Cara Menentukan Sumbu Simetri Bangun Datar dan Nilai Optimum Fungsi Kuadrat

Sumbu Simetri Bangun Datar – Kita sering menemukan kesimetrisan benda-benda di sekitar kita. Simetri seperti refleksi yang tepat atau bayangan cermin dari sebuah garis, bentuk, atau objek. Garis simetri dapat didefinisikan sebagai sumbu atau garis imajiner yang melewati pusat objek dan membaginya menjadi dua bagian yang identik, yaitu bisa vertikal, horizontal atau diagonal. Selain itu, bentuk dari simetri ini ada banyak, ada simetri lipat, putar, dan sumbu simetri.

Pengertian Sumbu Simetri dalam Bangun Datar

Ada tiga jenis operasi simetri utama, yaitu refleksi (pencerminan), rotasi, dan translasi.

• Refleksi (pencerminan) adalah operasi mencerminkan objek di sebuah garis sebagai bidang cermin.
• Rotasi adalah operasi merotasi objek dengan titik sebagai pusat. Contohnya adalah segitiga sama sisi memiliki simetri rotasi dengan sudut rotasi 120 derajat.
• Translasi adalah operasi mentranformasi objek dari satu daerah ke daerah lain dengan sebuah vektor. Simetri-simetri yang lebih rumit merupakan kombinasi dari operasi-operasi ini. Simetri banyak dipakai dalam berbagai disiplin pengetahuan seperti geometri, matematika, fisika, biologi, kimia, seni dan sebagainya.

Meskipun ada dua objek dengan kemiripan yang tinggi muncul bersamaan, keduanya harusnya berbeda. Contohnya, jika rotasi sebuah segitiga sama sisi terhadap pusatnya sebesar 120 derajat, segitiga tersebut akan muncul mirip seperti sebelum dilakukan rotasi. Rotasi tersebut dalam geometri Euklidean mengakibatkan perubahan yang tidak dikenali. Pada kenyataannya, tiap sudut pada segitiga sama sisi yang dijadikan model molekul akan memunculkan perilaku simetri yang berbeda.

Objek dengan simetri terbanyak adalah ruang kosong karena tiap bagian dapat dirotasi, direfleksi atau ditranslasi tanpa muncul perubahan. Jenis simetri yang paling umum adalah simetri kiri-kanan atau gambar cermin yang disimbolkan dengan T. Simbol ini digunakan untuk merefleksikan sepanjang sumbu vertikal.

Segitiga sama sisi menunjukkan simetri refleksi sebanyak tiga sumbu, dan sebuah simetri rotasi. Jika segitiga ini dirotasikan terhadap pusat segitiga sebesar 120 atau 240 derajat tidak akan menunjukkan perubahan. Objek yang hanya menunjukkan perilaku simetri rotasi tetapi tidak memiliki simetri refleksi adalah swastika.

Felix Klein, ahli geometri Jerman, memberikan pernyataan yang sangat berpengaruh dalam Erlangen programme pada 1872, yaitu simetri sebagai gabungan dan organisasi prinsip dalam geometri. Ini memunculkan perhatian baru grup (matematika) dalam geometri dan slogan tranformasi geometri (salah satu aspek dalam matematika baru, tetapi sangat kontroversi di praktik-praktik matematika modern).

Sumbu simetri sendiri merupakan garis yang membagi sebuah benda atau bentuk menjadi dua bagian yang simetris sedemikian rupa, sehingga akan terlihat bahwa benda di satu sisi akan serupa dengan bayangan cermin dari sisi yang lain. Garis ini bisa membagi benda menjadi dua bagian, empat bagian, dan seterusnya.

Dalam ilmu matematika, sumbu simetri dan nilai optimum adalah dua hal yang biasanya digunakan dalam penyelesaian persamaan dan fungsi kuadrat. Sumbu simetri sendiri merupakan garis bayangan yang membagi dua bangun datar secara sama besar, sedangkan nilai optimum merupakan nilai optimum dan minumum dari suatu persamaan.

Untuk memahami sumbu simetri dan nilai optimum dalam persamaan fungsi kuadrat, simak penjelasan dalam artikel ini. Pastikan kamu membacanya hingga akhir, ya!

Geometri dalam Dimensi

Geometri dalam dua dimensi adalah suatu bentuk yang berupa dua dimensi, yang berarti bangunan tersebut hanya melibatkan panjang dan lebar.

• Persegi, yaitu bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk (a) yang sama panjang dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku. Bangun ini disebut juga sebagai bujur sangkar.
• Persegi panjang, yaitu bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang sisi yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku.
• Segitiga, yaitu poligon dengan tiga ujung dan tiga simpul. Ini adalah salah satu bentuk dasar dalam geometri. Segitiga dengan simpul A, B, dan C dilambangkan △ ABC. Dalam geometri Euclidean, setiap tiga titik, ketika non-collinear, menentukan segitiga unik dan sekaligus, sebuah bidang unik (yaitu ruang Euclidean dua dimensi). Dengan kata lain, hanya ada satu bidang yang mengandung segitiga itu, dan setiap segitiga terkandung dalam beberapa bidang. Jika seluruh geometri hanya bidang Euclidean, hanya ada satu bidang dan semua segitiga terkandung di dalamnya. Namun, dalam ruang Euclidean berdimensi lebih tinggi, ini tidak lagi benar.
• Trapesium, yaitu bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang dua di antaranya saling sejajar, tetapi tidak sama panjang. Trapesium termasuk jenis bangun datar segi empat yang mempunyai ciri khusus.
• Jajar genjang atau jajaran genjang (bahasa Inggris: parallelogram) adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki dua pasang sudut yang masing-masing sama besar dengan sudut di hadapannya. Jajar genjang termasuk turunan segiempat yang mempunyai ciri khusus. Jajar genjang dengan empat rusuk yang sama panjang disebut belah ketupat.
• Lingkaran, yaitu adalah bentuk yang terdiri atas semua titik dalam bidang yang berjarak tertentu dari titik tertentu, pusat; ekuivalennya adalah kurva yang dilacak oleh titik yang bergerak dalam bidang, sehingga jaraknya dari titik tertentu adalah konstan. Jarak antara titik mana pun dari lingkaran dan pusat disebut jari-jari. Secara khusus, sebuah lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang membagi pesawat menjadi dua wilayah, yaitu interior dan eksterior. Dalam penggunaan sehari-hari, istilah “lingkaran” dapat digunakan secara bergantian untuk merujuk pada batas gambar, atau keseluruhan gambar termasuk bagian dalamnya; dalam penggunaan teknis yang ketat, lingkaran hanyalah batas dan seluruh gambar disebut cakram. Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai jenis elips khusus; dua fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0, atau bentuk dua dimensi yang melingkupi area per satuan perimeter kuadrat, menggunakan kalkulus variasi.
• Elips atau oval yang beraturan adalah gambar yang menyerupai lingkaran yang telah dipanjangkan ke satu arah. Elips adalah salah satu contoh dari irisan kerucut dan dapat didefinisikan sebagai lokus dari semua titik dalam satu bidang yang memiliki jumlah jarak yang sama dari dua titik tetap yang telah ditentukan sebelumnya (disebut fokus). Dalam bahasa Indonesia, elips atau oval yang beraturan juga sering dikenal istilah sepadan, yakni bulat lonjong (atau lonjong saja), bulat bujur, dan bulat panjang.

Cara Menentukan Sumbu Simetri Bangun Datar dan Nilai Optimum

1. Sumbu Simetri

Simetri berarti seimbang antara bagian kiri dan kanan atau atas dan bawah. Contoh benda atau bangun simetri: tubuh kita jika dibuat garis mulai dari kepala, hidung, mulut, dan pusar hingga ke bawah akan terlihat bahwa bagian kanan dan bagian kiri sama. Ada mata kanan dan mata kiri, telinga kanan dan telinga kiri, tangan kanan dan tangan kiri, kaki kanan dan kaki kiri, dan seterusnya.

Jika suatu bangun jika dilipat sisi-sisinya saling berhimpit dengan tepat, bangun tersebut memiliki simetri lipat. Bekas lipatan tersebut disebut dengan sumbu simetri lipat. Banyaknya simetri lipat sama dengan banyaknya sumbu simetrisnya. Bangun datar yang dapat dilipat menjadi dua bagian sama besar dan berhimpit dengan tepat disebut dengan bangun datar simetris.

Sementara itu, dikutip dari buku berjudul Genius Matematika Kelas 5 SD yang ditulis oleh Sulis Sutrisna, sumbu simetri adalah suatu garis yang dibuat di sebuah bidang datar, sehingga dapat membagi bidang itu menjadi dua bagian yang sama dan sebangun. Sumbu simetri dalam grafik fungsi kuadrat berfungsi sebagai garis pencerminan dari suatu titik di grafik fungsi kuadrat tersebut.

Ciri-ciri bangun simetri, yaitu:

• Memiliki simetri lipat.
• Dapat dilipat atau dibagi menjadi dua bagian sama besar.

Bagaimana menentukan sumbu simetri? Berikut contoh cara menentukan sumbu simetri.

Persegi panjang di atas memiliki 4 titik sudut yaitu A, B, C, dan D. Jika kita lipat bagian AB ke CD, akan terlipat sangat rapi. Begitu juga halnya jika kita lipat bagian AC ke BD, akan terlipat tanpa ada yang berlebih. Jadi, dapat kita ketahui bahwa persegi panjang memiliki 2 simetri lipat, yaitu AB ke CD dan AC ke BD.

2. Nilai Optimum

Menurut Yuliansyah dalam buku berjudul Buku Penunjang Bahan Ajar Matematika, nilai optimum adalah nilai yang sebesar-besarnya (maksimum) atau niliai yang sekecil-kecilnya (minimum). Nilai maksimum dan atau minimum biasa dikenal sebagai bentuk objektif, fungsi objektif, fungsi sasaran, atau fungsi tujuan.

Nilai optimum dalam fungsi kuadrat dapat dicari menggunakan rumus perhitungan berikut.

y = -D/4a

Jumlah Sumbu Simetri Bangun Datar

Jumlah sumbu simetri untuk bangun datar adalah sebagai berikut.

Bangun Datar	Sumbu Simetri
Lingkaran	tidak terhingga
Jajar genjang	tidak memiliki
Trapesium sama kaki	1
Trapesium siku-siku dan trapesium sembarang	tidak memiliki
Persegi panjang	2
Segitiga sama sisi	3
Segitiga sama kaki	1
Segitiga sembarang	tidak memiliki
Persegi	4
Belah ketupat	2
Layang-layang	1

Apakah kamu masih ingat jumlah sumbu simetri dari bangun datar di atas? Satu hal yang harus dipahami adalah sumbu simetri pasti membagi sebuah bangun datar menjadi dua, tiga, empat dan seterusnya. Dengan demikian, kamu akan lebih mengetahui tanpa perlu menghafal jumlah sumbu simetri bangun datar.

Sumbu Simetri Parabola

Grafik fungsi kuadrat akan berbentuk seperti parabola. Sumbu simetri parabola adalah garis vertikal yang membagi parabola menjadi dua bagian yang kongruen atau sama besar. Sumbu simetri selalu melewati puncak parabola. Koordinat x dari puncak adalah persamaan sumbu simetri parabola.

Kita dapat mengidentifikasi garis simetri secara grafis hanya dengan mencari titik terjauh dari kurva parabola. Ini disebut puncak, titik dua garis terhubung. Jika parabola adalah sebuah bukit, titik paling tinggi di bukit itu akan mewakili puncak parabola. Jika parabola adalah sebuah lembah, titik paling rendah di lembah tersebut akan mewakili puncak parabola. Namun, jika melalui fungsi kuadrat, ada rumus yang harus kamu ketahui.

Rumus Sumbu Simetri Parabola

Untuk fungsi kuadrat dalam bentuk standar, y = ax² + bx + c, sumbu simetrinya adalah garis vertikal.

Contoh Soal Sumbu Simetri dan Nilai Optimum

Untuk memahami cara penentuan sumbu simetri dan nilai optimum, simak contoh soal dan cara penyelesaiannya di bawah ini.

Contoh Soal 1

Cari sumbu simetri dari grafik y = x² − 6x + 5!

Solusi:

Seperti yang sudah disampaikan, untuk fungsi kuadrat y = ax² + bx + c, sumbu simetrinya adalah garis vertikal 

 

Dari grafik y = x² − 6x + 5, diketahui bahwa:

a = 1, b = −6 dan c = 5.

Jika dimasukan ke dalam rumus akan menjadi sebagai berikut.

 

 

 

 

Contoh Soal 2

Diketahui fungsi kuadrat: f(x) = 4x 2 8x + 3, berapakah sumbu simetri, nilai optimum dan titik optimum dari fungsi tersebut?

Penyelesaian:
Diketahui fungsi kuadrat: f(x) = 4x 2 8x + 3

Menentukan sumbu simetrinya (nilai x):
Sumbu simetri dapat dihitung dengan rumus x = – b/2a:
x= -b/2a
x = – (-8)/2 (4)
x = 1

Mencari nilai optimum:
Nilai optimum dapat ditentukan menggunakan perhitungan y = -D/4a atau memasukkan nilai x. Berikut cara mencari nilai optimum dengan memasukkan nilai x.

f (x) = – b2-4ac/4a
f(1) = -8^2-4(4) (3)/ 4(4)
y = -1

Menentukan titik optimum:
Titik optimum adalah titik yang terletak pada salah satu titik ekstrem (titik sudut) daerah penyelesaian. Titik optimum dapat ditentukan setelah nilai x dan y telah ditemukan.
Titik optimum dari persamaan f(x) = 4x 2 8x + 3 adalah (1,-1).

Contoh Soal 3

Perusahaan mode ingin memproduksi x potong selana. Biaya produksi yang diperlukan dinyatakan oleh fungsi f(x) = 3×2 –30x+175 dalam ratusan ribu rupiah. Berapakah biaya minimum yang diperlukan untuk memproduksi kemeja?

Penyelesaian:
Diketahui bahwa fungsi f(x) = 3×2 –30x+175, nilai a = 3, yang artinya a > 0, dengan begitu parabola terbuka ke atas. Jadi, fungsi f(x) = 3x 2–30x+175 mempunyai nilai minimum.

Menentukan sumbu simetrinya (nilai x):
Mencari nilai x dengan menggunakan persamaan x = -b/2a akan menghasilkan:
x = -b/2a
x = – (-30)/ 2. 3
x = 30/6
x = 5.
Nilai dari x adalah 5.

Menentukan nilai optimum:
Nilai optimum dalam hal ini biaya minimum fungsi f(x) = 3x 2 – 30x + 175 dapat dihitung dengan memasukkan nilai x ke fungsi tersebut. Hasilnya adalah sebagai berikut.
f(x) = 3x 2-30x+175
f(5) = 3. 5^2 – 30(5) + 175
y = 100 (dalam ratusan ribu rupiah).
Biaya minimum untuk memproduksi x celana adalah Rp10.000.000.

Contoh Soal 4

Cermati gambar di bawah ini!

Garis yang merupakan sumbu simetri adalah …
A. garis p
B. garis q
C. garis r
D. garis s

Pembahasan:
Jawaban B.
Garis q merupakan sumbu simetri, yaitu garis yang membagi suatu bangun menjadi dua bagian sama besar.

Contoh Soal 5

Cermati gambar di bawah ini!

Banyak sumbu simetri di gambar tersebut adalah . . .
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1

Pembahasan:
Jawaban A.
Sumbu simetri adalah garis yang membagi suatu bangun menjadi dua bagian sama besar.

Contoh Soal 6

Tentukan sumbu simetri dan nilai optimum dari  f(x) = -2x² + 3x + 4.

Pembahasan:
f(x) = -2x² + 3x + 4
a = -2
b = 3
c = 4
D = b² – 4ac = 3² – 4(-2)(4) = 9 + 32 = 41

Sumbu simetri:
x_p = -b/(2a) = -3/2(-2) = 3/4

Nilai optimum:
y_p = -D/(4a) = -41/4(-2) = 41/8

Contoh Soal 7

Tentukan  persamaan sumbu simetri dan nilai optimum fungsi kuadrat berikut.
y =  – x² + 2x

Pembahasan:
Diketahui:
a =  –1 , b = 2  dan  c = 0
Persamaan sumbu simetri fungsi adalah  x = – b/2.a
x =  –2/2. (–1) = –2/–2
x = 1
Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah  x = 1.
Untuk nilai x = 1, diperoleh nilai fungsi y = – 1² + 2. 1 = –1 + 2 = 1
Dikarenakan a = –1 < 0 (negatif), disebut nilai maksimum fungsi adalah 1.
Disebut dengan nilai maksimum (terbesar) karena tak ada lagi nilai fungsi tersebut yang lebih besar dari 1.
Tampak untuk soal ini dengan cara menghitung nilai fungsi untuk  x = –b/2a , perhitungan lebih sederhana.

—

Seperti itulah pengertian dari sumbu simetri dan juga rumus untuk mencari sumbu simetri dari grafik berbentuk parabola. Jika kamu tertarik untuk mempelajari materi mengenai sumbu simetri ini atau berbagai macam bentuk materi lainnya, kamu bisa belajar bersama Gramedia.

Rekomendasi Buku & Artikel Terkait