Rumus Barisan Geometri Lengkap dengan Contoh Soalnya

Rumus barisan geometri – Sekitar 2400 tahun yang lalu, pada zaman Yunani kuno, seorang ahli filsafat bernama Zeno menarik perhatian banyak orang setelah mengatakan bahwa ada suatu krisis di dalam ilmu matematika. Saat itu Zeno mengatakan:

“Kalau Achilles balap lari dengan kura-kura, lalu karena kura-kura lebih lambat dari Achilles dia diijinkan mulai lebih dulu. Achilles baru akan mulai setelah si kura-kura sudah maju sekitar 100 meter di depannya.

Ketika Achilles sudah berlari dan mencapai jarak 100 meter, ternyata kura-kura sudah berada di jarak 110 meter. Begitu seterusnya sampai garis finish. Artinya, secepat apapun Achilles berlari, dia tidak akan pernah bisa menyusul kura-kura–selambat apapun dia melangkah.”

Krisis ini kemudian dikenal dengan nama Paradoks Zeno. Kurang lebih begini gambaran singkatnya:

Permasalahan tentang Paradoks Zeno ini baru bisa diatasi setelah barisan–terutama barisan tak hingga–ditemukan. Saat ini, kita mempelajari persoalan barisan dalam pelajaran Matematika sejak SD hingga SMA.

Rumus Barisan Geometri

Barisan-barisan yang kita pelajari di sekolah sebenarnya sangat sering muncul di dalam kehidupan sehari-hari. Seperti misalnya saat mencari rumah bernomor 12, mungkin kamu akan beranggapan rumah tersebut berada di sisi lain jalan setelah memperhatikan pola nomor rumah yang sudah kamu temukan.

Selain itu, persoalan bilangan juga sering dipakai dalam tes psikologi, tes IQ, Tes Kemampuan Umum (TKU), atau Tes Potensi Akademik. Di TKU misalnya, kadang ada soal yang meminta kita untuk menentukan dua suku berikutnya serta memberikan suatu aturan yang bisa dipakai untuk menyusun dari setiap barisan bilangan yang ada. Seperti 1, 3, 5, 7, … atau 1, 2, 6, 24, 120, …

Dalam matematika, barisan ini dikenal dengan nama Barisan Geometri atau pola dengan pengali atau rasio yang tetap untuk setiap 2 suku yang berdekatan. Rasio dalam barisan geometri biasanya disimbolkan dengan huruf r.

Misalnya begini, kamu punya barisan angka seperti ini:

1, 3, 9, 27, …

1, 2, 4, 8

Dari barisan angka yang pertama, kamu bisa melihat pengali yang tetap antara suku pertama dengan suku kedua, lalu suku kedua dengan suku ketiga, dan seterusnya. Pengali tersebut adalah 3.

Sementara di barisan yang kedua ternyata tiap suku didapatkan dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 2. Jika setiap suku dibagi dengan suku sebelumnya, hasilnya tetap sama, yaitu 2.

Dari penjelasan singkat ini, bisa disimpulkan bahwa sebuah barisan bisa disebut sebagai barisan geometri ketika hasil bagi setiap suku dengan suku sebelumnya selalu tetap. Nah, hasil bagi yang tetap inilah yang disebut rasio (r). Seperti yang terdapat dalam buku dalam Ensiklopedia Matematika Volume 3: Aljabar, Geometri & Trigonometri yang ditulis oleh Patricia Barnes-svarney & Thomas E Svarney.

Saat mempelajari barisan geometri dalam Matematika, kita akan bertemu dengan rumus yang bernama Rumus Barisan Geometri yang jumlahnya ada 3, yaitu rumus rasio, rumus Un dan rumus sisipan.

Rumus rasio pada barisan geometri

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya, rasio merupakan perbandingan antara dua suku yang berurutan di dalam barisan geometri. Nah, untuk menentukan besaran rasio ini, kita bisa menggunakan rumus:

Keterangan:

• r = rasio;
• Un = suku ke-n;
• Un-1= suku sebelum suku ke-n; dan
• n = banyaknya suku.

Misalnya anggaplah kita punya sebuah barisan bilangan 2, 6, 18, 54. 

Untuk menghitung rasionya, bisa menggunakan cara seperti ini:

Jadi, rasio atau perbandingan antara dua suku di barisan geometri di atas adalah 3.

Rumus Suku ke-n pada barisan geometri

Dalam barisan geometri, suku ke-n akan bisa kamu temukan selama nilai n nya belum terlalu besar. Akan tetapi jika nilai n nya cukup besar, suku ke-n nya akan sulit dihitung. Untuk mengetahui suku ke-n pada barisan geometri kamu bisa menggunakan rumus:

Jika jumlah suku (n) nya ganjil, maka suku tengah (Ut) dalam barisan geometri tersebut bisa dihitung dengan menggunakan rumus:

Sedangkan jika di antara dua buah suku U1, U2, U3 , …., dan Un disisipkan ke sebuah bilangan sehingga menjadi bilangan geometri yang baru, maka rasio serta banyak suku dari barisan yang baru ini akan berubah sesuai dengan rumus berikut ini:

Keterangan:

• r’= rasio barisan geometri baru;
• r= rasio barisan geometri lama;
• k= banyak suku yang disisipkan;
• n’= banyak suku barisan geometri baru; dan
• n= banyak suku barisan geometri lama.

Perlu Grameds ingat bahwa suku pertama yang ada di barisan geometri baru tersebut akan sama dengan yang suku pertama yang ada di barisan lama. Biar lebih mudah memahaminya, coba tengok barisan geometri di bawah ini:

1, 3, 9, 27, 81, ….

Anggaplah kita akan mencoba mencari nilai Un nya dengan n yang ingin dicari adalah 6, maka kita bisa menghitungnya dengan cara:

Rumus sisipan pada barisan geometri

Untuk memahami rumus sisipan pada barisan geometri, perhatikan baik-baik penjelasan di bawah ini.

Anggaplah Grameds bertemu dengan barisan geometri yang memiliki rasio r. Lalu barisan geometri tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Nah, setelah disisipi oleh k bilangan, ternyata muncul barisan geometri baru dengan rasio k’.

Untuk mengetahui besaran rasio di barisan geometri yang baru ini, Grameds bisa menggunakan rumus:

Kamu bisa menemukan penjelasan rumus barisan geometri yang lebih lengkap di dalam buku Super Complete Rumus Matematika SMA 10,11,12 yang disusun oleh Tim Guru Inspiratif.

Buku ini adalah solusi ketika kamu kesulitan dalam proses pembelajaran dan sebagai bahan review untuk persiapan menghadapi berbagai ujian, baik itu Penilaian Harian, Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS), Ujian Sekolah, Asesmen Kompetensi Minimum (AKM), serta SNMPTN, SBMPTN, dan Ujian Masuk Perguruan Tinggi lainnya.

Rumus Deret Geometri

Alkisah ada seorang hamba yang memohon kepada rajanya agar diberi beras dengan cara meletakkan 1 butir beras pada kotak pertama papan catur, lalu 2 butir di kotak kedua, 4 butir di kotak yang ketiga, dan seterusnya.

Pokoknya, setiap kotak selanjutnya harus diisi dengan beras yang jumlahnya dua kali lebih banyak (kuadrat) dari beras di kotak sebelumnya. Apa yang terjadi? Ternyata jumlah seluruh beras yang ada di negeri tempat raja tersebut memimpin tidak cukup untuk memenuhi permohonan si hamba.

Cerita ini menggambarkan tentang materi Deret Geometri dalam Matematika yang seringkali dipelajari berbarengan dengan Barisan Geometri.

Kalau barisan geometri adalah pola bilangan dengan pengali yang tetap, maka deret geometri adalah penjumlahan dari setiap suku yang ada di barisan geometri. Singkatnya, deret geometri merupakan penjumlahan beruntun dari suku-suku pada barisan geometri.

Misalnya barisan geometri 3, 6, 12, 24, …, 192, bisa dibentuk menjadi deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + … + 192.

Rumus jumlah n suku pertama pada deret geometri

Dalam deret geometri, kamu bisa menghitung jumlah n suku pertama dengan cara

U1 + U2 + U3 + … Un-2 + Un-1 + Un.

Untuk menentukannya, kamu bisa menggunakan rumus:

Contohnya kamu diminta untuk menghitung jumlah enam suku pertama dari deret geometri seperti ini: 27 + 9 + 3 + …

Untuk menyelesaikannya, kamu bisa menggunakan cara:

Jadi jumlah enam suku pertamanya adalah 404/9

Deret Geometri Tak Hingga

Deret geometri tak hingga mempunyai 2 jenis, yaitu divergen dan konvergen. Masing-masing punya ciri khas yang membedakan antara satu sama lain yang penting untuk kamu ketahui.

Deret geometri tak hingga divergen

Jenis yang pertama ini merupakan deret dengan nilai bilangan yang semakin membesar dan tidak dapat dihitung jumlahnya. Misalnya seperti 1 + 3 + 9 + 27 +  …..

Pola bilangan seperti ini tidak bisa dihitung jumlah keseluruhannya karena nilai setiap suku semakin membesar. Seperti yang dijelaskan oleh Wono Setyo Budhi dalam bukunya yang berjudul Geometri Langkah Awal Menuju Olimpiade Matematika.

Deret geometri tak hingga konvergen

Jenis yang kedua adalah deret geometri yang bilangannya semakin mengecil dan bisa dihitung jumlahnya. Misalnya seperti 4 + -2 + 1 + -½ + ¼ + ….

Pola bilangan di atas semakin lama nilainya akan semakin mengecil dan pada ujungnya akan semakin dekat ke angka 0. Karena itu deret geometri tak hingga konvergen masih bisa dihitung jumlah keseluruhannya

Rumus S∞ pada Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Selanjutnya ada rumus S∞ pada deret geometri tak hingga konvergen, namun sebelum membahas rumusnya, ada satu hal penting yang harus kamu ingat.

Menurut ilmu matematika, ketika kamu bertemu dengan sebuah deret geometri tak hingga konvergen, ada syarat yang per dipenuhi lebih dulu sebelum menghitung jumlah tak hingga, yaitu rasio atau r nya harus memiliki nilai antara -1 hingga 1 (-1>r>1).

Misalnya seperti deret geometri tak hingga konvergen 4 + 2 + 1 + -½ + ¼ + …. di atas, memiliki deret rasio -½ agar kamu bisa menghitung jumlah tak hingganya.

Nah setelah syarat utamanya terpenuhi, kamu sudah bisa menghitung S∞ atau jumlah tak hingga dari sebuah deret geometri. Rumusnya adalah:

Keterangan:

• a: suku pertama
• r: rasio dengan syarat -1<r<1

Misalnya dari deret geometri tak hingga konvergen di atas, kamu bisa mencari jumlah tak hingga dengan cara di bawah ini:

Artinya, S∞ dari deret tadi adalah 8/3

Contoh lainnya, anggaplah kamu menjatuhkan sebuah bola dari ketinggian 1 meter. Setiap kali jatuh mengenai lantai, bola tersebut terpantul dengan ketinggian mencapai ¾ dari tinggi sebelumnya. Dengan informasi ini, kamu bisa mengetahui berapa panjang seluruh jalan yang dilalui bola tersebut sampai berhenti sepenuhnya, caranya:

Jadi panjang seluruh jalan yang sudah dilalui bola yang kamu lemparkan sampai dengan berhenti sepenuhnya adalah 7 meter.

Contoh lainnya seperti ini:

Kamu menjatuhkan bola tenis dari ketinggian 1 meter, setiap kali pantulan bola mencapai ketinggian hingga ⅚ dari ketinggian sebelumnya. Untuk menghitung panjang lintasan yang ditempuh bola tenis ini hingga berhenti kamu bisa menggunakan model penyelesaian:

Untuk lintasan turun:

Untuk lintasan naik

Jadi, panjang lintasan yang ditempuh bola itu sampai berhenti adalah 11 meter.

Rumus deret geometri lainnya

Selain rumus geometri yang sudah disebutkan di atas, masih ada beberapa rumus umum yang biasa ditemukan dalam deret geometri, yaitu:

Cara Menyelesaikan Masalah Deret dan Barisan Geometri dalam Kehidupan Sehari-Hari

Masalah soal deret dan barisan geometri ternyata sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Namun kadang kita tak menyadarinya, kalau pun sadar, kita mungkin tidak tahu cara menyelesaikannya. Jika nanti kamu bertemu dengan salah satunya, coba lakukan cara di bawah ini untuk menyelesaikan permasalahan tersebut.

Pertama, kamu harus yakin bahwa masalah yang dihadapi bisa diselesaikan dengan model matematika deret atau barisan geometri. Setelah benar-benar yakin, kamu bisa mulai menyelesaikannya dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Ubah besaran yang ada di dalam masalah menjadi variabel di dalam deret atau barisan geometri. Gunakan huruf-huruf alfabet untuk membedakanya, misalnya a untuk suku pertama, b untuk beda, dan r untuk rasio.
2. Setelah itu, siapkan rumus deret atau barisan geometri yang menjadi model matematika dari masalah tersebut
3. Lalu tentukan penyelesaiannya
4. Tafsirkan hasil penyelesaian yang kamu dapatkan ke dalam masalah yang sedang dihadapi.

Penerapan Barisan Geometri Dalam Kehidupan Sehari-Hari

Prinsip bunga majemuk (Compound Interest) dalam perbankan 

Ketika kamu menyimpan modal di bank dalam beberapa kali periode bunga dengan besaran tertentu, kamu akan mengalami proses bunga dari modal awal dengan bunga yang tidak diambil.

Dengan kata lain, modal awal tadi dibungakan lagi di periode berikutnya. Inilah yang disebut sebagai bunga majemuk (compound interest) atau bunga yang berbunga. Untuk menghitung besaran modal dan bunga setelah periode n kamu bisa menggunakan rumus berikut ini:

Misalnya modal awal yang kamu simpan adalah M0 dengan suku bunga (b) = x% per periode. Perhitungan besaran modal per akhir periode adalah:

Contoh:

Kamu mendepositokan uang sebesar Rp400.000.000 dengan suku bunga majemuk 20% per tahun nya. Kamu ingin agar nilai akhir uang yang kamu depositokan menjadi dua kali lipat dari nilai awalnya. Berapa lama kira-kira uang tersebut harus kamu depositokan?

Penyelesaian:

M0 = 4 x 108

Mn = 2 x M0 = 2 x 4 x 108 = 8 x 108

b = 20% per tahun

Ditanya : n?

Berdasarkan formula Mn = (1+b)n .M0 diperoleh:

Jadi agar nominal uang nya menjadi dua kali lipat dari modal awal kamu harus mendepositokannya selama 4 tahun.

Contoh Soal Barisan Dan Deret Geometri

Soal 1

Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54. Suku ke-4 barisan geometri tersebut adalah….

1. 9
2. 18
3. 24
4. 27
5. 36

Penyelesaian:

Jadi jawabannya adalah B. 18

Soal 2

Jika a, b, c, d, e membentuk barisan geometri dan a x b x c x d x e = 128, maka di antara kelima suku barisan itu yang dapat ditentukan nilainya adalah suku ke…

1. Pertama
2. Kedua
3. Ketiga
4. Keempat
5. Kelima

Penyelesaian:

Jadi yang bisa ditentukan nilainya adalah suku ketiga (C).

Soal 3

Jika a adalah suku pertama, r adalah rasio, dan Sn = 5n+2 – 25 adalah jumlah n suku pertama deret geometri, maka nilai a + r adalah…

1. 95
2. 105
3. 125
4. 225
5. 500

Penyelesaian:

Jadi jawaban yang benar adalah B. 105

Soal 4

Bakteri jenis A berkembang biak menjadi dua kali lipat setiap lima menit, pada waktu lima belas menit pertama banyaknya bakteri ada 400. Banyak bakteri pada waktu tiga puluh menit pertama adalah…

1. 640 bakteri
2. 3.200 bakteri
3. 6.400 bakteri
4. 12.800 bakteri
5. 32.000 bakteri

Penyelesaian: 

Soal 5

Seseorang berjalan dengan kecepatan 12 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua kecepatannya berkurang menjadi sepertiganya, demikian juga pada jam berikutnya kecepatannya menjadi sepertiga dari sebelumnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang itu selama perjalanan adalah…

1. Tak terhingga
2. 36 km
3. 32 km
4. 26 km
5. 18 km

Penyelesaian:

• Kecepatan jam pertama = 12 km/jam
• kecepatan jam kedua = 4 km/jam
• dan seterusnya -> a = 12 dan r = ⅓
• Jarak terjauh yang dapat ditempuh selama perjalanan adalah:

Semua contoh soal ini diambil dari buku SMA Kl. 1,2,3 New Edition Big Book Matematika yang disusun oleh Tim Bbm. Kamu bisa menemukan banyak sekali contoh soal matematika lainnya di sini, lengkap dengan ringkasan materi, pembahasan, serta evaluasinya.

Demikian pembahasan tentang rumus barisan geometri dan juga rumus deret geometri. Semoga semua pembahasan di atas memudahkan Grameds dalam menghitung barisan geometri.

Jika ingin memperdalam ilmu matematika, melalui buku, maka kamu bisa mendapatkannya di gramedia.com. Membaca banyak buku dan artikel tidak akan pernah merugikan kalian, karena Grameds akan mendapatkan informasi dan pengetahuan #LebihDenganMembaca.

Penulis: Gilang Oktaviana Putra

Baca juga: