Matematika

Rumus Teorema Pythagoras: Sejarah, Penggunaan, dan Contoh Soal

Teorema Pythagoras
Written by Fandy

Teorema Pythagoras merupakan salah satu rumus yang dapat dijumpai dalam pembahasan matematika. Pembahasan mengenai rumus yang satu ini mencakup triple atau Tigaan Phytagoras maupun pembahasan tentang segitiga serta bilangan bulat positif.

Berdasarkan catatan sejarah, teorema Pythagoras pertama kali ditemukan oleh seorang filsuf sekaligus ahli matematika bernama Pythagoras. Kendati demikian, rumus teorema Pythagoras pertama kali digunakan oleh masyarakat India dan Babilonia sejak 1900-1600 SM.

Pemilihan nama Pythagoras sebagai teori perhitungan tersebut tak lepas dari peranannya yang berhasil membuktikan rumus itu secara matematis. Perlu diketahui bahwa rumus Pythagoras dapat diterapkan untuk mengukur jarak dan ruang, misalnya dalam perencanaan dan pelaksanaan pembangunan sebuah gedung.

Untuk memahami rumus Pythagoras lebih lanjut, simak penjelasan selengkapnya berikut ini.

Riwayat Penemu Teorema Pythagoras

Pythagoras.

Pythagoras dari Samos (lahir sekitar tahun 570 SM – meninggal sekitar tahun 495 SM) adalah seorang filsuf Yunani Ionia kuno dan perintis aliran pythagoreanisme. Ajaran politik dan keagamaannya dikenal di kawasan Magna Graecia pada masanya dan telah memengaruhi pemikiran Plato dan Aristoteles, sehingga secara tidak langsung dia juga telah berdampak terhadap perkembangan filsafat Barat.

Rincian mengenai kehidupannya diselubungi legenda, tetapi tampaknya dia adalah anak Mnesarkos, seorang pengukir permata atau saudagar kaya di Pulau Samos, lepas pantai Anatolia. Para ahli modern masih memperdebatkan mengenai guru Pythagoras dan pemikir-pemikir mana saja yang pernah memengaruhinya. Walaupun begitu, mereka sepakat bahwa pada kisaran tahun 530 SM, Pythagoras pindah ke Kroton di pesisir Italia dan mendirikan sebuah perkumpulan dengan keanggotaan khusus.

Mereka yang ingin bergabung harus diinisiasi terlebih dahulu, dan komunitasnya menjalani gaya hidup bersama dan bertarak. Komunitas ini juga memiliki aturan mengenai makanan. Konon, pengikutnya harus vegetarian, tetapi ahli-ahli modern meragukan apakah Pythagoras benar-benar pernah mengharuskan para pengikutnya untuk tidak makan daging sama sekali.

Ajaran yang paling jelas dikemukakan oleh Pythagoras adalah metempsikosis, yaitu keyakinan bahwa setiap jiwa itu abadi, dan setelah kematian, jiwa tersebut akan masuk ke tubuh yang baru. Dia mungkin juga merupakan penggagas doktrin musica universalis, yang menyatakan bahwa planet-planet bergerak sesuai dengan persamaan matematika, sehingga menghasilkan simfoni musik yang tak terdengar.

Para ahli masih memperdebatkan apakah beberapa ajaran numerologi dan musik yang dikaitkan dengan nama Pythagoras itu benar-benar dikembangkan olehnya atau merupakan ciptaan pengikutnya setelah dia meninggal, khususnya Filolaos dari Kroton. Setelah Kroton berhasil mengalahkan tetangganya Sibaris sekitar tahun 510 SM, para pengikut Pythagoras berkonflik dengan para pendukung demokrasi, alhasil gedung pertemuan kaum pythagoreanis dibakar. Pythagoras mungkin gugur selama peristiwa ini atau lolos ke Metapontum dan menjemput ajalnya di tempat tersebut.

Pada zaman kuno, nama Pythagoras dikaitkan dengan berbagai penemuan matematika dan ilmiah, seperti teorema Pythagoras, lima bangun ruang, teori kesebandingan, teori bumi bulat, dan gagasan bahwa bintang timur dan barat adalah planet yang sama, yaitu Venus. Konon, dia juga adalah orang pertama yang menyebut dirinya sebagai filsuf (“pecinta kebijaksanaan”) dan membagi dunia menjadi lima zona iklim.

Namun, para ahli sejarah klasik masih memperdebatkan apakah Pythagoras benar-benar telah membuat temuan-temuan ini, dan banyak pencapaian yang dikaitkan dengan namanya mungkin sudah ada sebelumnya atau dicetuskan oleh orang sezaman atau penerusnya. Selain itu, masih diperdebatkan apakah dia benar-benar telah bersumbangsih terhadap bidang matematika atau filsafat alam.

Teorema Pythagoras: Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenusa.

Walaupun Pythagoras saat ini paling dikenal akan “temuan matematika”nya, pakar sejarah klasik mempertentangkan klaim bahwa dia telah memberikan sumbangsih besar bagi bidang matematika. Paling tidak dari abad pertama SM, nama Pythagoras sudah digadang-gadang sebagai penemu “teorema Pythagoras”, yaitu sebuah teorema dalam bidang geometri yang menyatakan bahwa jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenusa; dalam kata lain, .

Menurut legenda umum, setelah dia menemukan teorema ini, Pythagoras mengorbankan seekor lembu atau bahkan seluruh hekatomb (100 ekor sapi) kepada para dewa. Cendekiawan Romawi Cicero menampik kebenaran kisah ini karena pada masa tersebut diyakini bahwa Pythagoras melarang pengorbanan darah. Porfirios mencoba menjelaskan kisah ini dengan menegaskan bahwa lembu ini sebenarnya terbuat dari adonan.

Isi dari teorema Pythagoras sendiri sebenarnya sudah dikenal dan diterapkan oleh orang-orang Babilonia dan India berabad-abad sebelum Pythagoras, tetapi ada kemungkinan bahwa Pythagoras adalah orang pertama yang memperkenalkan konsep ini kepada orang-orang Yunani.

Beberapa sejarawan matematika bahkan menduga bahwa Pythagoras dan murid-muridnya adalah orang-orang pertama yang membuktikan teorema ini. Burkert menentang klaim ini dan menganggapnya tidak mungkin benar, dan dia menegaskan bahwa sumber-sumber kuno tidak pernah menyebut Pythagoras sebagai orang yang membuktikan teorema apa pun. Sementara itu, beberapa sumber kuno menyatakan bahwa dia adalah orang pertama yang mengidentifikasi lima bangun ruang dan menemukan teori kesebandingan.

Bunyi Tripel Pythagoras

Dalam buku berjudul Inti Materi Matematika SMP/MTS 7, 8, 9 yang disusun oleh Tim Maestro Genta, tripel Pythagoras adalah bilangan bulat positif yang kuadrat bilangan terbesarnya sama dengan jumlah kuadrat bilangan lainnya. Lebih dari itu, tripel Pythagoras juga dapat dipahami sebagai tiga bilangan asli yang tepat menyatakan sisi-sisi suatu segitiga siku-siku.

Lalu, bagaimana bunyi tripel Phytagoras? Dikutip dari sumber yang sama, bunyi tripel Pythagoras adalah sebagai berikut.

Kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain“.

Sementara itu, teorema Pythagoras merupakan bagian dari ilmu matematika yang pasti dipelajari saat duduk di bangku SMP. Teorema Pythagoras merupakan sebuah aturan matematika yang bisa dipakai dalam menentukan panjang salah satu sisi dari suatu segitiga siku-siku.

Dengan kata lain, teorema Pythagoras secara umum menyatakan jumlah kuadrat sisi-sisi siku-siku sebuah segitiga siku-siku yang besarnya sama dengan kuadrat sisi miringnya. Dalil teorema Pythagoras mengatakan bahwa kuadrat panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku (salah satu sudutnya 90°) adalah sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi-sisi lainnya.

Bunyi Rumus Phytagoras

Dalam Pythagoras ada tiga bagian yang disimbolkan dengan a, b, dan c. Sisi a dan b adalah sisi tegak dan sisi mendatar segitiga siku-siku, sedangkan sisi c adalah sisi miring atau sudut terpanjang dari segitiga siku-siku. Rumus Pythagoras untuk menghitung sisi miring adalah sebagai berikut.

c2 = a2+ b2

Adapun untuk menghitung sisi tegak dan sisi mendatarnya berlaku rumus sebagai berikut.

a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2

Teori Pythagoras: jumlah area dari dua persegi pada kaki (a dan b) sama dengan luas persegi pada sisi miring (c).

Dalam matematika, teorema Pythagorean, juga dikenal sebagai teorema Pythagoras, adalah hubungan mendasar dalam geometri Euclidean di antara tiga sisi segitiga siku-siku. Ini menyatakan bahwa luas kotak yang sisinya adalah sisi miring (sisi yang berlawanan dengan sudut kanan) sama dengan jumlah area kotak di dua sisi lainnya. Teorema ini dapat ditulis sebagai persamaan yang menghubungkan panjang sisi a, b dan c, sering disebut “persamaan Pythagoras”:

c mewakili panjang sisi miring dan a dan b panjang dari dua sisi segitiga lainnya. Teorema itu, yang sejarahnya menjadi pokok perdebatan, dinamai untuk pemikir Yunani kuno Pythagoras.

Teorema ini telah diberikan banyak bukti; mungkin yang paling banyak untuk setiap teorema matematika. Mereka sangat beragam, termasuk bukti geometris dan bukti aljabar, dengan beberapa berasal dari ribuan tahun yang lalu. Teorema dapat digeneralisasi dalam berbagai cara, termasuk ruang dimensi tinggi, ke ruang yang bukan Euclidean, ke objek yang bukan segitiga siku-siku, dan memang, untuk objek yang bukan segitiga sama sekali, tetapi padatan n-dimensi. Teorema Pythagoras telah menarik minat bidang di luar matematika sebagai simbol kemustahilan matematika, mistik, atau kekuatan intelektual; referensi populer dalam sastra, drama, musikal, dan lagu.

1. Bukti Penataan Ulang

Bukti penataan ulang.

Dua kotak besar yang ditunjukkan pada gambar masing-masing berisi empat segitiga identik, dan satu-satunya perbedaan antara dua kotak besar adalah bahwa segitiga diatur secara berbeda. Oleh karena itu, ruang putih dalam masing-masing dari dua kotak besar harus memiliki luas yang sama. Menyamakan luas ruang putih menghasilkan teorema Pythagoras, Q.E.D.

Heath memberikan bukti ini dalam komentarnya tentang Proposisi I.47 dalam Elemen Euclid, dan menyebutkan proposal Bretschneider dan Hankel bahwa Pythagoras mungkin telah mengetahui bukti ini. Heath sendiri lebih menyukai proposal yang berbeda untuk bukti Pythagoras, tetapi mengakui dari permulaan diskusinya “bahwa literatur Yunani yang kita miliki milik lima abad pertama setelah Pythagoras tidak berisi pernyataan yang menyebutkan hal ini atau penemuan geometrik besar lainnya kepadanya.” Beasiswa terbaru telah menimbulkan keraguan yang semakin besar pada segala jenis peran untuk Pythagoras sebagai pencipta matematika, meskipun perdebatan tentang ini terus berlanjut.

2. Bentuk-Bentuk Teorema Lainnya

Jika c menunjukkan panjang sisi miring dan a dan b menunjukkan panjang dari dua sisi lainnya, teorema Pythagoras dapat dinyatakan sebagai persamaan Pythagoras:

Jika panjang a dan b diketahui, maka c dapat dihitung sebagai berikut.

 

Jika panjang sisi miring c dan satu sisi (a atau b) diketahui, maka panjang sisi lainnya dapat dihitung sebagai berikut.

 

atau

Persamaan Pythagoras menghubungkan sisi-sisi segitiga siku-siku dengan cara yang sederhana, sehingga jika panjang kedua sisi diketahui panjang sisi ketiga dapat ditemukan. Akibat wajar lain dari teorema adalah bahwa dalam segitiga siku-siku mana, sisi miring lebih besar daripada salah satu sisi lain, tetapi kurang dari jumlah mereka.

Generalisasi teorema ini adalah hukum Cosinus, yang memungkinkan perhitungan panjang setiap sisi dari segitiga apa pun, mengingat panjang dua sisi lainnya dan sudut di antara keduanya. Jika sudut antara sisi lain adalah sudut kanan, hukum cosinus mereduksi menjadi persamaan Pythagoras.

3. Bukti Einstein dengan Diseksi Tanpa Penataan Ulang

Segitiga kanan pada sisi miring dibedah menjadi dua segitiga siku-siku pada kaki, menurut bukti Einstein.

Albert Einstein memberikan bukti dengan pembedahan di mana potongan-potongan tidak perlu dipindahkan. Alih-alih menggunakan persegi pada sisi miring dan dua persegi pada kaki, kita dapat menggunakan bentuk lain yang mencakup sisi miring, dan dua bentuk serupa yang masing-masing mencakup satu dari dua kaki alih-alih sisi miring.

Dalam bukti Einstein, bentuk yang mencakup sisi miring adalah segitiga siku-siku itu sendiri. Diseksi terdiri dari menjatuhkan tegak lurus dari sudut sudut kanan segitiga ke sisi miring, sehingga membelah seluruh segitiga menjadi dua bagian. Kedua bagian tersebut memiliki bentuk yang sama dengan segitiga siku-siku asli, dan memiliki kaki-kaki dari segitiga asli sebagai sisi miringnya, dan jumlah area mereka adalah segitiga asli. Karena rasio luas segitiga siku-siku dengan kuadrat sisi miringnya sama untuk segitiga serupa, maka hubungan antara luas ketiga segitiga tersebut juga berlaku untuk kuadrat sisi-sisi segitiga besar.

Penggunaan Rumus Pythagoras

Seperti yang telah disebutkan sebelumnya bahwa penerapan rumus Pythagoras digunakan untuk mengetahui nilai sisi yang berseberangan dengan siku-siku atau sisi miring. Kedua sisi tersebut juga dikenal dengan sisi hipotenusa. Dengan kata lain, penting bagi kamu untuk mengetahui konsep dasar sesuai dengan hukum yang telah disebutkan sebelumnya. Adapun pengaplikasian teorema Pythagoras dapat digunakan untuk menentukan tinggi segitiga sama sisi, menentukan panjang diagonal persegi, persegi panjang, belah ketupat, diagonal balok, kubus garis pelukis kerucut dan sebagainya.

Apakah Teorema Pythagoras Berlaku untuk Semua Segitiga?

Menurut Budi Suryatin dan R. Susanto Dwi Nugroho dalam buku berjudul Kumpulan Soal Matematika SMP/MTs Kelas VIII, teorema Pythagoras hanya berlaku untuk segitiga siku-siku. Hal itu sama halnya seperti yang dijelaskan dalam Modul Teorema Pythagoras yang menyebutkan bahwa setiap segitiga siku-siku berlaku luas persegi pada hipotenusa sama besarnya dengan jumlah luas persegi pada sisi yang lain atau sisi siku-sikunya.

Sementara itu, terdapat kebalikan dari teorema Pythagoras yang berfungsi untuk menentukan jenis segitiga jika panjang sisi-sisinya diketahui. Adapun jenis segitiga tersebut di antaranya:

  • Segitiga siku-siku, yaitu segitiga yang salah satu sudutnya berbentuk siku-siku atau sebesar 90 derajat.
  • Segitiga lancip, yaitu segitiga yang ketiga sudutnya lancip atau berukuran kurang dari 90 derajat.
  • Segitiga tumpul, yaitu segitiga yang salah satu sudutnya tumpul atau berukuran lebih dari 90 derajat.

Jenis segitiga bisa ditentukan berdasarkan panjang sisinya. Apabila kuadrat sisi miring atau sisi terpanjang sebuah segitiga sama dengan jumlah kuadrat panjang kedua sisinya, segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku. Menurut sumber yang sama, dalam teorema Pythagoras dinyatakan jika segitiga ABC memiliki sisi A sebagai siku-siku, a2 = b2 + c2. Sementara itu, kebalikan teorema Pythagoras berlaku jika a2 = b2 + c2, sudut A merupakan siku-siku.

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan Pythagoras.

Soal 1
Suatu segitiga siku- siku memiliki sisi tegak (AB) panjangnya 15 cm ,dan sisi mendatarnya (BC) 8 cm, berapa cm sisi miringnya (AC)?

Pembahasan
Diketahui:
AB = 15
BC = 8

Ditanya:
Panjang AC?

Jawab:
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 152 + 82
AC2 = 225 + 64
AC2 = 289
AC = √289
AC = 17

Soal 2
Suatu balok memiliki panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut yaitu 12 cm, 9 cm, dan 8 cm. Tentukanlah panjang salah satu diagonal ruangnya!

Pembahasan
Diketahui:
P = 12 cm
L = 9 cm
T = 8cm

Ditanya:
Panjang dr?

Jawab:
⇒ dr2 = p2 + L2 + t2
⇒ dr2 = 122 + 9sup>2 + 82
⇒ dr2 = 144 + 81 + 64
⇒ dr2 = 289
⇒ dr = √289
⇒ dr = 17 cm
Panjang diagonal ruangnya, yaitu 17 cm.

Soal 3
Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku berada di B. Apabila panjang sisi AB = 16 cm serta Panjang sisi BC = 12 cm. Maka hitunglah panjang sisi AC pada segitiga tersebut!

Pembahasan
Diketahui:
AB = 16 cm
BC = 12 cm

Ditanya:
Panjang sisi AC?

Jawab:
c² = a² + b²
c² = 12² + 16²
c² = 144 + 256
c² = 400
c = √400
c = 20

Soal 4
Sebuah tangga yang panjangnya 5 meter bersandar di tembok, yang kemudian disebut dengan AB. Sementara itu, jarak ujung bawah tangga terhadap tembok 3 meter, yang kemudian disebut dengan AC. Berapakah tinggi ujung atas tangga dari lantai (BC)?

Pembahasan
Diketahui:
AB = 3 m
AC = 5 m

Ditanya:
Panjang sisi BC?

Jawab:
AC² = AB² + BC²
5² = 3² + BC²
25 = 9 + BC²
25 – 9 = BC²
16 = BC²
BC= √16
BC= 4
Jadi, tinggi ujung atas tangga dari lantai atau BC adalah 4 meter.

Itulah penjelasan terkait rumus Pythagoras. Semoga bermanfaat dan menambah pemahamanmu terkait materi yang satu ini.

Rekomendasi Buku & Artikel Terkait



ePerpus adalah layanan perpustakaan digital masa kini yang mengusung konsep B2B. Kami hadir untuk memudahkan dalam mengelola perpustakaan digital Anda. Klien B2B Perpustakaan digital kami meliputi sekolah, universitas, korporat, sampai tempat ibadah."

logo eperpus

  • Custom log
  • Akses ke ribuan buku dari penerbit berkualitas
  • Kemudahan dalam mengakses dan mengontrol perpustakaan Anda
  • Tersedia dalam platform Android dan IOS
  • Tersedia fitur admin dashboard untuk melihat laporan analisis
  • Laporan statistik lengkap
  • Aplikasi aman, praktis, dan efisien