Rumus Sin Cos Tan – Apakah Grameds merasa tidak asing dengan istilah “sin-cos-tan” yang merupakan bagian dari ilmu trigonometri? Yap, ilmu trigonometri tidak hanya membahas mengenai konsep dasar dari segitiga saja, tetapi juga dapat berkaitan dengan berbagai ilmu populer, sebut saja ada astronomi, navigasi, hingga geografi.
Lalu, bagaimana sih rumus dari sinus cosinus tangen atau yang kerap disebut dengan sin cos tan ini? Apakah antara sinus, cosinus, dan tangen ini berhubungan satu sama lain? Bagaimana pula konsep dari ilmu trigonometri? Yuk simak ulasan berikut ini supaya Grameds memahami akan hal-hal tersebut!
Daftar Isi
Apa Itu Rumus Sin Cos Tan?
Perhatikan gambar segitiga berikut ini!
Nah, berdasarkan gambar segitiga tersebut, dapat diketahui rumus trigonometri yang tentu saja mencakup sin cos tan, disertai pula dengan cotangen (cot), secan (sec), dan cosecan (cosec).
| Rumus Trigonometri | Keterangan |
| Sin α = b/c | Sisi depan dibagi sisi miring |
| Cos α = a/c | Sisi samping dibagi sisi miring |
| Tan α = b/a | Sisi depan dibagi sisi samping |
| Cot α = a/b | sisi samping dibagi sisi depan (kebalikan dari tangen) |
| Sec α = c/a | Sisi miring dibagi sisi samping (kebalikan dari cos) |
| Cosec α = c/b | Sisi miring dibagi sisi depan (kebalikan dari sin) |
Sinus
Sinus (sin) jika dalam ilmu matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang berada di depan sudut dengan sisi miring. Namun, dengan catatan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudutnya berukuran 90∘.
rumus-matematika.com
Cosinus
Cosinus (Cos) jika dalam ilmu matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring. Namun, dengan catatan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudutnya berukuran 90∘.
rumus-matematika.com
Tangen
Tangen (tan) jika dalam ilmu matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring. Namun, dengan catatan bahwa segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudutnya berukuran 90∘.
Tabel Sin Cos Tan
Rumus 1 Sin Cos Tan
Sinus
- Sin 0° = 0
- Sin 30° = 1/2
- Sin 45° = 1/2 √2
- Sin 60° = 1/2 √3
- Sin 90° = 1
Cos
- Cos 0° = 1
- Cos 30° = 1/2 √3
- Cos 45° = 1/2 √2
- Cos 60° = 1/2
- Cos 90° = 0
Tan
- Tan 0° = 0
- Tan 30° = 1/3 √3
- Tan 45° = 1
- Tan 60° = √3
- Tan 90° = ∞
Rumus 2 Sin Cos Tan (Kuadran)
Kuadran II = (180° – α)
Kuadran III = (180° + α)
Kuadran IV = (360° – α)
Untuk 0° < α < 90°
Contoh soal!
- Sin 150° = Sin (180° – 30°)
= Sin 30° = 1/2
- Cos 120° = Cos (180° – 60°)
= – Cos 60° = -½
- Tan 315° = Tan (360° – 45°)
= – Tan 45° = -1
Konsep Trigonometri
Istilah “trigonometri” ini berasal dari Bahasa Yunani, yakni ‘trigono’ yang berarti segitiga dan ‘metri’ yang berarti ilmu ukur. Jadi, dapat disimpulkan bahwa trigonometri adalah ilmu dalam matematika untuk mengukur segitiga. Dasar dari ilmu trigonometri ini adalah kesebangunan siku-siku.
Bagi beberapa orang, trigonometri memiliki hubungan dengan geometri. Awal keberadaan trigonometri dapat dilihat dari zaman Mesir Kuno, terutama di Babilonia dan peradaban Lembah Indus sejak 3000 tahun yang lalu. Seorang ahli matematika berkebangsaan India, bernama Lagadha menjadi matematikawan yang dikenal telah menggunakan geometri dan trigonometri dalam upaya menghitung astronomi. Hal tersebut terdapat di dalam bukunya Vedanga dan Jyotisha. Dalam ilmu trigonometri terdapat perbandingan trigonometri dan nilai fungsi trigonometri.
a) Perbandingan Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga siku-siku berikut ini!
Berdasarkan gambar segitiga siku-siku tersebut, dapat diuraikan rumus perbandingan trigonometri-nya, yakni:
| Terhadap 0 | Terhadap α |
| Sin 0 = sisi depan/hipotenusa= y/r | Sin α= sisi samping/hipotenusa= x/r |
| Cos 0 = sisi samping/hipotenusa= x/r | Cos α= sisi depan/hipotenusa= y/r |
| Tan 0 = sisi depan/sisi samping= y/x | Tan α= sisi samping/sisi depan= x/y |
| Cot 0 = sisi samping/sisi depan= xy | Cot α= sisi depan/sisi samping= y/x |
Sumber: MATEMATIKA Untuk SMA Jilid 1 Kelas X (B.K. Noormandiri, dkk. (2014). Matematika untuk SMA Jilid 1 Kelas X. Jakarta: ERLANGGA.
Nah, dari rumus tersebut dapat diperoleh hal-hal berikut:
1. Jumlah sudut 0 + α = 90 α = 90° – 0, maka:
- sin α = cos 0 = x/r atau sin 90° – 0 = cos 0
- cos α = sin 0 = y/r atau cos 90° – 0 = sin 0
- tan α = cot 0 = x/y atau tan 90° – 0 = cot 0
- cot α = tan 0 = y/x atau cot 90° – 0 = tan 0
2. sin 0 = y/r atau y = r sin 0
cos 0 = x/r atau x = r cos 0
Dari teorema phytagoras, x² + y² = r², maka
(r cos 0)² + (r sin o)² = r²
r²(cos²0 + sin² 0 = r²
cos²0 = sin²0 = 1
3. tan 0 = sin 0/cos 0 dan cot 0 = cos 0/sin 0
4. cos²0 = sin²0 = 1
⇔ 1 + sin²0/cos²0 = 1/cos²0
⇔ 1 + sin 0/cos 0² = 1/cos 0²
⇔ 1 + tan²0 = sec 0²
⇔ 1 + tan²0 = sec 0² dan cos²0 + sin²0 = 1
⇔ cos²0/sin²0 + 1 = 1/sin²0
⇔ sin 0/cos 0² + 1 = csc 0²
⇔ cot²0 + 1 = csc²0
b) Nilai Fungsi Trigonometri
Berhubung trigonometri ini membahas mengenai segitiga, maka tentunya akan berkaitan dengan sudut istimewa pada bangun datar tersebut. Sudut istimewanya adalah sudut yang memiliki ukuran besar 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°. Untuk menentukan nilai dan fungsi dari trigonometri yang berukuran sudut 30°, 45°, dan 60°, maka kita harus menggunakan konsep geometri.
Rumus-Rumus Sin Cos Tan
Rumus Jumlah Selisih Dua Sudut
1. Rumus Untuk Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos
(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
2. Rumus Untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin
(A – B) = sin A cos B – cos A sin B
3. Rumus Untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus Trigonometri Untuk Sudut Rangkap
1. Dengan Menggunakan Rumus sin (A+B) untuk A=B, maka akan diperoleh:
sin2A= sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Jadi, sin2A =2 sin A cos A
Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Cosinus
1. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus
2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)
2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)
2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)
2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)
Contoh soal!
Tentukan nilai dari 2 cos 75° cos 15°
Jawab!
2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½
2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus
sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)
cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)
cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)
tan A + tan B = 2 sin (A+B)cos(A+B)+ cos (A-B)
tan A – tan B = 2 sin (A-B)cos(A+B) + cos(A-B)
Contoh soal!
Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
Jawab:
sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°
Nah, itulah ulasan mengenai rumus sin cos tan beserta rumus perkalian dan penambahannya. Apakah Grameds telah mengingat tabel sin cos tan tersebut?
Baca Juga!
- Penemu Matematika dan Biografi Lengkapnya
- Pengertian Rasio dan Pemanfaatannya Pada Matematika serta Akuntansi
- Memahami Sifat Asosiaotif Dalam Operasi Hitung Matematika
- Daftar Rumus Matematika yang Paling Sering Dipakai
- Pengertian, Soal dan Pembahasan, serta Sejarah Dari Limit Tak Hingga
- Rumus Keliling Persegi Disertai Soal dan Pembahasannya
- Pengertian, Konsep, dan Sifat Dari Invers Matriks
- Pengertian dan Langkah Menentukan Simetri Putar Aneka Bangun Datar
- Pengertian dan Sifat Perkalian Matriks
- Pengertian Variabel, Konstanta, dan Suku
- Pengertian, Sifat, Fungsi, dan Rumus Logaritma
- Cara Menyelesaikan Persamaan dengan Distributif
