Rumus Luas dan Keliling Lingkaran Beserta Contoh Soal

Rumus Luas dan Keliling Lingkaran – Artikel ini adalah tentang lingkaran dalam geometri Euclidean dan khususnya bidang Euclidean, kecuali jika dinyatakan sebaliknya. Lingkaran adalah bentuk yang terdiri dari semua titik dalam bidang yang berjarak tertentu dari titik tertentu, pusat; ekuivalennya adalah kurva yang dilacak oleh titik yang bergerak dalam bidang, sehingga jaraknya dari titik tertentu adalah konstan. Jarak antara titik mana saja dari lingkaran dan pusat disebut jari-jari.

Sebuah lingkaran (hitam), yang diukur dengan kelilingnya (C), diameter (D) dalam cyan, dan jari-jari (R) dalam warna merah; pusatnya (O) ada di magenta.

Secara khusus, sebuah lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang membagi pesawat menjadi dua wilayah, yaitu interior dan eksterior. Dalam penggunaan sehari-hari, istilah “lingkaran” dapat digunakan secara bergantian untuk merujuk kepada batas gambar atau keseluruhan gambar termasuk bagian dalamnya; dalam penggunaan teknis yang ketat, lingkaran hanyalah batas dan seluruh gambar disebut cakram.

Lingkaran juga dapat didefinisikan sebagai jenis elips khusus; dua fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0 atau bentuk dua dimensi yang melingkupi area per satuan perimeter kuadrat, menggunakan kalkulus variasi.

Definisi Lingkaran

Proyeksi sebuah lingkaran di sebuah bidang.

Apa yang dimaksud dengan lingkaran sebagai bangun datar? Bangun datar yang tersusun dari kurva dan bukan garis lurus sehingga tidak termasuk poligon disebut lingkaran. Elips khusus dimana dua titik fokus bertepatan dan eksentrisitasnya adalah 0 juga dapat didefinisikan sebagai lingkaran.

Lingkaran menjadi salah satu bangun datar yang tidak memiliki siku-siku. Kamu kerap menemui benda-benda dalam bentuk lingkaran di kehidupan sehari-hari, seperti piring, ban mobil, alas cangkir, jam dinding, koin, dan masih banyak lagi.

Ciri-ciri lingkaran ialah memiliki diameter yang membaginya menjadi dua sisi seimbang dan memiliki jumlah sudut sebesar 180 derajat. Selain itu, diameter konstan dan jari-jari yang menghubungkan titik pusat dengan titik busur lingkaran juga menjadi ciri-ciri dari sebuah lingkaran.

Lingkaran memiliki satu sisi dengan simetri lipat lingkaran yang tak terhingga sebagai salah satu sifatnya. Kemudian sifat lingkaran juga memiliki simetri putar lingkaran yang tak terhingga.

Dalam berbagai bidang, konsep mengenai lingkaran banyak diterapkan. Misalnya, konsep luas lingkaran kerap digunakan untuk mengukur luas lahan maupun luas suatu objek berbentuk lingkaran.

Kemudian dalam berbagai bidang, konsep keliling lingkaran juga banyak diterapkan. Misalnya, konsep keliling lingkaran untuk pemecahan masalah mengenai jari-jari atau diameter roda, panjang lintasan atau jarak yang ditempuh, dan penerapan lainnya.

Terdapat pada ilmu matematika, unsur-unsur lingkaran kerap kita temui dalam kehidupan sehari-hari. Sangat mudah untuk mengenali atau membedakan lingkaran dengan bangun datar lainnya. Bangun datar yang satu ini merupakan satu-satunya bangun datar yang tidak memiliki titik sudut.

Dalam perhitungan dasar, lingkaran sebagai bangun dua dimensi hanya memiliki luas dan keliling saja. Dalam ilmu matematika, Grameds perlu mengetahui unsur-unsur lingkaran terlebih dahulu untuk mengetahui keliling hingga luas keseluruhan.

Titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, juring, tembereng, dan apotema merupakan beberapa unsur dalam lingkaran yang perlu kamu ketahui. Himpunan semua titik dengan jarak yang sama terhadap sebuah titik tertentu disebut lingkaran.

Dapat dikatakan himpunan titik-titik merupakan cara merumuskan lingkaran dalam ilmu matematika. Dalam rumusan di atas, kata “titik tertentu” disebut pusat lingkaran.

Sementara kata “jarak yang sama” dapat disebut jari-jari. Dalam ilmu matematika, jari-jari dapat diartikan sebagai ruas garis yang menghubungkan titik pusat dengan sebuah titik pada lingkaran atau sebagai ukuran panjang.

Kemudian pengertian lingkaran secara umum adalah satu di antara sekian jenis bangun datar dua dimensi. Lingkaran terbentuk dari kumpulan titik lengkungan dengan memiliki panjang yang sama terhadap pusat lingkaran itu sendiri.

Lingkaran tergolong bangun datar yang cukup unik karena hanya memiliki satu sisi melengkung yang saling bertemu tanpa sudut apa pun. Dapat dikatakan bahwa lingkaran adalah salah satu bentuk geometri dan bangun datar. Kurva melengkung yang tertutup dengan garis beraturan dapat dikatakan sebagai bentuk lingkaran.

1. Definisi Euclid

Lingkaran adalah sosok bidang yang dibatasi oleh satu garis lengkung, dan sedemikian rupa sehingga semua garis lurus yang ditarik dari titik tertentu di dalamnya ke garis pembatas adalah sama. Garis pembatas disebut kelilingnya dan titiknya, pusatnya.

— Euclid, Elements, Book I

2. Definisi Topologis

Lingkaran di bidang topologi tidak terbatas kepada konsep geometris, tetapi untuk semua homeomorfismenya. Dua lingkaran topologi setara jika satu dapat ditransformasikan menjadi yang lain melalui deformasi R³ di dirinya sendiri (dikenal sebagai ambient isotopy).

Beberapa istilah geometri mengenai lingkaran, antara lain:

Titik pusat, yaitu titik tengah lingkaran, di mana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.
Jari-jari atau radius, yaitu garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
Tali busur, yaitu garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.
Busur, yaitu garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.
Keliling lingkaran, yaitu busur terpanjang di lingkaran.
Diameter, yaitu tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.
Apotema, yaitu garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
Juring, yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
Tembereng, yaitu daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.
Cakram, yaitu semua daerah yang berada di dalam lingkaran. Luasnya yaitu jari-jari kuadrat dikalikan dengan pi. Cakram merupakan juring terbesar.

Tali busur, garis potong, garis singgung, jari-jari, dan diameter.

Busur, juring, dan tembereng.

Unsur-Unsur Lingkaran

Setelah memahami pengertian lingkaran, kini saatnya Grameds mengetahui unsur-unsur lingkaran yang dapat diaplikasikan untuk menghitung keliling dan luas sebuah lingkaran itu sendiri. Simak penjalasan berikut ini.

1. Titik Pusat (P)

Titik pusat merupakan unsur lingkaran pertama yang perlu kamu ketahui. Titik yang berada tepat di bagian tengah lingkaran disebut titik pusat.

Jarak titik pusat dengan semua titik pada bangun datar yang satu ini selalu sama. Titik pusat kerap disimbolkan dengan penggunaan huruf kapital, seperti A, O, P, Q, dan lain sebagainya.

2. Jari-Jari Lingkaran (r)

Unsur selanjutnya ialah jari-jari lingkaran. Jari-jari dapat diartikan sebagai jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik pada lingkaran. Panjang jari-jari pada sebuah lingkaran selalu sama karena jarak antara titik pusat dengan semua titik pada lingkaran sama. Dalam rumus matematika, jari-jari kerap disimbolkan dengan huruf r atau yang disebut radius. Karena panjangnya sama saja, jarak ini bisa terbentang ke bawah, ke atas, ke kanan, maupun ke kiri.

3. Diameter (d)

Diameter adalah unsur lingkaran berikutnya yang akan dibahas. Panjang garis lurus yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui titik pusat lingkaran dapat diartikan sebagai diameter. Dapat dikatakan bahwa nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran. Begitu pun sebaliknya, jari-jari lingkaran memiliki nilai setengah dari diameter. Dalam rumus matematika, diameter kerap disimbolkan dengan huruf d.

4. Busur

Unsur lingkaran berikutnya ialah busur. Apa yang dimaksud dengan busur sebagai unsur lingkaran? Bagian lingkaran yang berbentuk garis lengkung merupakan pengertian dari busur. Jenis busur dalam lingkaran terbagi menjadi dua, yakni busur besar dan busur kecil. Busur yang panjangnya lebih dari setengah keliling lingkaran disebut sebagai busur besar. Sementara busur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran disebut busur kecil. Garis lengkung, baik terbuka maupun tertutup dan saling berhimpit dengan lingkaran disebut busur lingkaran.

5. Tali Busur

Unsur-unsur lingkaran yang selanjutnya ialah tali busur. Garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut sebagai tali busur. Garis lurus tersebut mengaitkan dua titik pada keliling lingkaran, tetapi tidak melewati titik pusat lingkaran. Jika Grameds kesulitan membayangkannya, bayangkan saja sebuah tali busur lingkaran sama seperti tali pada busur panah.

6. Juring

Daerah yang diapit oleh dua jari-jari dan busur lingkaran merupakan pengertian dari juring sebagai unsur lingkaran. Juring pada lingkaran terdiri atas dua bagian, yakni juring besar dan juring kecil. Dimana daerah dalam lingkaran yang dibatasi jari-jari dan busur besar lingkaran disebut juring besar. sementara daerah dalam lingkaran yang dibatasi jari-jari dan busur kecil disebut sebagai juring kecil.

7. Tembereng

Daerah yang diapit oleh tali busur dan busur lingkaran dapat diartikan sebagai tembereng. Kemudian tembereng terbagi menjadi dua, yakni tembereng besar dan tembereng kecil. Daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur besar lingkaran disebut sebagai tembereng besar. Sedangkan daerah yang dibatasi oleh tali busur dan busur kecil lingkaran disebut tembereng kecil.

8. Apotema

Apotema menjadi unsur lingkaran yang akan dibahas. Ruas garis tegak lurus yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran diartikan sebagai apotema. Kemudian apotema juga dapat diartikan sebagai jarak terpendek tali busur dengan titik pusat lingkaran.

9. Sudut Pusat

Sudut pusat adalah unsur lingkaran selanjutnya yang akan dibahas. Sebuah sudut yang terbentuk karena pertemuan antara dua tali busur dengan satu titik pada keliling lingkaran disebut sebagai sudut pusat.

10. Sudut Keliling

Sudut keliling adalah unsur lingkaran selanjutnya yang akan dibahas. Sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran dapat dikatakan sebagai sudut keliling.

Sejarah Lingkaran

Dalam bahasa Inggris, lingkaran disebut dengan circle serta memiliki kaitan yang erat dengan kata circus ataupun circuit. Sementara itu, lingkaran dalam bahasa Yunani adalah κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos) yang merupakan metatesis dari bahasa Yunani homerik yaitu κρίκος atau krikos artinya cincin, gelang, atau simpai.

Gambar lingkaran dalam astronomi Arab kuno.

Keberadaan lingkaran telah ada sejak zaman prasejarah. Objek-objek alami seperti bulan dan matahari memiliki bentuk lingkaran jika diamati. Penemuan bangun datar lingkaran juga telah menjadi dasar dari perkembangan cabang ilmu lainnya seperti geometri, astronomi, dan kalkulus. Penemuan roda menjadi cikal bakal penemuan dari sifat-sifat yang dimiliki lingkaran.

Bangsa Yunani mengatakan bahwa bangsa Mesir merupakan bangsa penemu ilmu geometri. Ahmes yang merupakan seorang penulis Rhind papyrus mengemukakan aturan untuk menentukan luas lingkaran yang bernilai 256/81 atau sekitar 3,16. Sementara itu, pada 650 SM, Thales merupakan orang yang pertama kali mengemukakan teorema yang berkaitan dengan lingkaran. Pada buku The Euclid III mengemukakan tentang elemen-elemen lingkaran dan penulisan segibanyak. Salah satu masalah matematika Yunani adalah masalah mencari luas persegi dengan luas yang sama seperti lingkaran yang diberikan. Beberapa ‘kurva terkenal’ pertama kali dicoba untuk memecahkan masalah tersebut. Anaxagoras pada 450 SM adalah matematikawan yang tercatat pertama kali mempelajari masalah ini.

Persamaan Lingkaran

Suatu lingkaran memiliki persamaan sebagai berikut.

(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=R^{2}\!

dengan $R\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(x_0,y_0)\!$ adalah koordinat pusat lingkaran.

Jika pusat lingkaran terdapat di $(0,0)\!$ , persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut.

x^{2}+y^{2}=R^{2}\!

Bentuk persamaan lingkaran dapat dijabarkan juga menjadi bentuk berikut.

x^{2}+Ax+y^{2}+By+C=0\!

dengan ${\sqrt {{\frac {A^{2}+B^{2}}{4}}-C}}\!$ adalah jari-jari lingkaran dan $(-{\frac {A}{2}},-{\frac {B}{2}})\!$ adalah koordinat pusat lingkaran. Bentuk persamaan tersebut dikenal sebagai bentuk umum persamaan lingkaran.

Persamaan Parametrik

Lingkaran dapat pula dirumuskan dalam suatu persamaan parameterik sebagai berikut.

$x=x_{0}+R\cos(t)\!$
$y=y_{0}+R\sin(t)\!$

yang apabila dibiarkan menjalani t akan dibuat suatu lintasan berbentuk lingkaran dalam ruang x-y.

Luas dan Keliling Lingkaran

1. Luas Lingkaran

Luas lingkaran.

Luas lingkaran memiliki rumus sebagai berikut.

$L=\pi r^{2}\!$
L = luas
r = jari-jari (radius)
π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3,14)

yang dapat diturunkan dengan melakukan integrasi elemen luas suatu lingkaran

\mathrm {d} A=r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r

dalam koordinat polar, yaitu

\int \mathrm {d} A=\int _{r=0}^{R}\int _{\theta =0}^{2\pi }r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r=\int _{r=0}^{R}r\,\mathrm {d} r\int _{\theta =0}^{2\pi }\,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}(R^{2}-0^{2})\ (2\pi -0)=\pi R^{2}

Dengan cara yang sama dapat pula dihitung luas setengah lingkaran, seperempat lingkaran, dan bagian-bagian lingkaran. Juga tidak ketinggalan dapat dihitung luas suatu cincin lingkaran dengan jari-jari dalam $R_{1}\!$ dan jari-jari luar $R_{2}\!$ .

a. Penjumlahan Elemen Juring

Luas lingkaran dapat dihitung dengan memotong-motongnya sebagai elemen-elemen dari suatu juring untuk kemudian disusun ulang menjadi sebuah persegi panjang yang luasnya dapat dengan mudah dihitung. Dalam gambar r berarti sama dengan R, yaitu jari-jari lingkaran.

b. Luas Juring

Luas juring suatu lingkaran dapat dihitung apabila luas lingkaran dijadikan fungsi dari R dan θ sebagai berikut.

A(R,\theta )={\frac {1}{2}}R^{2}\theta \!

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π. Saat θ bernilai 2π, juring yang dihitung adalah juring terluas, atau luas lingkaran.

Luas juring adalah ${\frac {\theta }{360}}\pi r^{2}$ atau ${\frac {\theta }{2}}r^{2}$

c. Luas Tembereng

Luas tembereng = ${\frac {1}{2}}r^{2}\theta -{\frac {1}{2}}r^{2}\sin(\theta )$

dengan batasan nilai θ adalah antara 0 dan 2π.

d. Luas Cincin Lingkaran

Suatu cincin lingkaran memiliki luas yang bergantung pada jari-jari dalam $r$ dan jari-jari luar $R$ sebagai berikut.

A_{\text{cincin}}=\pi (R^{2}-r^{2})

di mana untuk $r=0\!$ , rumus ini kembali menjadi rumus luas lingkaran.

e. Luas Potongan Cincin Lingkaran

Dengan menggabungkan kedua rumus sebelumnya, dapat diperoleh

A_{\text{potongan cincin}}={\frac {\pi }{2}}(R^{2}-r^{2})\theta

yang merupakan luas sebuah cincin tak utuh.

2. Keliling Lingkaran

Keliling lingkaran memiliki rumus sebagai berikut.

$K=2\pi r\!=\pi d\!$
K = keliling
r = jari-jari
π = Pi (kira-kira 22/7 atau 3.14)
d = diameter

dimana $K$ , $r$ , $d$ melambangkan keliling, jari-jari, dan diameter lingkaran.

Panjang Busur Lingkaran

Panjang busur suatu lingkaran dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut.

L=R\theta \!

yang diturunkan dari rumus untuk menghitung panjang suatu kurva

\mathrm {d} L=\int {\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x

dimana digunakan

y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}\!

sebagai kurva yang membentuk lingkaran. Tanda $\pm$ mengisyaratkan bahwa terdapat dua buah kurva, yaitu bagian atas dan bagian bawah. Keduanya identik (ingat definisi lingkaran), sehingga sebenarnya hanya perlu dihitung sekali dan hasilnya dikalikan dua.

Panjang busur adalah ${\frac {\theta }{360}}2\pi r$ atau $\theta r$

Garis Singgung Lingkaran

Garis yang menyinggung di sisi luar lingkaran

Haris singgung lingkaran adalah sebuah garis yang ditarik dari suatu titik bersinggungan langsung dengan sisi luar atau pinggir atau busur lingkaran. Garis singgung yang terdapat pada dua buah lingkaran dibagi menjadi dua jenis yaitu garis singgung persekutuan dalam dan luar.

Untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua buah lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut.

$d={\sqrt {p^{2}-(r1+r2)^{2}}}$
d = garis singgung persekutuan dalam
p = jarak antara dua pusat lingkaran
r1 = jari-jari lingkaran pertama
r2 = jari-jari lingkaran kedua

Sementara itu, untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus sebagai berikut.

$l={\sqrt {p^{2}-(r1-r2)^{2}}}$
l = garis singgung persekutuan luar
p = jarak antara dua pusat lingkaran
r1 = jari-jari lingkaran pertama yang lebih besar
r2 = jari-jari lingkaran kedua yang lebih kecil

π (Pi)

Nilai pi adalah suatu besaran yang merupakan sifat khusus dari lingkaran, yaitu perbandingan dari keliling K dengan diameternya D:

$\pi ={\frac {K}{D}}$

Contoh Soal

Contoh Soal Keliling Lingkaran

1. Sebuah lingkaran berjari-jari 14 cm, keliling dari lingkaran tersebut adalah …

2. Terdapat sebuah bola berbentuk lingkaran dengan diameter 35 cm . Tentukan keliling lingkaran!

3. Sebuah lingkaran memiliki diameter sebesar 6 M. Tentukan keliling lingkaran!

4. Sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari 7 cm. Keliling lingkaran tersebut adalah …. cm.

Pembahasan:

Keliling Lingkaran (K) = 2 x Л x r

= 2 x 22/7 x 7

= 2 x 22

= 44 cm.

Demikianlah pembahasan mengenai rumus keliling lingkaran dan beserta contoh soal yang telah kami berikan secara lengkap untuk kalian, dan semoga artikel ini dapat berguna dan bermanfaat untuk kita semua, Terima Kasih.

Contoh Soal Luas Lingkaran

1. Diameter lingkaran adalah dua kali dari jari-jari lingkaran, maka hasil yang dapat diperoleh: d = 2r <=> r = ½d. Maka substitusikan r = ½d dan masukan ke dalam rumus luas pada lingkaran sehingga dapat di dapatkan L= πr² = π (½d)² = ¼ π d².

Dengan demikian, luas pada lingkaran dapat dihitung dengan mudah menggunakan panjang pada diameter (d) yang rumusnya yaitu: L=¼ π d².

Luas lingkaran

= ¼ π d²
= ¼ π(30)²
= 225π

Kita juga dapat menuliskan jawaban yaitu dalam bentuk rumus desimal dengan dapat mengalikan nilai pada π yakni 3,14. Dan jawabannya yaitu (225)(3,14) = 706,5 cm2.

2. Misalkan keliling dari sebuah lingkaran yakni 88 cm.

Untuk dapat menentukan luas pada lingkaran tersebut, maka terlebih dahulu kalian tentukan panjang pada jari-jari lingkaran yaitu sebagai berikut:

k=2.π.r
88 = 2.π.r

Panjang r yaitu

r = 88/2.π
r = 88/2.(22/7)
r = 88/(44/7)
r = 14 cm

Setelah menentukan panjang dari jari-jari (r), selanjutnya kalian hitung luasnya.

L = π r²
L = (22/7) x 14²
L = (22/7) x 196
L = 616 cm²

Demikian pembahasan mengenai Rumus Luas Lingkaran semoga dengan adanya artikel ini dapat menambah pengetahuan kalian dibidang matematika dan juga semoga artikel ini dapat bermanfaat untuk kita semua, Terima Kasih.

3. Luas lingkaran dengan diameter 30 cm adalah.. (π=3,14)

Pembahasan:

Jari-jari= 1/2 diameter
Jari-jari= 1/2 x 30 cm
Jari-jari= 15 cm

Luas lingkaran = π x r²
Luas lingkaran = 3,14 x 15²
Luas lingkaran = 706,5 cm²

Nah, itulah penjelasan rumus lingkaran, mulai dari pengertian, unsur-unsur, hingga contoh soalnya. Apakah Grameds sudah memahami penjelasan di atas? Semoga artikel ini bermanfaat dan dapat menambah wawasan kamu, ya Grameds.

Rumus Luas dan Keliling Lingkaran Beserta Contoh Soal