedakan atas variabel bebas (independent variables) dan variabel yang dipengaruhi atau tidak bebas (dependent variables). Variabel bebas adalah variabel yang besarannya dapat ditentukan sembarang, misalnya 1, 5; 0; 8 dan seterusnya. Sebaliknya, variabel yang dipengaruhi atau tidak bebas adalah variabel yang besarnya dapat ditentukan setelah nilai variabel bebasnya ditentukan terlebih dulu.

Berikut ini contoh penggunaan fungsi aljabar:

y = f (x) adalah y = 3x + 15

Bila x = 3 dan y = f (x) maka kita bisa melakukan perhitungan seperti:

f (3) = 3 (3) + 15 = 24

Dengan begitu kita mendapatkan fungsi y = 24x.

Dari soal di atas, kita melihat adanya hubungan antara variabel yang sangat erat dalam penerapan fungsi aljabar. Dari situ diketahui bahwa fungsi memiliki dua jenis atau bentuk seperti eksplisit dan implisit.

Berikut ini penjelasan singkatnya:

Fungsi eksplit adalah suatu fungsi yang antara variabel bebas/menentukan dan variabel tidak bebas/dipengaruhi dapat dengan jelas dibedakan.
Fungsi implisit adalah fungsi yang antara variabel bebas dan variabel tidak bebas yang dipengaruhi tidak dapat dengan mudah/jelas dibedakan.

Demikian tadi ulasan lengkap tentang konstanta. Bila melihat ke atas, tentu sahabat Grameds sudah mengetahui bahwa konstanta merupakan bagian dalam rumus aljabar yang juga berhubungan dengan variabel, koefisien, dan fungsi. Perhitungan menggunakan konstanta sendiri menjadi salah satu bahasan dalam pelajaran matematika yang cukup banyak disinggung oleh guru di sekolah. Semoga informasi di atas bisa memberikan manfaat bagi kalian semua ya!