Operasi perkalian bilangan bulat – Dari saat kita masuk sekolah, kita sudah tahu angka kita mulai tahu penjumlahan dan pengurangan. Setelah masuk SD, kita belajar perkalian dari 1 sampai perkalian 10. Bapak atau guru kita di sekolah mendidik kita bahwa harus menghafal perkalian dari 1 sampai 10. Setelah lulus SMP, kita diharuskan untuk belajar kembali atau dites kembali oleh bapak atau ibu guru kita. Setelah kita mengetahui dan menguasai suatu perkalian akan dikenalkan dengan namanya bilangan.
Tentu Anda sudah tahu bilangan bukan? Pada artikel ini kita akan berbicara tentang bilangan bulat. Berikut penjelasannya.
Tahukah kamu apa itu bilangan? Bilangan adalah konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Singkatnya, dapat dikatakan bahwa angka digunakan untuk mewakili banyak atau kuantitas suatu benda.
Bilangan dilambangkan dengan angka. Tersedia kelompok bilangan seperti bilangan bulat, pecahan, bilangan genap, bilangan ganjil, dll. Kali ini kita akan membahas operasi tentang bilangan bulat.
Daftar Isi
Pengertian Bilangan Bulat
Secara tradisional, teori bilangan dipahami sebagai cabang matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat. Ini juga membahas berbagai masalah terbuka yang dapat dengan mudah dipahami oleh non-ahli matematika.
Dilansir dari kumparan.com bilangan dibangun operasi hitung sebagai salah satu operasi yang melibatkan penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian dalam perhitungan pengurutan bilangan. Mengacu pada pengertian tersebut, ada beberapa jenis operasi bilangan sebagai berikut.
- Penjumlahan adalah kombinasi atau penambahan dua bilangan atau lebih untuk membentuk bilangan baru.
- Pengurangan adalah mengambil suatu bilangan tertentu dari suatu bilangan tertentu sehingga jumlah bilangan tersebut berkurang.
- Perkalian adalah penjumlahan berulang. Perkalian juga dapat dipahami sebagai proses menjumlahkan bilangan yang sama, sebanyak pengali.
- Pembagian adalah pengurangan berulang. Dapat juga dipahami sebagai pembagian suatu bilangan menjadi beberapa kelompok dengan bilangan yang sama.
Selain operasi bilangan yang telah disebutkan di atas, terdapat pula jenis operasi hitung campuran. Pada umumnya, dalam sebuah operasi hitung bilangan campuran akan menemukan berbagai jenis operasi hitung dalam satu soal.
Sebagai contoh soal yang penyelesaiannya menggunakan penjumlahan, perkalian, pengurangan, dan/atau pembagian dalam satu soal. Oleh sebab itu, untuk menghitung dengan operasi bilangan campuran harus memperhatikan beberapa hal sebagai berikut.
- Jika dalam operasi hitung terdapat penjumlahan dan pengurangan, maka kerjakan terlebih dahulu operasi hitung sebelah kiri
- Jika dalam operasi hitung terdapat perkalian dan pembagian, maka kerjakan terlebih dahulu operasi hitung sebelah kiri
- Jika dalam operasi hitung terdapat penjumlahan atau pengurangan dan perkalian atau pembagian, maka kerjakan terlebih dahulu perkalian atau pembagian
- Jika terdapat operasi hitung dalam tanda kurung, maka kerjakan terlebih dahulu operasi hitung dalam tanda kurung tersebut
Setelah mengetahui teori bilangan, mari kita bahas pengertian bilangan bulat. Bilangan bulat adalah suatu bilangan tak pecahan yang terdiri atas
Bilangan bulat positif : 1, 2, 3, 4, . . .
Bilangan nol : 0
Bilangan bulat negatif : . . ., -4, -3, -2, -1
Secara umum, himpunan bilangan bulat dituliskan sebagai { . . ., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}. Bilangan bulat dilambangkan dengan Z, yang berasal dari kata “zahlen” (bahasa Jerman) yang berarti bilangan.
Bilangan-bilangan bulat tersebut dapat dituliskan dan diurutkan dalam garis bilangan. Penggunaan garis bilangan saat bermanfaat saat kita melakukan operasi hitung bilangan bulat. Dalam bilangan bulat juga dapat dikelompokkan ke dalam dua bagian yaitu
Bilangan genap : . . ., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, . . . Bilangan genap merupakan himpunan bilangan yang jika dibagi 2 bersisa 0.
Bilangan ganjil : . . ., -5, -3, -1, 1, 3, 5, . . . Bilangan ganjil merupakan himpunan bilangan yang jika dibagi 2 bersisa 1 atau -1.
Operasi hitung adalah operasi penjumlahan, pengurangan, pembagian, perkalian, dan sebagainya. Ada empat jenis operasi aritmatika, yaitu perkalian, pembagian, pengurangan, dan penambahan.
Kali ini kita akan belajar operasi perkalian. Perkalian adalah operasi aritmatika yang mengalikan angka dengan eksponennya. Untuk mempelajari lebih lanjut tentang perkalian, perhatikan penjelasan berikut!
Perkalian adalah suatu bentuk operasi pada bilangan yang dapat dikatakan sebagai Operasi Penjumlahan berulang dengan menggunakan bilangan yang sama besarnya.
Untuk lebih jelasnya, yuk simak contoh uraian berikut…
3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
4 x 3 = 4 + 4 + 4 = 12
Pada contoh perkalian diatas, walaupun hasil akhirnya sama, perkalian 3 x 4 dan 4 x 3 mempunyai arti yang berbeda, dimana 3 x 4 artinya tiga kali empatnya, dan untuk 4 x 3 artinya empat kali tiganya.
Penerapan konsep perkalian dapat kita temukan dalam aktivitas kehidupan sehari-hari, seperti ketika kita pergi ke rumah sakit atau klinik, atau klinik kesehatan. Kemudian dokter memberikan obat dalam bentuk sirup, pada resep dokter biasanya terdapat tulisan 3 x 1 pada kotak sirup, artinya dalam sehari pasien harus minum obat 1 sendok teh tiga kali sehari dalam dosis yang dianjurkan oleh dokter.
Dokter, biasanya menyuruh meminum obat pada pagi, siang dan sore hari setelah makan. Lain halnya jika pada dus sirup tertulis 1 x 3 yaitu pasien dianjurkan minum 3 sendok makan sesuai anjuran dokter sehari sekali yaitu pada pagi, siang dan sore hari.
Contoh Bilangan Bulat
Contoh Bilangan Bulat
Suatu bilangan bulat dapat direpresentasikan pada garis bilangan sebagai berikut.
Garis Bilangan Bulat
Dalam barisan, ada bilangan bulat yang dikelompokkan menjadi beberapa bagian. Kelompok bilangan bulat ditunjukkan pada bagian di bawah ini.
Pengelompokan Bilangan Bulat
Bilangan bulat dikelompokkan menjadi tiga bagian, yaitu bilangan bulat positif, nol dan bilangan bulat negatif. Pada bagian ini, kami akan menjelaskan bilangan bulat positif dan negatif.
Bilangan Bulat Positif
Dering bilangan positif adalah himpunan bilangan yang terdiri dari 1, 2, 3, 4 ,. . . Bilangan bulat positif juga dikenal sebagai bilangan asli.
Bilangan Bulat Negatif
Suatu bilangan bulat negatif adalah himpunan semua bilangan {. . . , -4, -3, -2, -1}. Pada garis bilangan, bilangan bulat negatif berada di sebelah kiri 0.
Selanjutnya, kita akan mendekati operasi aritmatika yang terdapat dalam bilangan bulat.
Rumus Operasi Perkalian Bilangan Bulat
Jika a m dan b merupakan anggota dari bilangan bulat maka :
a × b = + ( a × b )
–a × (-b) = + ( a × b )
a × (-b) = – ( a × b )
–a × b = – ( a × b )
Maka dapat disimpulkan bahwa hasil perkalian dua bilangan bulat dapat ditentukan berdasarkan tanda dari bilangannya dengan cara sebagai berikut :
( + ) × (+) = +
( – ) × ( – ) = +
( + ) × ( – ) = –
( – ) × (+) = –
Perkalian Bilangan Bulat Positif dan Negatif
Untuk mengetahui lebih dalam lagi perkalian bilangan bulat baik positif maupun negatif silahkan simak contoh berikut;
- 2 × (-7) = -14
- 3 × (-7) = -21
- 4 × (-7) = -28
- 5 × (-7) = -35
- 6 × (-7) = -42
Pada contoh diatas, kita dapat memahami bahwa hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif akan selalu menghasilkan bilangan bulat negatif, sehingga kita dapat mengatakan “Untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku a x (-b) = – (a x b)
Perkalian Dua Bilangan Negatif
Untuk dapat memahami perkalian dua bilangan bulat negatif dapat sobat Grameds lihat pada contoh berikut;
- -4 x (-3) = 12
- -5 x (-2) = 10
- -7 x (-5) = 35
- -1 x (-33) = 33
- -9 x (-2) = 18
- -3 x (-3) = 9
Pada contoh perkalian dua bilangan bulat negatif diatas, dapat disimpulkan jika hasil kali antara dua bilangan bulat negatif akan selalu menghasilkan bilangan bulat positif, sehingga dapat dinyatakan ” Setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku (-a) x (-b) = a x b
Perkalian Bilangan Bulat Dengan 0 (Nol)
Untuk perkalian bilangan bulat dengan 0 (Nol) dapat sobat pahami dengan melihat contoh berikut ini:
- 39 X 0 = 0
- 0 x -15 = 0
- -23 x 0 = 0
- 98 x 0 =0
- -11 x 0 = 0
- 0 x 346 = 0
Menurut contoh diatas, dapat diambil kesimpulan jika semua bilangan apabila dikalikan dengan 0 (Nol) akan selalu menghasilkan 0 (Nol).
Unsur Identitas Pada Perkalian
Unsur Identitas Pada Perkalian dapat sobat pelajari dengan melihat contoh berikut;
- 9 x 1 = 9
- -5 x 1 = -5
- 1 x -22 = -22
- 88 x 1 = 88
- 1 x 23 = 23
- 1 x -42 = -42
Pada contoh perkalian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa semua bilangan bulat dikalikan dengan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dalam hal ini, angka 1 disebut faktor pengidentifikasi dalam perkalian. sehingga dapat dikatakan “semua bilangan bulat a akan selalu mengandung a x 1 = 1 x a = a
Dari penjelasan diatas dapat disimpulkan bahwa operasi perkalian bilangan bulat merupakan operasi matematika yang melibatkan tanda “×”. Perkalian dapat disebut sebagai penjumlahan yang berulang.
Sifat-sifat operasi perkalian dijelaskan pada bagian berikut.
a x b = ab : hasil perkalian dua bilangan bulat positif merupakan bilangan bulat positif.
Contoh: 5 x 6 = 30. 5, 6, 30 merupakan bilangan bulat positif.
a x (-b) = -ab : hasil perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh: 3 x (-4) = -12. Hasil operasi adalah -12 (bilangan bulat negatif).
(-a) x (-b )= ab : hasil perkalian dua bilangan bulat negatif merupakan bilangan bulat positif.
Contoh: (-5) x (-2) = 10, menghasilkan bilangan bulat positif yaitu 10.
Sifat-Sifat Perkalian pada Bilangan Bulat
1. Sifat Tertutup
Sifat tertutup merupakan salah satu sifat dari operasi penjumlahan bilangan bulat, dimana sifat ini juga dapat ditemukan pada operasi perkalian. Dalam perkalian, properti penutupan berarti bahwa setiap perkalian bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat. Dapat dinyatakan sebagai “Untuk sembarang bilangan bulat p dan q, akan selalu ada p x q = r, dimana r juga bilangan bulat”.
Untuk lebih jelasnya tentang sifat penutupan perkalian bilangan bulat, Anda dapat melihat contoh soal di bawah ini:
4 x 3 = 12
dimana 4 dan 3 kita ketahui merupakan bilangan bulat, begitu halnya dengan 12 yang juga merupakan bilangan bulat.
5 x (-4) = -20
dimana 5 dan -4 kita ketahui merupakan bilangan bulat, begitu halnya dengan -20 yang juga merupakan bilangan bulat.
-7 x 2 = -14
dimana -7 dan 2 kita ketahui merupakan bilangan bulat, begitu halnya dengan -14 yang juga merupakan bilangan bulat.
-6 x (-4) = 24
dimana -6 dan -4 kita ketahui merupakan bilangan bulat, begitu halnya dengan 24 yang juga merupakan bilangan bulat.
2. Sifat Komutatif ( Pertukaran )
Sifat komutatif ( Pertukaran ) dalam operasi perkalian yaitu perkalian akan selalu menerima output yg sama meskipun kedua bilangan tadi ditukarkan tempatnya, Sehingga hal tadi bisa dituliskan ” Untuk setiap sapta p & q akan selalu berlaku p x q = q x p”.
Untuk detail tentang sifat komutatif dalam operasi perkalian sanggup sobat simak model soal dibawah ini:
6 x (-4) = (-4) x 6 =-24
(-5) x (-8) = (-8) x (-5) = 40
3. Sifat Asosiatif ( Pengelompokan )
Pada Sifat ini, dinyatakan dengan ” Untuk Setiap bilangan p, dan q maupun r, akan selalu berlaku ( p x q ) x r = p x ( q x r)”.
Untuk Lebih mempermudah pemahaman sahabat Gramedia tentang sifat asosiatif ( pengelompokan ) pada operasi perkalian bilangan bulat, coba simaklah contoh soal berikut ini;
contoh soal;
3 x (-5 x 2) = ( 3 x (-5) ) x 2 = -30
( -4 x 6 ) x 3 = -4 x ( 6 x 3) = -72
4. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan
Pada Sifat Ini dinyatakan bahwa ” Untuk setiap bilangan p, q, dan r yang merupakan bilangan bulat, akan selalu berlaku
p x (q + r) = (p x q) + (p x r)”.
Untuk Lebih jelasnya tentang Sifat Distributif Perkalian Terhadap Penjumlahan pada operasi perkalian bilangan bulat, bisa sobat simak uraian soal dibawah ini ;
contoh soal;
4 x ( 5 + (-3) ) = 4 x 2 = 8
bisa juga diselesaikan dengan, ( 4 x 5) + ( 4 x (-3) ) = 20 + (-12) = 8
jadi, 4 x ( 5 + (-3) ) = ( 4 x 5) + ( 4 x (-3) ) = 8
(- 5) x ( -3 + 6) = (-5) x 3 = -15
bisa juga diselesaikan dengan, ( (-5) x (-3) ) + ( (-5) x 6 ) = 15 + (-30) = -15
jadi, (- 5) x ( -3 + 6) = ( (-5) x (-3) ) + ( (-5) x 6 ) = -15
5. Sifat Distributif Perkalian Terhadap Pengurangan
Pada Sifat ini dinyatakan dengan ” Untuk Setiap p, q, dan r yang merupakan bilangan bulat, akan selalu berlaku
p x ( q – r ) = (p x q) – ( p x r) “.
Untuk Lebih jelasnya tentang Sifat Distributif Perkalian Terhadap Pengurangan pada operasi perkalian bilangan bulat, bisa sobat simak uraian soal dibawah ini ;
contoh soal;
3 x ( 7 – (-6) ) = 3 x 13 = 39
bisa juga diselesaikan dengan, (3 x 7) – (3 x (-6) ) = 21 – (-18) = 21 +18 = 39
jadi, 3 x ( 7 – (-6) ) = (3 x 7) – (3 x (-6) ) = 39
5 x ( -4 – 2) = 5 x (-6) = -30
bisa juga diselesaikan dengan, (5 x (-4) ) – (5 x 2) ) = -20 – 10 = -30
jadi, 5 x ( -4 – 2) = (5 x (-4) ) – (5 x 2) ) = -30
6. Mempunyai Elemen Identitas
Bilangan 1 merupakan elemen identitas pada perkalian. Maknanya apabila sembarang bilangan bulat jika dikalikan dengan angka 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri.
hal tersebut dapat dinyatakan dengan ” Untuk Setiap bilangan p yang merupakan bilangan bulat, akan selalu berlaku p x 1 = 1 x p = p”.
contohnya;
13 x1 = 13 atau 1 x 13 = 13
34 x 1 = 34 atau 1 x 34 =34
Contoh Soal
Contoh Soal Operasi Perkalian Bilangan Positif
1. (+12) x (+5)
(+4) x (+40)
Pembahasan:
Perkalian bilangan positif dihitung sama seperti ketika kita mengalikan bilangan pada umumnya.
(+12) x (+5) = 12 x 5 = 60
(+4) x (+40) = 4 x 40 = 160
2. Pak Topik menerima sumbangan 8 karung beras. Tiap karung beratnya 85 kg. Beras itu dibagikan kepada 17 karyawannya. Tiap karyawan memperoleh beras sebanyak..
- 18 kg
- 24 kg
- 36 kg
- 40 kg
Jawaban soal perkalian bilangan bulat total beras yang diterima Pak Topik adalah..
8 x 85 kg = 680 kg
Tiap karyawan memperoleh beras sebanyak 680 kg : 17 = 40 kg
Jawaban: D
3. Toni mengirim surat kepada 3 temannya. 2 Buah surat memakai perangko seharga @ 500 dan sebuah surat memakai perangko seharga Rp 250. Maka, jumlah uang yang diperlukan untuk membeli perangko itu adalah..
- 1.000
- 1.250
- 1.500
- 1.750
Jawab:
Jumlah uang yang diperlukan untuk membeli perangko adalah
=(2 x 500) + (1 x 250)
=1.000 + 250
=1.250
Jawaban: B
4. Hitunglah operasi perkalian bilangan positif ini dengan sifat asosiatif
9 x (13 x 2)
(20 x 36) x 3
Pembahasan:
Masukkan rumus menghitung perkalian bilangan bulat dengan sifat asosiatif terlebih dahulu.
(a x b) x c = a x (b x c) = d
Kemudian, masukkan angka-angka yang dikalikan pada soal sesuai dengan rumus sifat asosiatif.
9 x (13 x 2)
(a x b) x c = a x (b x c) = d
9 x (13 x 2) = (9 x 13) x 2 = 117 x 2 = 234
(20 x 36) x 3
(20 x 36) x 3 = 20 x (36 x 2) = 20 x 72 = 1440
Contoh Soal Operasi Perkalian Bilangan Negatif
1. (-6) x (-12)
(-4) x (-23)
Atau secara lebih ringkas, hasil perkalian antara bilangan dengan tanda yang sama menghasilkan bilangan positif.
Cara penghitungan tersebut dilansir dari buku Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII Kurikulum Merdeka Belajar.
(-6) x (-12) = 72
(-4) x (-23) = 92
Contoh Soal Operasi Penjumlahan Bilangan Positif dan Negatif
1. (-80) x (+15)
(-5) x (+56)
Pembahasan:
Berdasarkan buku Matematika untuk Sekolah Menengah Pertama Kelas VII Kurikulum Merdeka Belajar, hasil kali bilangan dengan tanda berbeda menghasilkan bilangan negatif.
(-80) x (+15) = -1200
(-5) x (+56) = -280
2. ((-80) x 15) x 4)
(-2) x ((-5) x 56)
Pembahasan:
((-80) x 15) x 4) = (-80) x (15 x 4) = (-80) x 60 = -4800
(-2) x ((-5) x 56) = ((-2) x (-5)) x 56 = 10 x 56 = 560
3. Hasil operasi bilangan dari 7 x (-13) adalah ….
- A. 91
- B. -20
- C.20
- D. 91
Pembahasan:
7 x (-13) = ….
7 bermuatan positif sedangkan
(-3) bermuatan negatif
Perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif akan menghasilkan bilangan negatif, sehingga menjadi:
7 x (-13) = – (7 x 13)
= -91
4. 19. -11 x 8 ….. (-8) x 11
Tanda pembanding yang sesuai untuk melengkapi pernyataan di atas adalah ….
- <
- >
- =
- ≥
Pembahasan:
-11 x 8 = (-88) sedangkan
(-8) x 11 = (-88)
Maka -11 x 8 dan (-8) x 11 menghasilkan bilangan yang sama. Jadi tanda pembanding yang tepat adalah sama dengan atau (=).
Penutup
Demikian sobat Grameds, sedikit penjelasan tentang perkalian pada bilangan bulat yang dapat kami sampaikan, mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisan dan penghitungan. Jika kalian masih belum memahami tentang operasi perkalian pada bilangan bulat, Anda dapat membeli buku di Gramedia.com. Disana banyak buku yang membahas tentang operasi perkalian pada bilangan bulat. Semoga bermanfaat.
Sumber: dari berbagai sumber
Penulis: Ziaggi Fadhil Zahran
Baca juga artikel terkait:
Apa Itu Sifat Komutatif: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soalnya
Barisan dan Deret Aritmetika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal
