Matematika

Contoh Barisan dan Deret Aritmetika: Pengertian dan Contoh Soalnya

Contoh Soal Eksponen
Written by Hendrik Nuryanto

Contoh Barisan dan Deret Aritmetika – Dalam matematika, terdapat istilah barisan dan deret yang bisa ditemui ketika mempelajari materi aritmetika. Barisan dan deret ini tidak bisa dipisahkan karena memiliki keterkaitan satu sama lainnya. Sederhananya, barisan artimetika adalah bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Sementara itu, deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika.

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah bilangan tetap. Misalnya:

 , , , , , , … 

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut:

a, a + b, a + 2b, a + 3b

Untuk mengenal lebih jauh tentang barisan dan deret aritmetika, simak informasinya melalui artikel yang ada di bawah ini.

Pengertian Aritmetika

Tabel aritmetika untuk anak-anak, Lausanne, 1835 (Rama/ Creative Commons Attribution-Share Alike 2.0 France).

Aritmetika (kadang salah dieja sebagai aritmatika, berasal dari bahasa Yunani αριθμόςarithmos = angka) atau dulu disebut ilmu hitung merupakan cabang (atau pendahulu) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Oleh orang awam, kata “aritmetika” sering dianggap sebagai sinonim dari teori bilangan. Silakan lihat angka untuk mengetahui lebih dalam tentang teori bilangan.

Prasejarah aritmetika terbatas pada sejumlah kecil artefak, yang dapat menunjukkan konsep penjumlahan dan pengurangan, yang paling terkenal adalah tulang Ishango dari Afrika Tengah, berasal dari suatu tempat antara 20.000 dan 18,000 SM, meskipun interpretasinya diperdebatkan.

Catatan tertulis paling awal menunjukkan Mesir dan Babilonia menggunakan semua operasi aritmetika dasar sejak 2000 SM. Artefak ini tidak selalu mengungkapkan proses spesifik yang digunakan untuk memecahkan masalah, tetapi karakteristik sistem angka tertentu sangat memengaruhi kompleksitas metode. Sistem hieroglif untuk angka Mesir, seperti kemudian angka Romawi, diturunkan dari tanda penghitungan yang digunakan untuk menghitung.

Dalam kedua kasus, asal ini menghasilkan nilai yang menggunakan basis desimal, tetapi tidak menyertakan notasi posisi. Perhitungan kompleks dengan angka Romawi membutuhkan bantuan dari papan hitung (atau swipoa Romawi) untuk mendapatkan hasil.

Sistem bilangan awal yang menyertakan notasi posisi bukanlah desimal, termasuk sexagesimal (basis 60) sistem untuk angka Babilonia, dan sistem vigesimal (basis 20) yang menentukan angka Maya. Karena konsep nilai tempat ini, kemampuan untuk menggunakan kembali angka yang sama untuk nilai yang berbeda berkontribusi pada metode penghitungan yang lebih sederhana dan lebih efisien.

Perkembangan historis yang berkelanjutan dari aritmetika modern dimulai dengan peradaban Helenistik dari Yunani kuno, meskipun berasal lebih lama dari contoh Babilonia dan Mesir. Sebelum karya Euklides sekitar 300 SM, studi Yunani dalam matematika tumpang tindih dengan keyakinan filosofis dan mistik. Misalnya, Nicomachus meringkas sudut pandang dari pendekatan Pythagoras sebelumnya terhadap angka, dan hubungannya satu sama lain, dalam Pengantar Aritmetika.

Angka Yunani digunakan oleh Archimedes, Diophantus, dan lainnya dalam notasi posisi yang tidak jauh berbeda dari notasi modern. Orang Yunani kuno tidak memiliki simbol nol sampai periode Helenistik, dan mereka menggunakan tiga set simbol terpisah sebagai digit: satu set untuk tempat satuan, satu untuk tempat puluhan, dan satu untuk ratusan.

Untuk tempat ribuan, mereka akan menggunakan kembali simbol untuk tempat satuan, dan seterusnya. Algoritma penjumlahan mereka identik dengan metode modern, dan algoritma perkaliannya hanya sedikit berbeda. Algoritme pembagian panjangnya sama, dan algoritme akar kuadrat digit demi digit, populer digunakan baru-baru ini pada abad ke-20, dikenal oleh Archimedes (yang mungkin telah menemukannya).

Dia lebih memilihnya daripada Metode Heron dari perkiraan berturut-turut karena, setelah dihitung, sebuah digit tidak berubah, dan akar kuadrat dari kuadrat sempurna, seperti 7485692. Untuk bilangan dengan bagian pecahan, seperti 546,934, mereka menggunakan pangkat negatif 60 bukan pangkat negatif 10 untuk bagian pecahan 0,934.

Orang Cina kuno memiliki studi aritmetika lanjutan yang berasal dari Dinasti Shang dan berlanjut hingga Dinasti Tang, dari angka dasar hingga aljabar lanjutan. The orang Cina kuno menggunakan notasi posisi yang mirip dengan orang Yunani. Karena mereka juga kekurangan simbol untuk nol, mereka memiliki satu set simbol untuk tempat satuan, dan set kedua untuk puluhan.

Untuk tempat ratusan, mereka kemudian menggunakan kembali simbol untuk tempat satuan, dan seterusnya. Simbol mereka didasarkan pada batang penghitung kuno. Waktu pasti ketika orang Tionghoa mulai menghitung dengan representasi posisi tidak diketahui, meskipun diketahui bahwa adopsi dimulai sebelum 400 SM. Orang Cina kuno adalah orang pertama yang menemukan, memahami, dan menerapkan angka negatif secara bermakna. Ini dijelaskan di Sembilan Bab tentang Seni Matematika (Jiuzhang Suanshu), yang ditulis oleh Liu Hui berasal dari abad ke-2 SM.

Perkembangan bertahap dari sistem angka Hindu-Arab secara independen menciptakan konsep nilai tempat dan notasi posisi, yang menggabungkan metode sederhana untuk komputasi dengan basis desimal, dan penggunaan digit yang mewakili 0. Hal ini memungkinkan sistem untuk secara konsisten mewakili bilangan bulat besar dan kecil, sebuah pendekatan yang pada akhirnya menggantikan semua sistem lainnya.

Pada awal abad ke-6 Masehi, matematikawan asal India Aryabhata memasukkan versi yang ada dari sistem ini dalam karyanya, dan bereksperimen dengan notasi yang berbeda. Pada abad ke-7, Brahmagupta menetapkan penggunaan 0 sebagai bilangan terpisah, dan menentukan hasil perkalian, pembagian, penambahan dan pengurangan nol dan semua bilangan lainnya — kecuali untuk hasil pembagian dengan nol. Sesamannya, uskup Siria Severus Sebokht (650 M) berkata, “Orang India memiliki metode perhitungan yang tidak dapat dipuji oleh satu kata pun. Sistem matematika rasional mereka, atau metode perhitungan mereka. Maksud saya sistemnya menggunakan sembilan simbol”. Orang Arab juga mempelajari metode baru ini dan menyebutnya hesab.

Leibniz’s Stepped Reckoner adalah kalkulator pertama yang bisa melakukan keempat operasi aritmetika (J.A.V. Turck/Public domain USA).

Meskipun Codex Vigilanus menggambarkan bentuk awal angka Arab (menghilangkan 0) pada 976 M, Leonardo dari Pisa (Fibonacci) bertanggung jawab terutama untuk menyebarkan penggunaannya ke seluruh Eropa setelah penerbitan bukunya Liber Abaci pada 1202. Dia menulis, “Metode orang India (Latin Modus Indoram) melampaui metode komputasi apa pun yang diketahui. Itu metode yang luar biasa. Mereka melakukan komputasi menggunakan sembilan angka dan simbol nol”.

 

Pada Abad Pertengahan, aritmetika adalah salah satu dari tujuh seni liberal yang diajarkan di universitas. Berkembangnya aljabar di dunia abad pertengahan Islam, dan juga di Renaisans Eropa, adalah hasil dari penyederhanaan komputasi melalui desimal.

Berbagai jenis alat telah ditemukan dan digunakan secara luas untuk membantu dalam perhitungan numerik. Sebelum Renaisans, mereka adalah berbagai jenis abaci. Contoh yang lebih baru termasuk aturan geser s, nomogram dan kalkulator mekanis, seperti kalkulator Pascal. Saat ini, mereka telah digantikan oleh kalkulator dan komputer elektronik.

Operasi dalam Aritmetika

Operasi aritmetika dasar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian, meskipun mata pelajaran ini juga mencakup operasi yang lebih maju, seperti manipulasi persentase, akar kuadrat s, eksponen, fungsi logaritmik, dan bahkan fungsi trigonometri, dalam nada yang sama seperti logaritma (prosthaphaeresis). Ekspresi aritmetika harus dievaluasi sesuai dengan urutan operasi yang dimaksudkan.

Ada beberapa metode untuk menentukan ini, baik yang paling umum, bersama dengan notasi infix, secara eksplisit menggunakan tanda kurung dan bergantung pada urutan operasi aturan prioritas, atau menggunakan notasi awalan atau postfix, yang secara unik memperbaiki urutan eksekusi sendiri. Kumpulan objek apa pun di mana keempat operasi aritmetika (kecuali pembagian dengan nol) dapat dilakukan, dan di mana keempat operasi ini mematuhi hukum biasa (termasuk distribusi), disebut bidang.

1. Teorema Dasar Aritmetika

Teorema dasar aritmetika menyatakan bahwa bilangan bulat apa pun yang lebih besar dari 1 memiliki faktorisasi prima unik (representasi bilangan sebagai hasil kali faktor prima), tidak termasuk urutan faktor. Misalnya, angka 252 hanya memiliki satu faktorisasi prima, yaitu:

252 = 22 × 32 × 71

Elemen Euklides sendiri pertama kali memperkenalkan teorema ini dan memberikan bukti parsial (yang disebut dengan lemma Euklides). Teorema dasar aritmetika pertama kali dibuktikan oleh Carl Friedrich Gauss.

2. Teori Bilangan

Sampai abad ke-19, teori bilangan adalah sinonim dari “aritmetika”. Masalah yang ditangani secara langsung terkait dengan operasi dasar dan terkait primality, terbagi, dan solusi persamaan dalam bilangan bulat, seperti teorema terakhir Fermat.

Tampaknya sebagian besar masalah ini, meskipun sangat mendasar untuk dinyatakan, sangat sulit dan mungkin tidak dapat diselesaikan tanpa matematika yang sangat mendalam yang melibatkan konsep dan metode dari banyak cabang lain. Hal ini menyebabkan cabang baru dari teori bilangan seperti teori bilangan analitik, teori bilangan aljabar, geometri diofantin, dan geometri aljabar aritmetika.

Bukti Wiles tentang Teorema Terakhir Fermat adalah contoh khas perlunya metode canggih, yang jauh melampaui metode aritmetika klasik, untuk memecahkan masalah yang dapat dinyatakan dalam aritmetika dasar.

Pengertian Barisan dan Deret Aritmetika

Dalam matematika, barisan dan deret aritmetika atau dikenal sebagai barisan dan deret hitung adalah barisan yang mempunyai pola tertentu, yakni selisih dua suku berturutan sama dan tetap. Dengan kata lain, setiap suku (kecuali suku pertama) pada barisan aritmetika diperoleh dari suku sebelumnya dengan menambah bilangan tetap, misalnya:

, , , , , , .

Barisan aritmetika ini dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut.

, , , , ….

Selanjutnya, sebagaimana disadur dari buku berjudul Matematika SMK 2: Kelompok Bisnis dan Manajemen yang diterbitkan oleh Grasindo, barisan aritmetika adalah suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.

Lebih lanjut, selisih antara nilai suku-suku saling berdekatan dan selalu sama, yaitu b. Misalnya:

Un – U(n-1) = b

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmetika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Sementara itu, deret aritmetika adalah suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmetika. Untuk penjumlahan dari suku-suku pertama hingga suku ke-n barisan aritmetika tersebut bisa dihitung sebagai:

Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U(n-1)

atau

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + …. + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b)

Apabila yang diketahui hanya nilai a, suku pertama serta nilainya merupakan suku ke-n, jadi nilai deret aritmetikanya adalah:

Sn = n/2(a + Un)

Suku Barisan Aritmetika

Misal adalah suku barisan ke-, maka

.

Bukti
Kita mulai mengurutkannya dari suku . Kita teruskan untuk suku ke-2, 3, hingga .

Dengan memperhatikan pola, kita memperoleh .

Lebih umumnya, suku barisan ke- dapat ditulis

dimana .

1. Beda

Beda, dalam suku barisan aritmetika, merupakan selisih dua suku. Misal adalah beda antar suku, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut.

.

2. Suku Tengah

Suku tengah ialah suku yang berada di tengah-tengah barisan aritmetika jika banyaknya barisan suku berupa ganjil. Misal dan dengan mengapit sebanyak ganjil suku-suku lain dalam suatu barisan aritmetika. Karena itu, maupun adalah bilangan genap. Suku yang terletak antara dan adalah

dengan

.

Kita dapat jabarkan lagi sehingga didapati:

.

Rumus Barisan dan Deret Aritmetika

Usai membahas pengertian singkat dari barisan dan deret aritmetika, pahami uraian tentang rumusnya berikut ini, dikutip buku berjudul Kumpulan Rumus Lengkap Matematika SMA/MA IPA/IPS karangan Khoe Yao Tung, berikut informasinya.

1. Rumus Barisan Aritmetika

Rumus untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika:

Un = a + (n – 1)b atau Un = Un-1 + b

Selain mencari rumus suku ke-n, adapun rumus yang digunakan untuk mencari nilai tengah dari sebuah barisan aritmetika, yakni:

Ut = ½ (a + Un)

Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda

2. Rumus Deret Aritmetika

Apabila dilihat secara sekilas, deret aritmetika memiliki komponen rumus yang sama dengan barisan aritmetika. Pembedanya adalah rumus barisan aritmetika digunakan untuk mencari suku yang diinginkan, sedangkan deret aritmetika mencari penjumlahan dari suku-suku tersebut.

Untuk lebih jelasnya, berikut rumus deret aritmetika, yakni:

Sn = n/2 (a + Un) = n/2(2a + (n – 1)b)

Berdasarkan rumus tersebut, dapat ditemukan suku ke-n dengan cara berikut ini, yaitu:

Un = Sn – Sn-1

Keterangan:
Un = suku ke-n
a = U1
Un-1 = suku sebelum suku ke-n
b = beda

Barisan dan Deret Aritmetika

Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmetika

Supaya memahami lebih jelas tentang barisan dan deret aritmetika, simak terlebih dahulu contoh soalnya di bawah ini, seperti yang dikutip dari buku berjudul Isolasi Matematika SMP Kelas 1, 2, dan 3 karangan Herlik Wibowo.

Soal 1
Suatu bentuk deret aritmetika adalah 5, 15, 25, 35, …. Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika tersebut?

Diketahui:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Jawaban:
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 x 100 = 500
Jadi, jumlah S10 dalam deret aritmetika tersebut, yakni 500.

Soal 2
Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertamanya adalah 10 dan suku ke-enam adalah 20. Lalu, tentukan:

Beda deret aritmetika tersebut.
Tuliskan deret aritmetika tersebut.
Jumlah enam suku pertama dari deret aritmetika tersebut.

Jawaban:

Beda deret aritmetika tersebut, yaitu:
Un = a+(n-1)b
U6= a+(6-1) b
20= 10+(5)b
b= 10/5 = 2
Jadi, beda deret aritmetika tersebut adalah 2.

Deret aritmetikanya, yaitu:
10+12+14+16+18+20+…+Un

Jumlah suku keenam, S6 adalah:
Sn =n/2 (2a+(n-1) b)
S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)
=3(20+10)
=90
Jadi, jumlah suku keenam deret tersebut adalah 90.

Soal 3
Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Diketahui:
a = 7
b = -2

Jawaban:
Un = a + (n – 1)b
U40 = 7 + (40-1)(-2)
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmetika tersebut adalah –71.

Soal 4
Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri atas 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi di baris ke-20 adalah …

Diketahui:
a = 12
b = 2

Jawaban:
Un = a + (n – 1)b
U20 = 12 + (20-1)2
= 12 + (9)2
= 12 + 38
= 50
Jadi, banyaknya kursi di baris ke-20 adalah sebanyak 50 kursi.

Soal 5
Seorang pegawai kecil menerima gaji tahun pertama sebesar Rp3.000.000,00. Setiap tahun gaji tersebut naik Rp500.000,00. Jumlah uang yang diterima pegawai tersebut selama sepuluh tahun adalah …

Diketahui:
Gaji pertama = a = Rp3.000.000,00
Kenaikan gaji tiap tahun = b = Rp.500.000
Gaji tahun kesepuluh = U10
Jumlah gaji selama sepuluh tahun = S10

Jawaban:
Un = a + (n – 1)b
U10 = 3.000.000 + (10 – 1)500.000
= 3.000.000 + (9 × 500.000)
= 3.000.000 + 4.500.000
= 7.500.000
Jadi, gaji pegawai yang didapatkan pada tahun kesepuluh adalah sebesar Rp 7.500.000,00

Soal 6
Hitunglah jumlah nilai suku ke-4 (S4) deret aritmetika apabila terdapat angka : 4, 8, 16, …?

Diketahui:
a = 4
b = 8-4 = 4
n = 4

Jawaban:
Un = a + (n-1) b
Un = 4 + (4-1)4
Un = 4 + 12
Un = 16

Lantas, berapa jumlah Sn?
Sn = 1/2 n ( a + Un )
S4 = 1/2 .4 (4 +16)
S4 = 4/2 (20)
S4 = 40
Jadi, jumlah nilai suku ke-5 pada deret aritmetika adalah 40.

Rekomendasi Buku & Artikel Terkait

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.