Matematika

Pengertian Trigonometri: Jenis, Sudut, dan Identitas

Written by Hendrik Nuryanto

Pengertian trigonometri – Setiap orang yang pernah belajar matematika di SMA, pastinya pernah mendengar istilah sin (sinus), cos (cosinus), dan tan (tangen). Ketiganya termasuk ke dalam materi trigonometri yang fokus mempelajari hubungan besar sudut dengan panjang sisi pada bangun ruang segitiga. Sayangnya, trigonometri ini menjadi salah satu materi yang cukup sulit dipahami. Terutama bagi mereka yang punya masalah dalam mempelajari rumus-rumus matematika. Sebab dalam trigonometri ada beberapa rumus yang harus dikuasai.

Nah, apakah kamu termasuk salah satu orang yang sulit memahami trigonometri atau baru mau mempelajarinya? Yang manapun kamu, simak baik-baik penjelasan tentang trigonometri dalam artikel ini, ya. Karena di sini kita akan membahas pengertian trigonometri, jenis-jenis, sudut, rumus hingga penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. Semoga membantu!

Pengertian Trigonometri

Secara sederhana, trigonometri merupakan cabang ilmu matematika yang membahas tentang hubungan sisi serta sudut yang ada pada segitiga. Hubungan tersebut umumnya disebut sebagai perbandingan sinus, kosinus, dan juga tangen.

Dengan memahami perbandingan ini, Grameds bisa menghitung panjang sisi sebuah segitiga walaupun kamu hanya mengetahui panjang salah satu sisi dan sudutnya saja.

Sementara secara bahasa, trigonometri diambil dari bahasa Yunani “trigonon” yang berarti tiga sudut dan juga “metron” yang artinya mengukur. Anyway, sebelum kamu berkenalan dengan sin, cos, dan tan, ada baiknya Grameds belajar tentang kesebangunan terlebih dahulu.

Agar kamu bisa lebih paham tentang pengertian trigonometri ini, sebaiknya kamu membaca buku Trigonometri yang ditulis oleh Agung Deddiliawan Ismail. Karena buku ini membahas tentang penemu ilmu trigonometri dan perkembanganya berdasarkan sejarah.

Jenis-Jenis Trigonometri

Kalau kamu ingat, dalam materi segitiga ada yang dinamakan dengan segitiga sebangung atau segitiga yang sudutnya sama besar. Nah, yang perlu kamu perhatikan, dua segitiga bisa jadi sebangun walaupun panjang sisinya berbeda.

Contohnya seperti pada gambar di bawah ini:

A/C = 3/5

B/C = 4/5

A/B = 3/4

A/C = 33/55 = 3/5

B/C = 44/55 = 4/5

A/B = 33/44 = 3/4

Dari contoh di atas, apa yang bisa kamu simpulkan? Yup, perbandingan antara segitiga A dan B setelah disederhanakan ternyata mempunyai hasil yang sama. Mengapa bisa begitu? Sebab untuk segitiga sebangun, perbandingan sisinya memang sama. Dengan demikian, munculah istilah sin, cos, dan tan untuk perbandingan sudut tersebut dengan rumus:

sin θ =    cosec θ =

cos θ =     sec θ =

tan θ =     cot θ =

cosec θ =

sec θ =

cot θ =

  • Sinus

Sinus (sin) dalam ilmu matematika merupakan perbandingan sisi segitiga yang terletak di depan sudut dengan sisi miring. namun ini hanya berlaku untuk segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 90o. Dari gambar di atas, bisa dilihat bahwa nilai sinus merupakan

Sin A =   Sin B = 

Perlu kamu ketahui, nilai sinus ini positif di kuadran I, dan juga kuadran II. Sedangkan di kuadran III dan kuadran IV nilainya negatif.

  • Kosinus

Kosinus atau cosinus (cos) merupakan perbandingan sisi segitiga yang ada di sudut dengan sisi miringnya. Sama seperti sinus, cosinus juga hanya berlaku pada segitiga siku-siku yang salah satu sudutnya 90o. Berdasarkan gambar di atas, maka nilai cosinus diketahui sebagai:

cos A =  cos B = 

Nilai kosinus di kuadran I dan IV adalah positif, sementara di kuadran II dan III nilainya negatif.

  • Tangen

Yang dimaksud dengan tangen adalah perbandingan sisi sebuah segitiga siku-siku yang terletak di depan sudut dengan sisi yang ada di sudutnya. Melihat dari gambar di atas tadi, nilai tangen adalah:

tan A =  tan B = 

Nilai tangen ini memiliki hubungan dengan nilai sinus dan cosinus yang digambarkan menggunakan rumus berikut ini:

tan A = 

  • Kosekan

Kosekan atau cosec (csc) merupakan perbandingan sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi yang ada di depan sudut. Kalau dilihat dari gambar segitiga di atas tadi, kosekan memiliki nilai:

csc A =  csc B =

Selain itu, kosekan juga memiliki hubungan dengan sinus berupa:

csc A = 

  • Sekan

Secan (sec) merupakan perbandingan sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi yang ada pada bagian sudutnya. Coba perhatikan gambar segitiga siku-siku di atas tadi, dari gambar tersebut bisa dilihat bahwa nilai sekan adalah:

sec A = sec B = 

Kemudian hubungan antara sekan dengan kosinus digambarkan dengan rumus:

Sec A = 

  • Kotangen

Kotangan atau cot merupakan perbandingan sisi segitiga siku-siku yang ada pada bagian sudut dengan sisi yang ada di depan sudutnya. Dari gambar di atas tadi, terlihat bahwa nilai kotangen adalah:

Cot A = Cot B =

Kotangen mempunyai hubungan dengan tangen yang dijelaskan lewat rumus berikut ini:

Cot A = 

Temukan pembahasan lengkap jenis-jenis trigonometri dalam buku Trigonometri Dasar yang ditulis oleh Prof. Dr. Hj. Rahayu Kariadinata, M.Pd. Buku ini ditulis dengan tujuan untuk mempermudah para pembaca dalam memahami materi dasar-dasar trigonometri.

Sudut Trigonometri

Pixabay.com/geralt

Dari penjelasan mengenai sin, cos, tangen, csc. sec, dan cot, bisa disimpulkan bahwa trigonometri sangat berhubungan erat dengan sudut–khususnya sudut segitiga siku-siku. Nah, secara umum setiap sudut sebenarnya mempunyai identitasnya masing-masing.

Pada segitiga, “identitas” sudut ini sangat sulit diketahui angka pastinya. Kecuali pada segitiga istimewa atau segitiga yang angka-angkanya tepat. Misalnya seperti segitiga sama sisi. Jumlah sudutnya sudah pasti 180 derajat. Dalam matematika, hal ini disebut juga sebagai sudut istimewa trigonometri atau sudut trigonometri.

Jika kamu menghitung sudut-sudut tersebut, maka nilai-nilainya akan terlihat seperti yang ada pada tabel di bawah ini:

sin θ 0 1
cos θ 1 0
tan θ 0 1

Sudut Berelasi pada Kuadran

Dalam trigonometri ada istilah yang disebut kuadran. Ini merupakan empat bagian bidang datar yang dibagi oleh sumbu silang x dan juga sumbu silang y. Prinsipnya, jika y-nya positif maka nilai sin akan positif. Jika x-nya positif, maka nilai cos yang positif. Sementara nilai tan akan positif ketika x dan y sama-sama positif maupun negatif. Lalul terakhir, k memiliki nilai yang selalu positif.

Uraian di atas ini bisa disingkat lagi agar lebih mudah diingat menjadi seperti ini:

Kuadran I (mulai dari 0° − 90°) semuanya positif

Kuadran II (90° − 180°) hanya sin yang positif

Kuadran III (180° − 270°) hanya tan yang positif

Kuadran IV (270° − 360°) hanya cos yang positif

Rumus-rumus ini mempunyai pola yang sama, khususnya sudut relasi yang digunakan serta tanda untuk setiap kuadran. Jadi untuk relasi (90° ± α°) atau (270° ± α°) digambarkan sebagai berikut:

sin → cos

cos → sin

tan → cot

Sementara untuk relasi (180° ± α°) atau (360° ± α°) adalah:

sin = sin

cos = cos

tan = tan

Sudut Negatif

For your information, sudut positif dalam trigonometri memiliki arah putaran yang berlawanan dengan jarum jam. Sebaliknya, sudut negatif memiliki arah putaran yang searah jarum jam. Selain itu, sudut negatif trigonometri juga bisa didapatkan dari rumus:

cosec (-α) = -cosec α

sec (-α) = sec α

cot (-α) = -cot α

Sudut Lebih dari 360 Derajat

Khusus untuk sudut yang lebih dari 360 derajat, caranya bisa kamu lihat pada gambar di bawah ini:

Dari gambar ini, terlihat bahwa sin 390° = sin (390° – 360°) = sin 30°

Identitas Trigonometri

Yang dimaksud dengan identitas trigonometri adalah hubungan suatu fungsi trigonometri dengan fungsi trigonometri yang lainnya. Identitas trigonometri ini bisa kamu tunjukkan kebenarannya melalui tiga cara, yaitu:

  • Pertama bisa dengan menyederhanakan ruas kiri memakai identitas trigonometri sebelumnya hingga bentuknya sama dengan ruas kanan;
  • Kedua, menyederhanakan sekaligus mengubah ruas kanan hingga bentuknya menjadi sama dengan ruas kiri;
  • Ketiga, ubah ruas kiri dan ruas kanan agar memiliki bentuk yang sama

Identitas trigonometri ini memiliki beberapa rumus yang perlu kamu ketahui dan pahami, diantaranya adalah:

tan a =
cot a =  =
sec a =
csc a =
sin²x + cos²x = 1
sin² x = 1 – cos² x
cos²x = 1 – sin²x
sec²a = tan² a + 1
csc²a = cot²a + 1

Rumus Trigonometri

Sejak dulu sampai sekarang rumus trigonometri selalu dianggap membingungkan oleh banyak pelajar, terutama bagi mereka yang baru pertama kali mempelajarinya. Namun bukan berarti rumus trigonometri ini tidak bisa dipahami sama sekali.

Asal kamu mau mempelajarinya dengan cepat dan tekun, semua rumus trigonometri dapat dikuasai secara perlahan-lahan. Untuk memulainya kamu bisa mengingat bahwa inti dari semua fungsi trigonometri merupakan fungsi sinus, cosinus, tangen dan juga fungsi kebalikannya.

Jadi misalnya sin adalah De dibagi Mi, lalu csc adalah kebalikannya yakni Mi dibagi De. Dengan demikian kamu hanya perlu mengingat Sin De Mi,. cos Sa Mi, dan juga tan De Sa. Kemudian ingat juga hubungannya, yakni Sin dengan csc, Cos dengan Sec, serta tan dan cot.

Nah, selain rumus identitas trigonometri yang sudah disebutkan sebelumnya, masih ada beberapa rumus yang harus kamu ketahui, yaitu:

Aturan sinus

Aturan sinus dalam trigonometri merupakan pernyataan mengenai segitiga yang berubah-ubah di udara. Jadi ketika sisi segitiga adalah a, b, dan c kemudian sudut yang berhadapan nya A, B, dan C, maka aturan sinus menyatakan:

Rumus yang satu ini bisa kamu gunakan untuk menghitung sisi yang tersisa dari segitiga yang 2 sudut dan 1 sisinya sudah diketahui. Selain itu, bisa juga untuk segitiga yang 2 sisi dan 1 sudutnya tak dilampirkan sudah diketahui.

Misalnya ada sebuah segitiga sembarang seperti di bawah ini:

Diketahui:

nilai sin A = 0,2

Ditanyakan:

nilai sin B dan sin C

Penyelesaian:

nilai sin B dan sin C bisa dicari dengan menggunakan rumus aturan sinus, yaitu:

nilai sin B

sin B = 0,25

nilai sin C

sin C = 0,325

Dengan demikian diketahui bahwa nilai sin B adalah 0,25 dan nilai sin C adalah 0,325.

Kemudian dari aturan sini ini sebenarnya kamu juga bisa mengetahui bahwa sudut terbesar berhadap-hadapan dengan sisi yang terpanjang. Sama halnya dengan sudut terkecil yang berhadapan dengan sisi terpendek.

Anyway sebelum lanjut ke pembahasan selanjutnya, coba kamu perhatikan gambar segitiga di atas. Sisi t yang menjadi garis pembantu dalam gambar tersebut sengaja ditambahkan agar segitinya bisa berbentuk siku-siku.

Hal ini penting karena ketika kamu ingin mencari Sin-nya, kamu membutuhkan sisi depan dan juga sisi miring. Nah, sisi t adalah sisi depannya.

Aturan kosinus

Aturan kosinus adalah aturan tentang hubungan antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam sebuah segitiga. Aturan kosinus menyatakan bahwa = a² + b² – 2ab cos y

y di sini merupakan sudut yang dibentuk oleh sisi a serta sisi b. Sementara sisi c menjadi sisi yang berhadapan dengan sudut y tersebut. Aturan ini bisa kamu terapkan untuk sisi a dan b sehingga menjadi :

 = b² + c² – 2bc cos a

 = a² + c² – 2aa cos b

Misalnya ada sebuah segitiga sebagai berikut:

quipper.com

Ditanyakan:

panjang sisi BC

Penyelesaian:

BC² = AC² + AB²- 2(AC)(AB)cos A

=12² + 6² – 2(12)(6) cos 45

=144 + 36 – 144 (½√2)

=(180 – 72√2) cm

Artinya jika panjang dua sisi segitiga dan sudut yang diapit kedua sisi tersebut sudah diketahui, kamu bisa menentukan panjang sisi yang satunya lagi. Akan tetapi ketika panjang dari tiga sisi sudah diketahui, kamu bisa menentukan besar sudut yang ada dalam sebuah segitiga.

Persamaan Trigonometri

Persamaan trigonometri merupakan persamaan yang di dalamnya terdapat perbandingan sudut-sudut trigonometri dengan bentuk x. Solusi persamaan ini ialah untuk mencari semua sudut x sehingga persamaan trigonometri dapat berlaku untuk asal tertentu.

Biasanya persamaan trigonometri diselesaikan dalam derajat 0 hingga 360 atau bisa juga dalam radian 0 hingga 2π.

Selain itu, persamaan trigonometri juga bisa berisi penjumlahan atau selisih sinus dan kosinus. Maka dari itu, untuk mengatasinya kamu bisa mengubah persamaan ini ke dalam persamaan yang memuat perkalian sinus maupun kosinus. Begitupun ketika kamu dihadapkan pada situasi yang sebaliknya.

Oh ya, dalam beberapa kasus persamaan trigonometri terkadang bisa berubah menjadi persamaan kuadrat yang memuat sinus, cosinus, bahkan tangen. Untuk itu, kamu bisa mengatasinya dengan metode dekomposisi.

Seperti persamaan trigonometri dalam bentuk a/cox x + b /sin x = c yang bisa diselesaikan dengan cara berikut ini:

a cos x + b sin x = c

cos x + sin x =

Lalu misalnya tan a = maka:

cos x + tan a sin x =

cos (x – a) = cos a ()

Nah karena tan a = maka:

cos (a) =

Sehingga cos (x – a) = () () =

Fungsi Trigonometri

Perlu kamu ketahui, fungsi trigonometri merupakan fungsi yang memakai trigonometri dan terdiri dari fungsi aljabar serta fungsi trigonometri itu sendiri. Dalam fungsi ini, kamu akan memakai aturan trigonometri seperti sin, cos, dan tan.

Berikut ini fungsi trigonometri yang harus kamu ketahui:

  • Sinus suatu sudut diartikan sebagai perbandingan panjang sisi di depan sudut dengan sisi miringnya yang ditulis sin C =
  • Cosinus sebuah segitiga diartikan menjadi perbandingan panjang sisi yang ada di depan sudut dengan sisi samping sudut yang ditulis tan C =
  • tangen suatu sudut segitiga diartikan menjadi perbandingan panjang sisi yang ada di depan sudut dengan sisi yang ada di samping sudut dan ditulis tan C =
  • Cosecan suatu sudut adalah panjang sisi miring dengan sisi yang ada di depan sudut yang ditulis cosec C =
  • Secan suatu sudut adalah perbandingan panjang sisi miring dan sisi yang ada di samping sudut dan ditulis sec C =
  • Cotangen suatu sudut merupakan perbandingan sisi yang ada di samping sudut dan sisi yang ada di depan sudut yang ditulis cotan C =

Jika bicara tentang matematika memang sangat banyak, mulai dari bentuknya hingga rumus-rumusnya. Nah, bagi kalian yang ingin tahu lebih banyak tentang ilmu matematika, maka bisa mencari tahunya pada buku Ensiklopedia Matematika. 

Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari

Melihat banyaknya rumus dalam trigonometri, wajar jika banyak yang menganggap materi ini hanya teori di atas kertas saja alias tidak bisa digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Namun sebenarnya ada banyak contoh penerapan trigonometri yang bisa kamu temukan secara langsung, misalnya seperti:

  • Mengukur tinggi suatu pohon tanpa memanjatnya terlebih dahulu yaitu dengan memanfaatkan sudut elevasi pandangan mata kamu terhadap pohon yang dihitung tingginya.
  • Mengatur kemiringan jembatan atau jalan agar tidak membahayakan penggunanya
  • Pemain bola bisa menggunakan pengaturan sudut elevasi tendangan agar bola bisa diprediksi masuk ke gawang lawan secara tepat.

Demikian pembahasan tentang pengertian trigonometri hingga rumusnya. Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat sekaligus memudahkan Grameds dalam mengerjakan soal trigonometri.

Jika ingin mencari berbagai macam buku tentang matematika, maka kalian bisa mendapatkannya di gramedia.com. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Gilang Oktaviana

Sumber:
  • https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/trigonometri/
  • https://www.zenius.net/blog/konsep-dan-rumus-trigonometri
  • https://akupintar.id/info-pintar/-/blogs/trigonometri-tabel-nilai-rumus-perbandingan-dan-identitas-trigonometri-2
  • https://www.academia.edu/35179022/Pengertian_Trigonometri
  • https://edumatik.net/definisi-trigonometri/
  • https://www.mapel.id/trigonometri/

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.