Matematika

Interval Adalah: Sifat-Sifat, Jenis-Jenis, Cara Mengerjakan Interval

interval adalah
Written by M. Hardi

Interval adalah – Dalam pelajaran Matematika ada satu materi yang membahas tentang perbandingan ukuran dua hal atau lebih, yaitu pertidaksamaan. Untuk melaksanakan fungsinya, pertidaksamaan memerlukan beberapa tanda seperti < (kurang dari), < (kurang dari atau sama dengan), > (lebih dari), > (lebih dari atau sama dengan).

Misalnya, kamu ingin mengatakan bahwa nilai x “kurang dari” a, maka bisa ditulis menjadi “x<a”. Atau kamu ingin bilang bahwa nilai x “lebih dari atau sama dengan” a, kalau dituliskan akan menjadi “x>a”.

Nah, untuk memahami materi pertidaksamaan, kamu harus mengetahui sifat-sifat pertidaksamaan, interval, serta cara untuk menyelesaikan pertidaksamaan. Dalam artikel ini, kita akan fokus membahas tentang interval dengan menyinggung sedikit mengenai sifat pertidaksamaan. Simak sampai selesai, ya!

Sifat-sifat Pertidaksamaan

Pertidaksamaan dalam matematika memiliki sifat-sifat tertentu, di antaranya:

Sifat 1

“Tanda pertidaksamaan tidak akan pernah berubah jika kamu mengurangkan atau menambahkannya dengan bilangan atau ekspresi matematika lainnya.”

Misalnya, ada sebuah pertidaksamaan yang menyatakan a > b maka ini berarti:

a + c > b + c dan a – c > b – c

Namun jika pertidaksamaannya a < b, maka artinya:

a + c < b + c dan a – c < b – c Biar bisa lebih dipahami, coba kita masukkan contoh nyata seperti ini: x + 6 > 8 -> x + 6 – 6 > 8 – 6 -> x > 2

https://www.gramedia.com/products/buku-interaktif-matematika-untuk-smama-kelas-11-semester-2?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

https://www.gramedia.com/products/buku-interaktif-matematika-untuk-smama-kelas-11-semester-2?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

Sifat 2

“Tanda pertidaksamaan juga tidak akan pernah berubah jika kamu membagi atau mengalikannya dengan bilangan positif.”

Misalnya ada pertidaksamaan yang menyatakan bahwa a > b dan c > 0, maka artinya:

ac > bc dan a/c > b/c

Contohnya sebuah pertidaksamaan 4x > 12 kalau setiap ruasnya dibagi dengan angka 4 (positif) maka hasilnya menjadi seperti ini:

4x/4 ≥ 12/ 4 -> x ≥ 3

Sifat 3

“Tanda pertidaksamaan akan menjadi terbalik jika dibagi atau dikalikan dengan bilangan negatif.”

Jika pertidaksamaan a > b dan c < 0, ini berarti ac < bc dan a/c < b/c. Hati-hati, cukup banyak orang yang lupa keharusan membalik tanda setelah mengalikan atau membagi sebuah pertidaksamaan. Misalnya seperti ini: -3x > 9 hanya bisa diselesaikan dengan cara membagi ruas kanan dan kiri dengan angka -3 atau bisa juga dengan mengalikan masing-masing ruas dengan angka -⅓. Mengapa begitu? Ya karena jika pertidaksamaan dikalikan dengan bilangan negatif, maka tandanya akan menjadi terbalik.

Kalau ditulis lengkap akan menjadi seperti ini: -3x > 9 -> 3x/-3 < 9/3 -> x < -3. Sifat 4 “Jika pertidaksamaan dipangkatkan, maka tandanya bisa berbalik atau bisa tidak, tergantung dari ganjil atau genal pangkatnya.” Misalnya ada pertidaksamaan a > b > 0, ini berarti:

a2 > b2 > 0
a3 > b3 > 0
a4 > b4 > 0
a5 > b5 > 0
Dan seterusnya. Umumnya an > n jika a adalah bilangan asli

Jika a < b < 0, maka menjadi: a2 > b2 > 0
a3 < b3 < 0 a4 > b4 > 0
a5 < b5 < 0 Dan seterusnya. Umumnya, an > bn jika n genap dan an < bn jika n-nya ganjil.

Pengertian Interval

Saat belajar materi pertidaksamaan kamu pasti akan menemukan garis bilangan real di dalamnya. Ini merupakan gabungan satu-satu antara titik yang berada di garis lurus horizontal dengan bilangan-bilangan yang ada di himpunan real.

Mudahnya, garis bilangan adalah penggaris untuk menempatkan setiap bilangan real secara berurutan berdasarkan dari nilainya. Seperti contoh di bawah ini:

interval adalah

Dalam gambar tersebut bisa dilihat bahwa kamu bisa mengetahui atau memperkirakan posisi setiap bilangan pada garis lurus. Misalnya bilangan bulat (0, 2, dan 4) menempati tempat nya masing-masing di mana 0 berada di sebelah kiri 2 dan 2 di sebelah kiri 4.

Atau bilangan rasional (4/5) yang posisi nya ada di sebelah kiri–hampir mendekati–1 karena nilai 4/5 itu sama dengan 0,8. Begitu juga dengan bilangan irasional (akar 2) yang berada di sebelah kiri angka 2 karena nilainya adalah 1,4.

Setiap bilangan real mempunyai satu posisi di garis bilangan dan kamu bisa menentukan posisi suatu bilangan dengan melihat posisi bilangan lain yang nilainya mendekati.

Nah, dalam garis bilangan inilah ada yang namanya interval atau himpunan bilangan real yang dibatasi oleh satu atau dua batas bilangan. Contohnya seperti 2 < x < 5. Himpunan bilangan real ini bisa dipahami sebagai himpunan bilangan yang nilainya lebih dari 2 tapi kurang dari 5.

Berarti ada bilangan 3, 4, 8/3, 10, -5, dan ½ yang menjadi bagian dari himpunan tersebut. Bilangan 3, 4, dan 8/3 merupakan bilangan yang masuk ke dalam himpunan dan disebut sebagai interior point. Sedangkan bilangan 10, -5, ½ berada di luar himpunan dan disebut dengan exterior point.

Dari penjelasan ini bisa disimpulkan bahwa interval merupakan suatu himpunan yang menjadi bagian dari garis bilangan real yang memiliki minimal 2 bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang ada di antara keduanya.

https://www.gramedia.com/products/sma-super-master-osn-matematika?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

https://www.gramedia.com/products/sma-super-master-osn-matematika?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

Jenis-Jenis Interval

Umumnya interval dibagi menjadi beberapa jenis, yaitu:

1. Interval Terbuka

Ini adalah interval yang tidak memasukkan titik ekstrim di mana titik tersebut disertakan namun mencakup semua nilai yang ada di antara keduanya. Interval terbuka diwakili oleh:

a < x < b atau (a;b).

Misalnya 2 < x < 6 bisa ditulis (2,6) yang berarti himpunan semua bilangan real yang nilainya lebih dari 2 dan kurang dari 6. Artinya 2 dan 6 adalah batas interval yang ada di luar interval itu sendiri (exterior point). Jika digambarkan dalam garis bilangan maka akan menjadi seperti ini:

interval adalah

Tanda yang ada di angka 2 dan 6 adalah lingkaran tanpa isi karena keduanya tidak masuk ke dalam himpunan bilangan real pada interval tersebut.

2. Interval Tertutup

Ini merupakan jenis interval yang melingkupi ekstrim interval serta semua nilai yang ada di antara keduanya. Interval tertutup diwakili oleh: a ≤ x ≤ b atau [a; b].

Misalnya 0 < x < 72 bisa ditulis dengan [0, 72] yang berarti himpunan bilangan real dengan nilai lebih dari atau sama dengan 0 serta kurang dari atau sama dengan 72.

Perbedaan antara interval tertutup dengan interval terbuka terletak pada batas interval yang masuk ke dalam interior point. Jika digambarkan pada garis bilangan akan jadi seperti ini:

interval adalah

Batas interval 0 dan 72 adalah lingkaran yang mempunyai ini karena batas ini masuk ke dalam bagian dari himpunan atau interior point.

3. Interval Semi Terbuka

Jenis yang ketiga merupakan interval yang hanya melingkupi salah satu nilai ekstrim yang ada di antara keduanya, dengan begitu nilai ekstrim yang lainnya akan dikecualikan. Termasuk ujung kanan dan ujung kiri, bisa dimasukkan atau bisa juga dikecualikan. Interval semi terbuka diwakili dengan a ≤ x < b atau a < x ≤ b

Contohnya, kamu mempunyai interval semi terbuka (1, 5], maka kamu akan mempunyai sekumpulan angka yang nilainya lebih besar dari 1 serta kurang dari atau sama dengan 5, tapi 1 tidak termasuk, ya. Kalau digambarkan kurang lebih seperti ini:

interval adalah

4. Interval Tak Terbatas

Interval tak terbatas sering disebut juga dengan interval tak hingga. Ini adalah jenis interval yang mempunyai nilai tak terbatas di salah maupun kedua ujungnya di mana akhir yang tidak terbatas akan menjadi ujung terbuka. Sedangkan kalau kedua ujungnya memiliki ketidakterbatasan maka akan menjadi sebuah garis nyata.

Interval tak terbatas diwakili oleh a ≤ x atau x ≤ a, yang akan menjadi [a, ∞) atau (-∞, a). Atau bisa juga ditulis seperti ini: [a; ∞).

Contohnya kamu mempunyai interval tak terbatas [1; ∞), maka kamu akan mempunyai sekumpulan angka yang nilainya lebih besar dari atau sama dengan 1 dan seterusnya sampai tak terbatas. Kalau digambarkan kurang lebih seperti ini:

interval adalah

5. Interval Terbatas

Jenis terakhir yaitu interval terbatas memiliki dua kategori lainnya, yaitu interval terbatas kanan dan interval terbatas kiri. Nah, kanan dan kiri di sini maksudnya adalah maksimal dan minimal masing-masing bilangan.

Contohnya, interval terbuka kanan berarti tidak memiliki maksimal dan interval terbuka kiri tidak memiliki minimal.

Cara Menulis Interval

Batasan yang dimiliki oleh sebuah interval biasanya ditunjukkan dengan “tanda kurung”. Untuk interval semi terbuka dan interval terbuka, yang digunakan adalah tanda kurung siku. Misalnya seperti [a ; b] untuk interval terbuka dan [a ; b dan a ; b] untuk interval semi terbuka.

Pada saat menulis interval, interval selalu ditulis dalam urutan naik dan tidak pernah dalam urutan yang menurun. Jika tanda kurung ditutup, berarti setiap titik batasnya dimasukkan sementara jika tanda kurungnya terbuka, berarti titik akhirnya tidak dimasukkan.

Contohnya seperti himpunan bilangan bulat {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}. Himpunan ini mempunyai semua bilangan bulat mulai dari 0 sampai dengan 9 secara inklusif.

Namun, tidak semua himpunan ditulis dengan menggunakan bilangan bulat seperti itu, ada juga himpunan abstrak yang ditulis memakai huruf dan ini biasanya ditemukan dalam materi aljabar.

Beberapa huruf yang sering digunakan dalam himpunan abstrak adalah:

interval adalah

Kamu juga akan menemukan tanda matematika yang bertugas menunjukkan dua himpunan bilangan real serta interaksi yang mereka lakukan. Pada awalnya, tanda-tanda ini terlihat sangat rumit dan abstrak, namun dengan latihan yang cukup, tanda-tanda ini akan terlihat sederhana dan lebih mudah untuk digunakan.

Selain menunjukkan dua himpunan bilangan real, tanda-tanda matematika tersebut bisa juga dipakai untuk memvisualisasikan data matematis yang biasanya digunakan jika kamu ingin melihat interaksi yang ada dalam interval.

Berikut ini tanda-tanda yang paling sering digunakan:

interval adalah

Contoh Interval

Agar kamu lebih mudah dalam memahami konsep interval, berikut ini ada contoh interval, klasifikasi, dan nomor-nomor yang dimasukkan.

interval adalah

https://www.gramedia.com/products/smama-klsxi-cara-simpel-belajar-matematika-menggunakan-met?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

https://www.gramedia.com/products/smama-klsxi-cara-simpel-belajar-matematika-menggunakan-met?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

Cara untuk Menyelesaikan Interval

Kamu bisa menyelesaikan sebuah interval dengan cara membaca dan merencanakannya lalu melihat apa yang akan dimasukkan dan apa yang tidak dimasukkan. Namun ingat, perhatikan arah simbol “> (lebih dari)” dan “< (kurang dari)” sebab keduanya yang menentukan titik akhir sebuah interval. Misalnya seperti ini:

Interval Tertutup

Interval tertutup merupakan interval yang mempunyai titik akhir. Dengan demikian kamu bisa menggunakan dua cara yang berbeda saat ada dua bilangan real yang berinteraksi dengan x.

[a ; b] = a ≤ x ≤ b

[a ; b] = a ≤ x < b

]a ; b] = a < x ≤ b

]a ; b[= a < x < b Kalau tanda kurungnya ditutup, berarti x lebih dari atau sama dengan b.

Sementara jika tanda kurungnya dibuka, berarti x lebih dari dan kurang dari b. Interval Terbuka Interval terbuka adalah interval di mana a dan b merupakan dua angka yang berbeda.

[a ; ∞[= x ≥ a ]a ; ∞[= x > a

]- ∞ ; b] = x ≤ b

]- ∞ ; b[= x < b

Nah, interval terbuka ini tidak memasukkan titik akhir jadi kamu tidak akan tahu di mana titik akhir tersebut.

Macam-Macam Interaksi Antara Interval

Irisan yang ada antara interval [a ; b] dengan [c ; d] merupakan sebuah himpunan bilangan real x yang terletak di [a ; b] dan [c ; d]. Kondisi seperti ini dilambangkan dengan tanda ∩.

Coba bayangkan a, b, c, dan d merupakan bilangan bulat dengan irisan I seperti ini:

I=[a ; b] ∩ [c ; d] ou I=[c ; d] ∩ [a ; b]

Contohnya:

2 ∈[0 ; 5] ∩[2 ; 6] car 2 ∈[0 ; 5] et 2 [2 ; 6]

Agar bisa menentukan irisan antara dua himpunan, sebaiknya kamu mewakilinya sebagai himpunan keduanya sendiri.

Gabungan Himpunan Interval

Gabungan himpunan interval merupakan bilangan real yang ada di interval [a ; b] dan [c ; d]. Gabungan dalam interval disimbolkan dengan tanda ∪.

Untuk menulis gabungan himpunan interval ini, kamu bisa menggunakan:

U=[a ; b] ∪ [c ; d] atau U=[c ; d] ∪ [a ; b]

Contohnya;

2 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] karena 2 ∈[0 ; 5]

3,8 ∈[0 ; 5] ∪ [2 ; 6] karena 3,8 ∈[0 ; 6]

Nah, biar kamu bisa menentukan irisan dua himpunan interval, kamu bisa memplotnya di garis bilangan.

https://www.gramedia.com/products/sma-kl-10-12-super-big-deal-matematika?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

https://www.gramedia.com/products/sma-kl-10-12-super-big-deal-matematika?utm_source=literasi&utm_medium=literasibuku&utm_campaign=seo&utm_content=LiterasiRekomendasi

Pertidaksamaan

Dalam interaksi pertidaksamaan interval, solusinya selalu merupakan interval atau himpunan kosong, hanya itu saja. Biasanya, variabel yang tidak diketahui nilainya akan ditulis menggunakan x seperti:

A (x) ≤ B(x) atau A(x)<B(x)

Pertidaksamaan tersebut bisa diselesaikan dengan cara menemukan semua nilai x sebab himpunan bilangan real untuk x merupakan solusinya.

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan memiliki tiga aturan khusus. Yang pertama, kamu selalu bisa menambahkan angka yang sama pada setiap anggota pertidaksamaan. Seperti misalnya a < b maka a + c < + c.

Yang kedua, kamu bisa menjadi anggota bersama ketika a < b dan c < d maka a + c < + d. Yang ketiga, kamu bisa membagi atau mengalikan setiap pertidaksamaan dengan angka yang sama.

Nilai Mutlak

Nilai mutlak adalah yang berada di tengah interval pada garis bilangan.

https://www.gramedia.com/products/dobel-ekspres-matematika-fisika-smama-klsxxixii?queryID=22fb9f14ce81b3eee5c216033151180e

Contoh soal Pertidaksamaan dan Interval

Soal 1

Jika a > 5 dan b < 3, maka nilai a – b adalah…

A. Lebih besar daripada 1

B. Lebih besar daripada 3

C. Lebih besar daripada 8

D. Lebih kecil daripada 5

E. Lebih kecil daripada 2

Penyelesaian:

interval adalah

 

a – b > 2

Jadi pernyataan yang memuat semua elemen dari (a – b) > 2 adalah lebih besar daripada 1.

Berarti jawaban untuk pertanyaan di atas adalah A.

Soal 2

Jika -2 < y < 3 maka…
A. 9 < (y – 2)2 < 16
B. 4 < (y – 2)2 < 16
C. 1 < (y – 2)2 < 16
D. 0 < (y – 2)2 < 16
E. -1 < (y – 2)2 < 16

Penyelesaian:

-2 < y < 3
Di setiap ruas dikurangi 2
– 2 – 2 < (y – 2) < 3 – 2
– 4 < (y – 2) < 1

-4 < (y – 2) < 0 -> dikuadratkan
0 < (y – 2)2 < 16
atau
0 < (y – 2) < 1 -> dikuadratkan
0 < (y – 2)2 < 1

Jadi, yang memenuhi adalah 0 < (y – 2)2 < 16. Berarti jawaban untuk pertanyaan di atas adalah D.

Soal 3

Pertidaksamaan 3 ≤ x < 8 dapat dituliskan sebagai…

A. (3,8)
B. [ 3,8)
C. [3,8] D. (3,8] E. [3,∞)

Penyelesaian:

Dalam pertidaksamaan 3 ≤ x < 8 batas bawah x adalah 3 sedangkan batas atas x adalah 8. Lalu lihat, 3 termasuk nilai x maka intervalnya ditulis memakai tanda “[“ sedangkan 8 tidak termasuk ke dalam nilai x sehingga intervalnya ditulis memakai tanda “)”.

Jadi pertidaksamaan 3 ≤ x < 8 bisa ditulis menjadi [3,8).

Soal 4

Interval (−6,5] bisa ditulis sebagai pertidaksamaan…

A. −6<x<5
B. −6<x≤5
C. −6≤x<5
D. −6≤x≤5
E. −6<x<∞

Penyelesaian

Interval (-6,5] memakai tanda “(“ untuk batas bawah dan tanda “]“ untuk batas atasnya. Dengan demikian, nilai x akan berada di antara -6 dan 5, dengan catatan 5 termasuk ke dalam nilai x. Maka interval (-6,5] bisa ditulis menjadi -6 < x < 5.

Soal 5

Tentukan semua bilangan prima yang ada di dalam [1; 13 [

Penyelesaian:

Bilangan prima yang ada di dalam [1; 13] terdiri dari 2, 3, 5, 7, dan juga 11. 13 tidak termasuk ke dalam interval tersebut dan 1 bukan termasuk bilangan prima.

Penutup

Demikian pembahasan tentang interval dalam ilmu matematika, semoga semua pembahasan di atas bermanfaat sekaligus menambah wawasan Grameds.

Jika kamu ingin memperdalam ilmu matematika lewat buku, maka bisa mendapatkannya di Gramedia.com. Membaca banyak buku dan artikel tidak akan pernah merugikan kalian, karena Grameds akan mendapatkan informasi dan pengetahuan #LebihDenganMembaca.

Penulis: Gilang Oktaviana Putra

Baca juga:



ePerpus adalah layanan perpustakaan digital masa kini yang mengusung konsep B2B. Kami hadir untuk memudahkan dalam mengelola perpustakaan digital Anda. Klien B2B Perpustakaan digital kami meliputi sekolah, universitas, korporat, sampai tempat ibadah."

logo eperpus

  • Custom log
  • Akses ke ribuan buku dari penerbit berkualitas
  • Kemudahan dalam mengakses dan mengontrol perpustakaan Anda
  • Tersedia dalam platform Android dan IOS
  • Tersedia fitur admin dashboard untuk melihat laporan analisis
  • Laporan statistik lengkap
  • Aplikasi aman, praktis, dan efisien