Rumus Gradien, Soal, dan Pembahasannya

Rumus Gradien – Dalam ilmu matematika, gradien merupakan garis lurus yang mempunyai kemiringan berdasarkan pada persamaan. Hal tersebut berarti, gradien menunjukkan tingkat atau nilai kemiringan pada sebuah garis lurus.

Gradien adalah bagian dari materi persamaan garis lurus dan persamaan garis tersebut dapat ditulis dengan y = mx + c, dengan “m” menjadi lambang gradien dari persamaan tersebut.

Pada koordinat kartesius, gradien berguna untuk menentukan garis pada koordinat tersebut. Gradien suatu garis dapat miring ke kanan, ke kiri, landai, maupun curam. Arah serta kemiringan dari garis ini bergantung dari nilai komponen Y dan komponen X.

Dalam buku Matematika yang diterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional, langkah-langkah yang harus dilakukan untuk menentukan nilai gradien suatu gari, yakni:

• Komponen y memiliki tanda + jika bergerak ke atas
• Komponen y memiliki tanda – jika bergerak ke bawah
• Komponen x memiliki tanda + jika bergerak ke kanan
• Komponen x memiliki tanda – jika bergerak ke kiri

Rumus Mencari Gradien

Apabila Grameds telah memahami rumus gradien garis dengan persamaan garis lurus seperti poin sebelumnya, berikut ini dua macam rumus yang dapat digunakan untuk menentukan gradien:

1. Rumus Gradien dengan Persamaan Linier

Ada dua macam bentuk persamaan garis lurus atau linear. Cara yang digunakan untuk menentukan gradiennya juga berbeda, bergantung pada persamaan garisnya.

• Persamaan garis y = mx + c

Persamaan garis ini gradiennya cenderung lebih mudah ditentukan karena “m” adalah koefisien dari variabel x. Misalnya:

– Garis y = 2x + 3, gradien garisnya adalah 2

– Garis y = -3x + 2, gradien garisnya adalah -3

• Persamaan garis ax + by + c = 0

Apabila persamaan garisnya ax + by + c = 0, maka langkah pertama ialah dengan mengubah persamaan garis tersebut menjadi y = mx + c.

Grameds juga harus memperhatikan tanda +/- dari koefisien pada tiap=tiap variabel karena tanda ini akan berubah saat ruas persamaan berpindah.

2. Rumus Gradien dengan Dua Titik

Diketahui terdapat dua titik yang melalui suatu garis, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka gradiennya dapat ditentukan menggunakan rumus m = ∆y/ ∆x = y2 – y1 / x2 – x1.

Misalnya ada dua titik pada suatu garis, yakni titik (-4,2) dan (3,5). Berapa gradien dari garis tersebut?

Pembahasan:

(x1,y1) = (-4,2)

(x2,y2) = (3,5)

Masukan angka ke dalam rumus m = ∆y/ ∆x = y2 – y1 / x2 – x1

m = 5-2 / 3-(-4) = 3/7

Jadi, gradien dari garis tersebut ialah 3/7.

Sifat Gradien dari Dua Garis Lurus

Kedudukan suatu garis dapat sejajar dan tegak lurus. Kedua garis tersebut bisa menjadikan nilai gradien berhubungan. Sifat dua garis lurus bisa membantu Grameds untuk menentukan nilai gradien dari kedua garis.

1. Dua garis sejajar: Garis A dan B saling sejajar sehingga nilai gradien kedua garis tersebut mempunyai nilai yang sama serta bisa dinyatakan dengan mA = mB.
2. Dua garis tegak lurus: Apabila terdapat dua garis yang saling tegak lurus, kedua gradiennya dikalikan dan hasilnya adalah -1 atau mA x mB = -1.

Contoh Soal Gradien

Contoh Soal 1

1. Perhatikan gambar berikut ini!

Tentukan:

1. Gradien garis melalui titik B dan titik A?
2. Persamaan garis melalui titik B dan titik A?

Jawaban.

Titik A (8,10)

Titik B (3, 2)

1.Gradien garis

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

= (10 – 2) / (8 – 3)

= 8/5

2.Persamaan garis

y – y1 = m(x – x1)

y – 2 = 8/5(x – 3)

y – 2 = 8/5 x – 24/3

15y = 24x – 110

atau

15y – 24x = -110

Contoh Soal 2

2. Tentukan gradien garis pada persamaan di bawah ini:

1. y = 7x + 1
2. y = -5x + 7
3. y – 8x = 7
4. 6x – 4y = 16
5. 8x + 5y – 11 = 0

Jawaban.

Contoh soal gradien garis  di nomor a, b dan c tersebut bisa diselesaikan menggunakan rumus y = mx +c (m = gradien). Sehingga:

1. y = 7x + 1, dengan nilai m = 7
2. y = -5x + 7, dengan nilai m = -5
3. y – 8x = 7

y = 8x + 7, dengan nilai m = 8

Kemudian, d dan e bisa diselesaikan menggunakan rumus m = -a/b jika persamaannya ax + by = c dengan hasil

1. 6x – 4y = 16, dengan nilai m = -6/-4 = 3/2
2. 8x + 5y – 11 = 0, dengan nilai m = -8/5

Contoh Soal 3

3. Tentukan persamaan garis yang melewati titik (4,1) dan sejajar dengan garis y = 5x + 6?

Jawaban.

Soal gradien garis ini bisa diselesaikan menggunakan rumus berikut:

y = 5x + 6, m = 5

Sehingga,

y – y1 = m(x – x1)

y – 1 = 5(x – 4)

y – 1 = 5x – 20

y = 5x – 19

y – 5x = -19

Sekian, penjelasan mengenai rumus gradien serta cara untuk menentukan gradien pada garis lurus. Perhitungan gradien ini bisa digunakan salah satunya untuk mencari tingkat kemiringan ketika membuat tangga di rumah dan pembuatan jalan di area pegunungan yang tidak rata.

Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca. Jika ingin mencari buku terkait soal matematika, kamu bisa mendapatkannya di gramedia.com atau bisa lihat rekomendasi buku di bawah ini. 

Nama Penulis: Nanda Akbar Gumilang

Sumber: 

• https://rpp.co.id/contoh-soal-gradien-garis-beserta-jawabannya/
• https://www.ruangguru.com/blog/matematika-kelas-8-3-cara-mencari-kemiringan-garis-lurus
• https://www.kompas.com/skola/read/2023/03/09/173000169/rumus-dan-cara-mencari-gradien-pada-persamaan-garis-lurus

Rekomendasi Buku Terkait

1. SMP/MTs Kelas 7-8-9 Penuntun Penyelesaian Matematika : B

Deskripsi Buku

Kemendikbud telah menetapkan salah satu kebijakan yang terkait dengan Merdeka Belajar ialah menggantikan Ujian Nasional dengan AKM dan SK (Asesmen Kompetensi Minimum dan Survei Karakter) yang diselenggarakan saat kelas VIII serta mengembalikan Ujian Sekolah maupun Ujian Satuan Pendidikan (USP) pada kelas IX ke kebijakan masing-masing sekolah.

AKM & SK tak sekadar berbentuk tes untuk menjawab soal, tetapi dapat juga berupa penugasan, baik berupa Tugas Portofolio maupun Tugas Proyek. Sedangkan US/USP yang berbentuk tes dengan menjawab soal.

Seluruh soal yang hendak diujikan berguna untuk mengukur kemampuan siswa, mulai dari jenjang C1 hingga C6. Menurut Bloom, Keenam jenjang intelektual ini adalah

• C1:ingatan
• C2: pemahaman
• C3: penerapan atau aplikasi
• C4: analisis
• C5: sintesis
• C6: evaluasi

Huruf C dalam singkatan tersebut adalah kependekan dari “Cognitive”, yaknisalah satu ranah dalam Pendidikan yang berisi segala perilaku yang berfokus pada aspek intelektual, seperti pengertian, pengetahuan, serta keterampilan berpikir.

Seluruh bentuk soal tipe C1–C6 dapat Grameds peroleh melalui dalam buku ini. Maka dari itu, buku ini dapat dijadikan sebagai solusi untuk menghilangkan kecemasan ketika Grameds hendak mengerjakan berbagai jenis ujian matematika.

Pembahasan yang disajikan melalui buku ini juga tak hanya berfokus kepada rumus-rumus, tetapi juga pada penguasaan konsep. Dengan mempelajari buku ini, Grameds akan menjadi lebih mudah untuk memahami konsep matematika yang langsung diimplementasikan untuk memecahkan masalah.

2. Insight KSN Matematika SMP

Deskripsi Buku

Matematika merupakan bidang ilmu, yang meliputi penelitian mengenai berbagai topik seperti:

3. Bilangan (aritmetika dan teori bilangan)
4. Rumus dan struktur terkait (aljabar)
5. Bangun dan ruang tempat mereka berada (geometri)
6. Besaran serta perubahannya (kalkulus dan analisis).

Kompetisi Sains Nasional (KSN) atau yang sebelumnya sudah populer dengan Olimpiade Sains Nasional (OSN) adalah salah satu ajang kompetisi bagi siswa dari berbagai tingkat mulai SD, SMP, hingga SMA. KSN diadakan bertujuan untuk memfasilitasi minat, bakat, setta prestasi peserta didik pada bidang sains.

Selain itu, Kompetisi Sains diharapkan dapat berguna untuk membentuk siswa memeperoleh presrasi yang disiplin, jujur, kreatif, tekun, tangguh, sportif, serta cinta tanah air. Ada pula bidang yang dipertandingkan dalam KSN bagi tingkat SMP, yakni:

1. Matematika
2. Ilmu Pengetahuan Alam
3. Ilmu Pengetahuan Sosial

Seleksi KSN umumnya dimulai dari tingkat sekolah, kabupaten/kota, provinsi, nasional, hingga internasional. Buku INSIGHT Kompetisi Sains Nasional (KSN) Matematika Tingkat SMP adalah referensi paling pas bagi siswa SMP untuk menyiapkan diri dalam berpartisipasi di KSN.

Buku ini menyajikan berbagai materi yang berasal dari berbagai sumber, seperti:

1. KSN Matematika SMP
2. Bank soal dan pembahasan KSN dari tingkat Kabupaten/Kota hingga Nasional
3. Bank soal AJHSME, UK – JMO, JBMO, IWYMIC, CMC, SMC, AMC 8, WAJO, dan CIMC.

Jumlah soal yang memadai ini diharapkan bisa dijadikan sebagai referensi bagi siswa untuk berlatih soal-soal yang mungkin akan hadir. Disampng itu, buku ini juga disusun oleh penulis yang telah ahli dan kompeten dibidangnya. Buku ini juga disertai dengan fasilitas akses ke platform Leson.id secara gratis di mana pembaca juga bisa mengerjakan latihan soal KSN secara daring.

3. Super Master KSN Matematika SMP/MTs Edisi Baru

Deskripsi Buku

Buku “Super Master KSN (Kompetisi Sains Nasional) Matematika SMP/MTS” ini hadir sebagai salah satu referensi bagi para siswa terbaik yang akan mengikuti Kompetisi Sains Nasional (KSN) di bidang Matematika, suatu ajang prestisius yang diselenggarakan setiap tahun oleh Pusat Prestasi Nasional Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. Buku ini juga memuat paket super lengkap yang meliputi Ringkasan Materi, Contoh Soal dan Pembahasan, serta Paket Soal Uji Latih, Soal Seleksi, dan Kapita Selekta yang dihadirkan sebagai salah satu persiapan untuk bisa menghadapi:

1. Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota (KSN – K)
2. Kompetisi Sains Nasional Tingkat Provinsi (KSN – P)
3. Kompetisi Sains Model

Buku ini telah disusun sesuai dengan silabus KSN SMP yang sebelumnya sudah dikeluarkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dengan penekanan pada problem solving agar para siswa dapat bernalar dengan baik dari sebelumnya dalam menyerap materi yang sebelumnya telah dipelajari dan mengaplikasikan dalam penyelesaian soal. Oleh karena itu, buku ini menjadi hal yang sangat tepat bagi para guru, pembina, dan juga siswa dalam mempersiapkan diri pada setiap kompetisi matematika, baik itu di dalam skala regional. Nasional, maupun dengan internasional.

4. Super Master OSN/KSN Matematika SMP/MTs (Edisi Baru)

Deskripsi Buku

SUPER MASTER OSN/KSN MATEMATIKA SMP/MTs dirilis dengan tujuan untuk referensi bagi para siswa terbaik yang hendak berpartispasi dalam Kompetisi Sains Nasional (KSN) ayai Olimpiade Sains Nasional (OSN) dalam bidang matematika, sebuah ajang bergengsi yang diselenggarakan oleh Pusat Prestasi Nasional Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi setiap tahunnya.

Buku ini menyajikan paket yang super lengkap dengan meliputi RINGKASAN MATERI, CONTOH SOAL, PEMBAHASAN, dan PAKET SOAL UJI LATIH, SOAL SELEKSI, serta KAPITA SELEKTA sebagai bekal untuk mengerjakan:

1. Olimpiade/Kompetisi Sains Nasional Tingkat Kabupaten/Kota (OSN-K/KSN-K)
2. Olimpiade/Kompetisi Sains Nasional Tingkat Provinsi (OSN-P/KSN-P)
3. Olimpiade/Kompetisi Sains Nasional (OSN/KSN)

Buku ini disusun menyesuikan dengan silabus OSN/KSN SMP yang diterbitkan oleh Kementerian Pendidikan, Kebudayaan, Riset, dan Teknologi serta berfokus pada problem-solving supaya siswa bisa memiliki penalaran yang baik untuk menyerap seluruh materi serta diaplikasikan untuk menyelesaikan soal. Maka dari itu, buku ini menjadi pilihan paling pas bagi guru, pembina, maupun siswa untuk menjadi bekal untuk segala ajang perlombaan matematika, baik dengan skala regional, nasional, dan juga internasional.

5. Buku Siswa Matematika K-13 Edisi Premium SMP/MTs Kelas 7

Deskripsi Buku

Buku ini menjadi buku peserta didik yang disiapkan oleh Pemerintah dengan tujuan untuk Pengimplementasian Kurikulum 2013. Buku untuk siswa ini disusun serta ditelaah oleh pihak-pihak di bawah koordinasi dari Kemendikbud serta digunakan pada tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini adalah “dokumen hidup” yang selalu dibenahi, diperbaharui, serta dimutakhirkan menyesuaikan dengan dinamika kebutuhan serta perubahan zaman.

Sinopsis

Matematika sesuai dengan hakikatnya ialah suatu cara berpikir, cara bernalar, serta bahasa global yang mempunyai berbagai objek abstrak yang adalah seluruh hasil pemikiran manusia yang memakai suatu simbol tertentu untuk menjadi alat komunikasi dari pemikiran maupun ide. Walau demikian, seluruh konsep yang ada di dalam matematika sesungguhnya memiliki pola khusus yang menjadi model dari dunia tempat kita tinggal.

Pembelajaran matematika pada kurikulum ini, menjadikan matematika tak ganya pelajaran yang mengajarkan cara berhitung, menghafal rumus, memahami rumus yang sifatnya abstrak, maupun menerapkannya dalam perhitungan, tetapi juga dimanfaatkan untuk membangun pemahaman peserta didik mengenai seluruh konsep, gagasan, prosedur, dan fakta matematika. Peserta didik dikenalkan dengan banyak fenomena kehidupan yang mereka pelajari untuk diaplikasikan ke dalam kehidupan nyata.

Dengan mengaitkan seluruh dimensi pengetahuan serta berbagai fakta di kehidupan nyata ke permasalahan matematika, peserta didik juga dianjarkan untuk memahami serta mengaplikasikan seluruh sikap yang wajib dimiliki, seperti sikap logis, kritis, teliti, reponsisif, bertanggung jawab, percaya diri, tidak mudah menyerah, serta menghayati ajaran agama yang dianutnya.