Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawaban dan Pembuktiannya

Contoh Soal Induksi Matematika – Bagi pencinta ilmu matematika pasti sudah tidak merasa asing dengan induksi matematika. Induksi matematika adalah semacam cara maupun metode pembuktian absah guna membuktikan pernyataan matematika benar atau salah.

Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif. Jadi, induksi matematika dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan, serta kombinatorika.

Pencinta matematika memakai induksi matematika untuk memberikan penjelasan terkait pernyataan matematika yang sudah diketahui kebenarannya. Prinsip induksi matematika bisa dijelaskan secara umum, yakni asumsi induktif serta induksi dasar.

Induksi matematika membutuhkan kecermatan tersendiri, meskipun terlihat cukup sederhana. Seseorang yang ingin memahami induksi matematika dengan baik, sebaiknya mencari tahu tentang contoh soal induksi matematika dan jawabannya secara lengkap.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Induksi matematika merupakan salah satu kegiatan penalaran deduktif yang berkaitan dengan pembuktian matematika.

Induksi matematika di dalam matematika merupakan sebuah dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli. Pembuktian suatu pernyataan matematis dengan induksi matematika dilakukan di objek matematika yang bersifat diskrit, misalnya teori bilangan, teori graf, dan kombinatorika. Matematikawan menggunakan induksi matematika untuk menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya.

Prinsip induksi matematis dapat dijelaskan secara umum dalam dua tahap, yaitu langkah awal atau asumsi induktif dan langkah induksi dasar. Penggunaan induksi matematika utamanya dilakukan pada tiga jenis masalah matematika, yaitu seri umum, habis dibagi, dan ketidaksetaraan. Kemampuan pembuktian induksi matematika secara benar ditentukan oleh tingkat pemahaman konsep. Setiap prosedur induksi matematika yang digunakan dalam suatu konsep matematika dapat ditentukan melalui pemahaman relasional.

Sejarah Penggunaan Induksi Matematika

Teorema matematika didasarkan kepada sekumpulan aksioma dan definisi. Pembuktian semua jenis teorema dilakukan dengan menggunakan aksioma dan definisi, atau menggunakan teorema-teorema yang telah terbukti kebenarannya.

Teorema dalam matematika tidak didasarkan kepada hasil-hasil eksperimen yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya. Matematika tidak dapat menerima argumentasi bahwa suatu pernyataan matematis adalah benar hanya dengan eksperimen-eksperimen dan observasi-observasi.

Pierre de Fermat (1601–1665) membuktikan bahwa pada konjektur Fermat, persamaan tidak akan menghasilkan bilangan bulat berbentuk positif pada sebarang bilangan bulat yang bernilai lebih dari 2. Para matematikawan memerlukan waktu lebih dari tiga abad untuk menemukan pembuktian konjektur Fermat. Pada 1994, konjektur Fermat dibuktikan oleh matematikawan berkebangsaan Inggris yaitu Andrew Wiles.

Sejarah penggunaan induksi matematika dijelaskan oleh Bussey dalam artikel yang ditulisnya pada 1917. Dalam artikel tersebut dijelaskan bahwa proses induksi matematika telah digunakan untuk pertama kali oleh D. Franciscus Maurolycus (1494–1575). Maurolycus adalah matewatikawan berkebangsaan Italia dan kenalan dari Blaise Pascal (1623–1662).

Penggunaan induksi matematika dilakukan oleh Maurolycus dalam bukunya yang terbit pada 1575. Maurolycus menggunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa bilangan-bilangan ganjil terbentuk dengan cara berturut-turut menambahkan 2 terhadap bilangan ganjil pertama, yaitu 1.

Pembuktikan lain yang diperolehnya dengan induksi, yaitu jumlah n bilangan ganjil pertama adalah kuadrat n. Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Pascal maupun Maurolycus tidak pernah menggunakan istilah induksi. Istilah induksi digunakan pertama kalinya pada 1956 oleh John Wallis.

Dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Infinitorum, Wallis menggunakan isitlah per modum inductionis. Pada 1838, Augustus de Morgan (1806–1871) memperkenalkan istilah induksi matematika ke publik melalui artikel induction yang ditulisnya di Jurnal Penny Cyclopedia. Selanjutnya, Giuseppe Peano (1858–1932) merumuskan prinsip induksi matematika ke dalam lima aksioma pada 1889. Kelima aksioma ini menyajikan definisi lengkap tentang bilangan asli. Kelima aksioma tersebut, yaitu:

• 1 adalah bilangan asli.
• Terdapat satu bilang turutan yang unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli.
• Bilangan turutan yang sama mustahil ditemukan pada dua bilangan asli yang berbeda.
• 1 bukan merupakan turutan dari sebarang bilangan asli.
• Sifat yang dimiliki oleh 1 dan turutan semua bilangan asli, pasti dimiliki juga oleh semua bilangan asli.

Rumus Induksi Matematika

Sebagaimana dikutip dari buku berjudul Peka Soal Matematika SMA karya Darmawati, rumus induksi matematika adalah sebagai berikut.

• Tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = 1.
• Asumsikan pernyataan benar untuk n = k.
• Tunjukkan bahwa n = k + 1 juga benar.

Jika ketiga langkah di atas benar, dapat disimpulkan pernyataan contoh soal induksi matematika adalah benar untuk setiap n bilangan asli.

Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika

Induksi matematika sebenarnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli. Para matematikawan agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, dibutuhkan dua langkah penting.

1. Langkah Basis

Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika. Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1.

2. Langkah Induksi

Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1.

Prinsip Induksi Matematika

Ketika ingin mempelajari induksi matematika, sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu. Setidaknya ada empat prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, di antaranya seperti berikut.

• Basis = tunjukkan p(1) adalah benar.
• Induksi = misalnya p(n) adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1.
• Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p (n) adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesis induksi.
• Kesimpulan = pembuktian bahwa p (n+1) adalah benar.

Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya

Soal 1
Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n². Untuk n bilangan asli.

Jawaban:
Misalkan P(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = 2²

Langkah 1:

P(n) = 2n – 1 = n²
Untuk n = 1, maka:2(1) – 1 = 1²1=1
Jadi, pernyataan benar untuk n = 1

Langkah 2:

Akan dibuktikan implikasi P(k) benar → P(k+1) benarP(k) = 1 + 3 + 5 + 7 + …. + (2k -1) k²

Untuk P(k + 1) berlaku:
= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k+1) – 1)
= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 2 – 1)
= 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k+1)
= k² + 2k + 1

Ingat: (a+1)² = a² + 2a + 1
Maka= k² + 2k + 1 = (k + 1)²
Jadi, berdasarkan (1) dan (2) dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk n bilangan asli.

Soal 2
Tulislah dengan notasi sigma 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7!

Contoh soal induksi matematika dan jawabannya:
= 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7= (1+2) + (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) + (6+1)=6 Σ (n+1)n=1

Soal 3
Buktikan pernyataan berikut dengan induksi matematika: 2+4+6+8+…+2n = n (n+1)?

Pembuktian:
Ditunjukkan bahwa Sn = n(n+1) bernilai benar untuk n = 1n = 1 → S1 =1(1+1) = 2 (benar)

Soal 4
Nyatakan dalam jumlah lengkap:

Soal 5
Buktikan dengan induksi matematika bahwa n < 3n untuk setiap bilangan asli n.

Jawaban:

Langkah 1:
Untuk n = 1, maka 1 < 3¹
Sehingga, pernyataan benar untuk n = 1

Langkah 2
Pernyataan dianggap benar untuk n = k
Maka k < 3k

Soal 6
Buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku 1+2+3+…+n = 1/2 n(n+1)

Jawaban:
Misalkan p(n) = 1 + 2 + 3 + …. + n = 1/2 n(n+1)
Jadi, dengan mengikuti rumus induksi matematika jawabannya adalah sebagai berikut.

Ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1=1/2 1(1+1) = 1, maka p(1) benar.
Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k.
Dengan kata lain, pernyataan 1 + 2 + 3 + …. + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

Soal 7
Buktikanlah jika 3²ⁿ + 22_n + 2 benar-benar habis dibagi 5.

Agar bisa membuktikannya, sebaiknya kalian menerapkan beberapa tahapan di antaranya:

Langkah Pertama:
3²⁽¹⁾ + 22⁽¹⁾⁺² = 3² + 2⁴ = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti.

Langkah Kedua Menggunakan 2 (n = k)
3^2k + 2^{2k + 2}

Langkah Ketiga ( = k + 1)
= 3^2(k+1) + 2^2(2k+2)
= 3^2k+2 + 2^2k+2+2
= 32(32k) + 22(22k+2)
= 10(3^2k) + 5(2^2k+2) – 3^2k – 2^2k+2
= 10 (3^2k) + 5 (2^2k+2) – (3^2k + 2^2k+2)

Diperoleh:
10 (3^2k) sudah habis dibagi 5, 5(2^2k+2) sudah habis dibagi 5 dan –(3^2k) + 2^2k+2 juga habis dibagi 5.

Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2n = 2ⁿ⁺¹ – 1.

Cari tahu basis induksi terlebih dahulu, yaitu 2⁰ = 2⁰⁺¹ – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 2⁰ = 1

Jika p(n) benar, yakni 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa p(n+1) juga benar: 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ + 2ⁿ⁺¹ = (2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ) + 2n+1 = (2ⁿ⁺¹ – 1) + 2ⁿ⁺¹ (hipotesis induksi).

= (2ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺¹) – 1
= (2.2ⁿ⁺¹) – 1
= 2ⁿ⁺² – 1
= 2^(n+1)+1 – 1

Oleh karena itu, dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 2⁰ + 2¹ + 2² + … + 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹ – 1.

Soal 8
Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n².

Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 1² = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1.

Terapkan induksi dengan mengandaikan p(n) benar, yakni:

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1 ) = n²

Selanjutnya, perlihatkan bahwa p (n+1) juga benar, yakni 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)² adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut.

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1)
= [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)] + (2n + 1)
= n² + (2n + 1)
= n² + 2n + 1
= (n + 1)²

Dikarenakan baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n².

Soal 9
Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n².

P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n². Maka akan mampu menujukkan P(n) benar untuk tiap-tiap n N.

Langkah Pertama:
Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah kalian. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p(1) adalah benar 1 = 1². Jadi, p(1) adalah benar.

Langkah Induksi:
Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika P(k) adalah benar, yaitu:

1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k², k N
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)²
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + (2(k + 1) – 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa p(n) adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli.

Soal 10
Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang sebelumya, pada soal ini kalian juga perlu membuat langkah awal dan induksi.

Langkah Awal:
Langkah ini akan menunjukkan jika p(1) adalah benar. 6¹ + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar.

Langkah Induksi:
Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja p(k) adalah benar, maka 6^k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu 6^k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k) + 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Jika 5(6^k) telah habis dibagi 5 dan 6^k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6^k) + 6^k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar.

Soal 11
Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2).

Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya kalian buat langkah awal dan induksi.

Langkah Awal:
n = 1
12 = 1/6 1 (1 + 1) (1 + 2)
1 = 1 adalah benar terbukti.

Langkah Induksi
n = k
1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) juga adalah benar.

Dengan demikian, jelas terbukti bahwa setiap n N dan n₀ N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2). Tentu ini menjadi soal paling sederhana, di antara soal-soal lainnya.

Contoh Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawaban

Berikut adalah contoh soal induksi matematika kelas 11 lengkap dengan kunci jawabannya yang dikutip dari buku berjudul Peka Soal Matematika SMA/MA Kelas X, XI, dan XII yang ditulis oleh Darmawati (2020: 143):

1. Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan positif berlaku: 1 + 2 + 3 + … + n = 1/2n (n+1).
2. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 3^n ≥ 2n + 1.
3. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa 4n < 2^n untuk semua bilangan positif n ≥ 5.
4. Buktikan bahwa bentuk 3^2n – 1 selalu habis dibagi oleh 8, untuk setiap bilangan asli n.
5. Buktikan bahwa 3^2n + 2^2n+2 habis dibagi 5.

Kunci jawaban:

1. Bentuk (k+2)(k+1)/2 merupakan nilai dari 1/2n(n+1) jika n bilangan diganti dengan (k+1). Dari (1), (2), dan (3) terbukti bahwa pernyataan tersebut benar untuk setiap n bilangan positif.
2. Karena langkah-langkah yang dibuktikan benar, berarti dapat dibuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 3^n ≥ 2n + 1.
3. Karena langkah-langkah yang dibuktikan benar, berarti terbukti bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 4k < 2^k.
4. Mengingat bahwa 3^2k – 1 habis dibagi 8, maka bentuk 9(3^2k-1) + 8 juga habis dibagi 8. Akibatnya kita dapatkan bahwa pernyataan benar untuk n = k+1, jadi pernyataan benar untuk setiap bilangan asli n.
5. Karena langkah-langkah yang dibuktikan benar, berarti dapat dibuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku 3^2n + 2^2n+2 habis dibagi 5.

Daftar Pustaka

• Lolang, E., dan Tandiseru, S.R. (2017). Dasar-Dasar Matematika Diskrit dengan Pendekatan Problem Solving. Tana Toraja: UKI Toraja Press. ISBN 978-602-1832-88-2.
• Utomo, D. P., dan Huda, M. (2020). Pemahaman Relasional Analisis Proses Pembuktian Menggunakan Induksi Matematika. Yogyakarta: CV. Bildung Nusantara. ISBN 978-623-7148-42-5.
• Utoyo, Setiyo (2017). Metode Pengembangan Matematika Anak Usia Dini. Gorontalo: Ideas Publishing. ISBN 978-602-6635-57-0.

——

Itulah artikel terkait “Contoh Soal Induksi Matematika Beserta Jawaban dan Pembuktiannya” yang bisa kalian gunakan sebagai referensi pelajaran matematika. Jika ada saran, pertanyaan, dan kritik, silakan tulis di kotak komentar bawah ini. Bagikan juga tulisan ini di akun media sosial supaya teman-teman kalian juga bisa mendapatkan manfaat yang sama.

Untuk mendapatkan lebih banyak informasi, Grameds juga bisa membaca buku yang tersedia di Gramedia.com. Sebagai #SahabatTanpaBatas kami selalu berusaha untuk memberikan yang terbaik. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan dan pengetahuan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca. Semoga bermanfaat!

Rekomendasi Buku Terkait

1. Solusi Super Smart Kuasai Rumus Matematika SD Kelas 1–6

Buku ini secara khusus bisa digunakan untuk referensi anak-anak Sekolah Dasar (SD) dari kelas 1 sampai dengan kelas 6 untuk memahami rumus-rumus sederhana dalam pelajaran matematika. Buku tersebut membahas materi matematika SD yang telah disesuaikan dengan kurikulum K-13 terbaru. Selain materi, penulis buku ini juga membahas secara lengkap tentang soal-soal ulangan harian dan ulangan tengah semester dengan bahasa yang ringkas, sederhana, dan mudah dipahami oleh siswa, terutama anak-anak SD.

2. Super Complete Inti Materi dan Rumus Matematika SMP/MTs 7, 8, 9

Buku ini dapat menjadi pendamping belajar rumus matematika terlengkap khusus jenjang SMP/MTS yang didesain dengan ukuran yang pas di genggaman. Buku ini disusun sebagai solusi saat ada kesulitan dalam proses pembelajaran, sekaligus dapat menjadi bahan review untuk persiapan berbagai macam ujian.

3. Super Complete Inti Materi Rumus Matematika SMA Kelas 10, 11, 12

Buku dapat menjadi pendamping bagi siswa SMA atau sederajat yang di desain dengan ukuran yang pas untuk di genggaman dan dibawa ke mana-mana. Seri buku ini disusun sebagai solusi jika ada kesulitan dalam proses pembelajaran, sekaligus bisa menjadi bahan review untuk persiapan menghadapi berbagai macam ujian.