Induksi Matematika: Pengertian, Jenis dan Konsep Dasarnya

Induksi matematika – Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang membantu kehidupan manusia. Ilmu matematika akan membantu seseorang untuk melatih kemampuannya dalam berpikir kreatif, kritis serta mampu menyelesaikan masalah. Hingga kini, materi mengenai matematika terus berkembang.

Salah satunya adalah induksi matematika yang digunakan untuk memasukan data pada suatu program. Contohnya seperti, induksi matematika yang digunakan untuk membuat program komputer serta teknologi ATM.

Menurut buku berjudul Explore Matematika Jilid 2 konsep dari induksi matematika digunakan dalam komputer. Program yang benar akan mengeluarkan hasil yang sesuai.

Apabila program menampilkan pesan error, maka pengguna memasukan data salah. Apa pengertian dari induksi matematika dan bagaimana konsep dasar yang digunakan? Simak penjelasannya dalam artikel berikut ini.

Pengertian Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan metode pembuktian yang digunakan untuk menentukan kebenaran. Metode induksi matematika digunakan dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan yang asli.

Selain itu, induksi matematika juga dapat diartikan sebagai cara pembatalan atau pernyataan matematika. Induksi matematika digunakan rumus sebagai suatu metode pembuktian atas suatu pernyataan.

Metode induksi matematika adalah salah satu kegiatan penalaran deduktif yang memiliki kaitan dengan pembuktian matematika. Dalam ilmu matematika, induksi matematika adalah suatu dasar aksioma bagi beberapa teorema yang melibatkan bilangan asli.

Pembuktian dari suatu pernyataan sistematis dengan induksi matematika dilakukan pada objek matematika yang memiliki sifat diskrit. Contohnya seperti teori bilangan, teori graf dan kombinatorika.

Para matematikawan menggunakan induksi matematika untuk dapat menjelaskan pernyataan matematika yang telah diketahui kebenarannya. Prinsip dari induksi matematis, dapat dijelaskan secara umum dalam dua tahap yaitu langkah awal atau disebut asumsi induktif serta langkah induksi dasar.

Penggunaan induksi matematika, utamanya dilaksanakan pada tiga jenis masalah matematika di antara adalah seri umum, habis dibagi dua dan ketidaksetaraan. Kemampuan untuk pembuktian induksi matematika secara benar, digunakan pada suatu konsep matematika dan ditentukan melalui pemahaman relasional.

 

Sejarah Penggunaan Induksi Matematika

Teorema matematika didasarkan pada sekumpulan definisi serta aksioma. Pembukti dari seluruh jenis teorema dilaksanakan dengan menggunakan aksioma serta definisi atau menggunakan teorema yang telah terbukti kebenarannya.

Teorema dalam ilmu matematika tidak didasarkan pada hasil eksperimen yang tidak dapat dibuktikan kebenarannya. Matematika tidak dapat menerima argumentasi, bahwa suatu pernyataan matematis merupakan benar hanya melalui eksperimen serta observasi.

Pierre de Fermat membuktikan bahwa pada konjektur fermat, persamaan tidak dapat menghasilkan bilangan bulat dengan bentuk positif pada sembarang bilangan bulat dengan nilai lebih dari dua.

Menurut para matematikawan, diperlukan waktu lebih dari tiga abad untuk menemukan pembuktian konjektur Fermat. Di tahun 1994, konjektur Fermat dibuktikan oleh seorang matematikawan berkebangsaan Inggris bernama Andrew Wiles.

Sejarah dari penggunaan induksi matematika dijelaskan oleh Bussey dalam artikelnya yang ditulis pada tahun 1917. Dalam artikel tersebut, ia menjelaskan bahwa proses induksi matematika telah digunakan pertama kali oleh D. Franciscus Maurolicus (1494-1575).

Maurolicus adalah seorang matematikawan berkebangsaan Italia dan kenalan dari Blaise Pascal. Penggunaan induksi matematika digunakan oleh Maurolicus dalam bukunya yang terbit di tahun 1575.

Pada saat itu, Maurolicus menggunakan metode induksi matematika untuk membuktikan bahwa bilangan ganjil terbentuk dengan cara berturut-turut menambahkan dua pada bilangan ganjil pertama yaitu 1.

Pembuktian lain yang berhasil diperoleh Maurolicus dengan induksi adalah jumlah n dan bilangan ganjil pertama merupakan kuadrat n. Pembuktian matematika yang dilakukan oleh Pascal atau Maurolicus tidak pernah menggunakan istilah induksi.

Istilah induksi baru pertama kali digunakan pada tahun 1956 oleh John Wallis. Dalam bukunya yang berjudul Arithmetica Infinitorum, Wallis menggunakan istilah per modum inductions.

Kemudian pada tahun 1838, Agustus de Morgan memperkenalkan istilah induksi matematika pada publik dengan menulis artikel berjudul Induction untuk jurnal Penny Cyclopedia.

Di tahun 1889, Giuseppe Peano merumuskan prinsip induksi matematika dalam lima aksioma. Dalam kelima aksioma tersebut, disajikan definisi lengkap mengenai bilangan asli. Kelima aksioma tersebut adalah sebagai berikut:

1. 1 adalah bilangan asli
2. Ada satu bilangan turutan yang memiliki sifat unik dan bentuk bilangan asli pada setiap bilangan asli.
3. Bilangan turutan yang sama mustahil ditemukan di dua bilangan asli yang berbeda-beda.
4. 1 bukanlah bilangan turutan dari seberang bilangan asli.
5. Sifat yang dimiliki oleh bilangan 1 serta turutan semua adalah bilangan asli, pasti dimiliki juga oleh seluruh bilangan asli.

Jenis-Jenis Induksi Matematika

Ada berbagai macam permasalahan matematis yang dapat diselesaikan dengan menggunakan metode induksi matematika. Oleh sebab itulah, metode induksi matematika dibedakan menjadi tiga jenis di antara adalah deret, pembagian dan pertidaksamaan. Berikut penjelasannya.

1. Deret 

Pada jenis deret, pada umumnya persoalan induksi matematika ditemui dalam bentuk penjumlahan yang beruntun. Sehingga pada persoalan deret harus dibuktikan kebenarannya pada suku pertama, suku ke k serta terakhir suku ke (k+1).

Pada jenis deret, ada beberapa hal yang perlu Grameds perhatikan dengan saksama. Antara lain adalah sebagai berikut:

Apabila

Contohnya adalah berikut:

Buktikan bahwa  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing dari  n bilangan asli.

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa P(n) benar untuk masing-masing n bilangan asli.

2. Pembagian 

Jenis induksi matematika pembagian dapat dijumpai pada berbagai macam soal yang menggunakan kalimat berikut ini:

• A habis dibagi dengan B
• B faktor dari A
• B membagi A
• A adalah kelipatan dari B

Keempat ciri tersebut, menjadi petunjuk bahwa pernyataan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan induksi matematika jenis pembagian. Hal-hal yang perlu diingat ialah apabila bilangan A habis dibagi dengan B, maka A=B.M dengan M adalah bilangan bulat.

Maka, jika p habis dibagi a serta q habis dibagi a, sehingga (p + q) juga akan habis dibagi a.

Contohnya adalah , 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6)  pun akan habis dibagi dengan bilangan 2

 

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, maka terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat b apabila dijumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.

Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Oleh sebab itu, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat  dituliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

3. Pertidaksamaan 

Jenis pertidaksamaan ditandai dengan tanda lebih dari atau kurang dari yang ada pada pernyataannya. Ada sifat-sifat yang seringkali digunakan untuk menyelesaikan induksi matematika jenis pertidaksamaan. Sifat tersebut adalah sebagai berikut:

a > b > c  ⇒  a > c  atau a < b < c  ⇒  a < c

a < b dan c > 0  ⇒  ac < bc  atau a > b dan c > 0  ⇒  ac > bc

a < b  ⇒  a + c < b + c  atau a > b  ⇒  a + c > b + c

Konsep Dasar Induksi Matematika

Konsep dasar dari induksi matematika dapat dimisalkan ketika ada seseorang meletakan domino yang berderet sangat panjang. Ketika ada orang yang menjatuhkan domino pertama ke arah domino kedua, maka domino ketiga, keempat maupun kelima dan seterusnya akan ikut jatuh.

Konsep dasar dari induksi matematika tersebut sederhana seperti efek domino. Dalam konteks induksi matematika, ketika seseorang hendak membuktikan atau menguji suatu rumus, maka ia harus memastikan bahwa rumus tersebut benar untuk seluruh bilangan, dalam hal ini yang dimaksud adalah bilangan asli.

Contohnya apabila ada satu deret bilangan asli 1,2,3,4,5,…, n. Maka jumlah deret bilangan (Sn) untuk n = 3 adalah 1+2+3 = 6. Jika n= 4, S4 = 1+2+3+4 = 10. Apabila n = 5, S5 = 15.

Dari pola tersebut, jika dijumlahkan seluruh bilangan tersebut mulai dari 1 hingga n, maka akan diperoleh rumus berikut ini:

Akan tetapi, masalahnya adalah apakah rumus tersebut berlaku secara universal dan berlaku untuk semua kasus atau hanya pada kasus tertentu saja? Oleh karena itu, untuk membuktikan bahwa rumus tersebut, Grameds bisa menggunakan prinsip efek domino.

Jika domino pertama jatuh, maka domino kedua pun harus jatuh dan domino ketiga pun harus ikut jatuh. Begitu pula dengan domino keempat dan seterusnya. Dari prinsip tersebut, maka dapat dibahasakan secara sistematis dengan dua langkah berikut ini:

Basic step: untuk n = 1, rumus S1 adalah benar.

Inductive Step: jika rumus tersebut benar untuk n = k, maka rumus tersebut juga benar untuk n = k+1, dengan k ≥ 1

Dengan mengacu pada efek domino secara matematis, maka Grameds perlu memasukan n = 1 pada rumus Sn. maka hasilnya adalah berikut ini:

Maka, untuk n = 1, rumus di atas adalah benar. Langkah selanjutnya Grameds perlu menguji dengan memasukan n = k dalam rumus Sn sehingga akan diperoleh rumus di bawah ini:

Sementara itu, untuk inductive step, apabila rumus tersebut benar untuk n = k, maka ia pun harus dibenarkan untuk n = k+1. Lalu Grameds dapat memasukan n = k + 1 ke dalam rumus tersebut dan akan didapatkan rumus berikut:

Lalu, Grameds bisa memperhatikan, jumlah deret di bawah ini.

Kemudian Grameds bisa mengelompokan kembali Sk+1 menjadi berikut ini:

Sk+1 = [1 + 2 + 3 + . . . + k] + (k + 1)

[1 + 2 + 3 + . . . + k] itu sama seperti Sk, sementara itu Sk = (k(k+1))/2. Kemudian Grameds bisa mencoba memasukkan nilai Sk ke dalam Sk+1 dengan deretnya yang telah dikelompokkan ulang, maka bentuk rumusnya menjadi berikut ini.

Sk+1 = Sk + (k + 1)

Jadi, rumus penjumlahan deret Sn di atas benar untuk n = k+1.

Perlu diketahui bahwa basic step adalah bagian paling dasar dalam pembuktian induksi atau induksi matematika. Tanpa adanya basic step, pembuktian dengan menggunakan cara induksi tidak akan menjadi sempurna.

Pernyataan inductive step memiliki fungsi untuk memastikan bahwa bilangan asli apa saja, setelah n = 1 dapat berlaku untuk rumus maupun pernyataan matematis yang akan dibuktikan oleh seseorang. Terlebih lagi apabila Grameds ingin memastikan bahwa suatu rumus atau pernyataan matematis itu berlaku secara universal.

Kemudian, untuk inductive step, bagaimana cara Grameds bisa mengetahui bahwa suatu rumus P(n) dengan n = k, rumus tersebut berlaku untuk n = k +1. Pada pembuktian inductive step, Grameds dapat memunculkan  Sk+1 yang sama seperti Sk ditambah dengan (k + 1), Sk+1 = Sk + (k + 1). Berangkat dari pernyataan matematis tersebut, maka Grameds telah membuktikan bahwa Sn itu benar untuk n = k + 1.

Itulah penjelasan tentang induksi matematika, pengertian, sejarah, konsep dasar dan jenis-jenisnya. Perlu dijadikan catatan, bahwa induksi matematika hanya digunakan untuk membukti kebenaran atas suatu pernyataan atau rumus tertentu dan bukannya untuk menurunkan rumus.

Lebih tegasnya, induksi matematika tidak dapat digunakan untuk menurunkan atau menemukan suatu rumus. Lalu, cara paling mudah untuk memahami prinsip kerja induksi matematika adalah dengan mengamati efek domino sebagai konsep dasar dari induksi matematika.

Semoga semua pembahasan di atas bermanfaat untuk kamu. Grameds bisa mempelajari ilmu matematika dan rumus matematika lainnya dengan membaca buku.

Sebagai #SahabatTanpaBatas, gramedia.com menyediakan berbagai macam buku berkualitas dan original, termasuk buku tentang rumus matematika. Jadi tunggu apa lagi? Segera beli bukunya sekarang juga!

Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Khansa

https://www.gramedia.com/products/pengantar-analisis-matematika?queryID=7971e78c2201ec340a5a0783e469f91d 

https://www.gramedia.com/products/matematika-diskrit-dan-aplikasinya?queryID=7971e78c2201ec340a5a0783e469f91d

https://www.gramedia.com/products/matematika-diskrit-dan-aplikasinya-pada-ilmu-komputer200153?queryID=7971e78c2201ec340a5a0783e469f91d

Baca juga: