Memahami Contoh Soal Integral, Jawaban, dan Rumusnya

Contoh Soal Integral Tak Tentu – Integral adalah suatu bentuk operasi matematika yang merupakan kebalikan atau yang juga biasa disebut sebagai invers dari operasi turunan, dan limit dari suatu luas maupun jumlah daerah tertentu. Soal integral ini bisa dibilang gampang-gampang susah, tetapi jika sudah terbiasa mengerjakan, maka akan lebih mudah menyelesaikan soal integral.

Buat kamu yang belum tahu atau mungkin belum pernah mengerjakan soal integral, tak perlu khawatir karena akan dibahas pada ulasan ini. Nah, supaya Grameds lebih paham mengenai integral, mari simak contoh integral tak tentu dan tentu lengkap dengan jawabannya berikut ini.

Contoh Soal Integral Tak Tentu dan Tentu Beserta Jawabannya

Tak perlu merasa bingung untuk menyelesaikan contoh soal integral tak tentu dan tentu, berikut ini contoh integral tak tentu dan tentu lengkap beserta dengan jawabannya.

1. Soal Integral Tak Tentu

Berikut ini, beberapa soal integral tak tentu lengkap beserta dengan pembahasannya:

• f ‘(x) = 8x — 5

f(2) = 9

maka f(x) =

Jawabannya:

f(x) = ∫ 8x-5 dx =4x²-5x+c

f(2) = 9

4.22 — 5.2 + c = 9

16 — 10 + c = 9

c = 3

Jadi,

f(x) = 4×2 — 5x + 3

• f(x) = x^n, maka turunannya menjadi,

f(x) = nx^n-1

Misalnya: turunan dari f(x) = 5x^3 adalah,

f(x) = 3 x 5^3-1

= 15^2

Sedangkan, notasi untuk integral adalah “∫…dx”

Sedangkan, bentuk umum dari integral tidak tentu yaitu,

∫f(x) dx = F(x) + C

dengan C suatu konstanta real, f(x) adalah turunan dari F(X) + C

• Coba tentukan secara tepat tentang ∫2 dx dan nilai dari ∫x dx.

Jawabannya:

Turunan dari 2x +C yaitu 2. Sehingga ∫2 dx=2x+C. Jadi, turunan ½ x2+C yaitu x. Sehingga, ∫x dx=1/2 x2+C.

• Tentukan integral berikut:

∫6x^2 dx

Jawabannya:

∫6x^2 dx

= 6 ∫x^2 dx

= 6 x x^3/3 + C

= 2x^3 + C

Jadi, integral dari 6x^2 dx adalah 2x^3 + C

• Turunan kedua dari fungsi y = f(x) yakni 6x – 16. Gradien garis singgung kurva pada titik P (2, 7) adalah 5. Maka f(x) adalah..

Jawabannya:

f'(x) = ∫ (6x-16) dx = 3x² -16x + k

karena f ‘(2) = 5 maka

3.22 – 16.2 + k = 5

12 – 32 + k = 5

k = 25

Maka f ‘(x) = 3×2 – 16x + 25

f(x) = ∫(3x²-16x+25)dx = x³-8x²+25x+c

karena f(2) = 7 maka

23 – 8.22 + 25.2 + c = 7

8 – 32 + 50 + c = 7

26 + c = 7

c = – 19

Jadi f(x) = x³-8x²+25x-19

• Gradien garis singgung pada kurva y = f(x) pada setiap titik (x, y) yaitu 8x – 7. Apabila kurva melewati (2, 5) maka koordinat titik potong kurva dengan sumbu y adalah…

Jawaban:

f ‘(x) = 8x – 7

f(x) = ∫8x-7dx =4x²-7x+c

Karena melalui (2, 5) maka,

f(2) = 5

4.22 – 7.4 + c = 5

16 – 28 + c = 5

c = 17

maka,

f(x) = 4×2 – 7x + 17

Koordinat pada titik potong dengan sumbu y terjadi ketika x = 0

y = f(0) = 0 – 0 + 17 = 17

Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu y yaitu (0, 17)

2. Soal Integral Tentu

Berikut di bawah ini adalah soal integral tentu beserta jawabannya

• 1∫1 2x dx

Jawabannya:

1∫1 2x dx = 0

• 0∫2 (2x + 1) dx

Jawabannya:

0∫2 (2x + 1) dx = x2 + x]2 0

= (2 2 + 2)-(0 2 – 0)= 6

• 2∫0 (2x + 1) dx

Jawabannya:

2∫0 (2x + 1) dx = x2 + x]0 2

=(0) – (2 2 + 2)-6

• 1∫2 (2×2 – x – 1) dx

Jawabannya:

1∫2 (2×2 – x – 1) dx=2/3 x3 – x2 – x]2 1

=(2/3.23-22-2)-(2/3.1 3-1 2-1)

=-2/3 + 4/3=2/3

• 0∫2 3×2 dx

Jawabannya:

0∫2 3×2 dx =[ x3 ] 1 0 + [ x3 ] 0 1

= (2 3) – (0)=8

Rumus Integral

Nah, biar semakin paham dengan integral, maka Grameds juga perlu mengetahui rumus integral. Berikut ini rumus integral yang perlu kamu ketahui, ya.

1. Rumus Integral Tentu

Integral tentu adalah integral yang memiliki batasan nilai. Apabila f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tutup (a,b), integral tentu f dari a sampai b dapat dinyatakan oleh:

“a∫b f(x)dx = f (b) – f (a).

Keterangan:

f(x) = fungsi yang akan diintegralkan.

F(a) = nilai integral pada batas bawah.

F(b) = nilai integral pada batas atas.

d(x) = variabel integral.

a = batas bawah pada variabel integral.

2. Rumus Integral Tak Tentu

Untuk integral tak tentu, secara umum dari f(x) didefinisikan sebagai berikut:

∫f(x)dx = F(x).

Keterangan:

ʃ = operasi anti turunan atau lambang integral

C = konstanta integrasi

f(x) = fungsi integral, yaitu fungsi yang akan dicari turunannya

F(x) = fungsi hasil integral

Mengenal Apa Itu Integral Tentu dan Tak Tentu

Integral dibagi atas dua jenis, yakni integral tentu dan integral tak tentu. Integral tentu dan tak tentu merupakan operasi matematika yang berfungsi untuk menyelesaikan permasalahan yang memiliki kebalikan dari masalah turunan.  Konsep ini menjadi bagian penting di dalam perhitungan diferensial dan telah dikembangkan sejak lama. Berikut, pengertian lebih jelas dari integral tentu dan integral tak tentu.

1. Pengertian Integral Tentu

Integral tentu atau definite integral adalah sebuah kalimat yang secara bahasa dan istilah merupakan sebuah integral tertentu atau yang sudah ditentukan. Bisa dikatakan bahwa integral tentu ialah jenis integral yang telah ditentukan nilai awal dan juga nilai akhirnya. Jadi, integral tentu mempunyai batasan nilai dari awal hingga akhir yang telah ditetapkan batasannya dari a sampai b, berikut ini adalah bentuk contoh integral tentu:

∫ f (x) dx

2. Pengertian Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah sebuah integral yang nilainya tak ditentukan pada awal dan akhir. Contoh notasi serta lambang dari integral tak tentu, yakni:  ∫ fx dx.

Dari dua penjelasan tersebut, perbedaan yang dapat dilihat antara integral tentu dan tak tentu ialah dari segi batasan nilainya. Integral tentu memiliki batasan nilai yang telah ditentukan atau pasti, sebaliknya integral tak tentu nilainya tidak pasti karena tak ditentukan.

Penerapan Integral dalam Kehidupan Sehari-Hari

Dalam bangku sekolah, materi dan contoh soal integral tak tentu maupun tentu kerap kali dianggap sebagai materi dengan tingkat kesulitan tertinggi untuk dipahami. Di samping karena banyaknya rumus yang wajib dihafalkan, materi integral juga membutuhkan suatu pemahaman tersendiri. Selain itu, kerap pula timbul pertanyaan, mengenai manfaat mempelajari materi integral dalam kehidupan sehari-hari.

Mempelajari integral pastinya tak akan menjadi hal yang percuma, hal tersebut dikarenakan integral banyak turut andil dalam kehidupan sehari-hari. Bahkan, ilmu integral secara umum bermanfaat dalam banyak bidang ilmu yang ada dalam lini kehidupan, seperti fisika, ekonomi, teknologi, kedokteran, dan matematika teknik.

1. Dalam Bidang Ilmu Ekonomi

Integral memiliki peranan yang penting dalam bidang ilmu ekonomi, berikut beberapa perannya:

• Fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya)
• Fungsi biaya total
• Fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal
• Fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal
• Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal
• Fungsi kapital dari fungsi investasi.
• Fungsi produksi.
• Konsep elastisitas.
• Angka Penggandaan.

2. Dalam Bidang Ilmu Teknologi

Selain dalam bidang ilmu ekonomi, integral juga berpartisipasi dalam bidang ilmu teknologi. Berikut ini peranannya:

• Untuk menentukan pemakaian kecepatan pada pesawat ulang alik Endeavour dalam menentukan ketinggian maksimum yang dapat dicapai dalam kurun waktu tertentu.
• Untuk menentukan jumlah kebocoran pada laju tetesan minyak yang berasal dari tangki selama dalam kurun waktu tertentu.
• Memecahkan permasalahan yang memiliki keterkaitan dengan usaha, volume, panjang kurva, keluaran kardiak, perkiraan populasi, dan gaya pada bendungan.
• Membuat desain mesin pesawat terbang.

3. Dalam Bidang Ilmu Matematika (Teknik)

Ilmu integral juga memiliki peranan yang sangat penting dalam bidang ilmu matematika teknik, diantaranya ialah:

• Menentukan panjang busur.
• Menentukan luas suatu bidang.
• Menentukan volume benda putar.

4. Dalam Bidang Ilmu Fisika

Di dalam bidang ilmu fisika, integral juga seringkali dimanfaatkan. Berikut beberapa peranannya:

• Analisis medan magnet pada kumparan.
• Analisis rangkaian listrik arus AC.
• Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

5. Dalam Bidang Ilmu Teknik

Dalam bidang teknik, integral juga bermanfaat ialah:

• Membantu programmer untuk membuat aplikasi dari berbagai mesin yang handal.
• Membantu para engineer untuk membuat desain mesin pesawat terbang.

6. Dalam Bidang Ilmu Kedokteran

Integral ternyata juga memiliki peran yang sangat penting di dalam bidang ilmu kedokteran. Di antara beberapa perannya dalam kedokteran, yaitu:

• Proses pembuatan sinar-X dengan menggunakan dosimetri yang mengandalkan high energy inonizing radiation. Ilmu integral berpengaruh dalam proses pengerjaannya, dimana penembakan laser nantinya memerlukan koordinat yang tepat.
• Mengukur volume tumor, jika pasca penembakan laser volume menurun, maka operasi berhasil.
• Menentukan keakuratan radioterapi

Nah, itulah peranan penting ilmu integral dalam berbagai bidang ilmu lainnya yang bermanfaat bagi kehidupan. Integral juga sering kali digunakan dalam perencanaan pembangunan gedung pencakar langit, supaya pada bagian atas gedung tak roboh karena terpaan angin. Untuk memecahkan berbagai persoalan materi integral, kerap kali Grameds dituntut untuk memahami materi lainnya.

Sebagai dasar untuk menguasai integral, Grameds harus terlebih dulu memahami konsep turunan fungsi atau diferensial. Walaupun tampak sulit, tetapi jika Grameds telah benar-benar memahami konsep itu, memecahkan berbagai soal integral bukanlah hal yang sulit.

Demikian pemaparan perihal contoh soal integral tak tentu dan tentu lengkap beserta dengan jawabannya. Dengan memahami ilmu integral, Grameds bisa memahami dan menerapkan fungsinya dalam kehidupan sehari-hari. Dapatkan buku terkait soal matematika di gramedia.com atau kamu bisa melihat beberapa rekomendasi buku di bawah ini, ya.

Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Nanda Akbar Gumilang

Rujukan:

• https://www.detik.com/edu/detikpedia/d-5616363/contoh-soal-integral-tak-tentu-dan-pembahasannya
• https://rumuspintar.com/integral/contoh-soal/
• https://mamikos.com/info/contoh-soal-integral-tentu-dan-tak-tentu-beserta-jawabannya-pljr/

Rekomendasi Buku Terkait

1. Kalkulus Diferensial & Integral: Teori dan Aplikasi

Deskripsi Buku

Kalkulus Diferensial dan Integral merupakan cabang keilmuan yang memiliki peranan penting sebagai dasar ilmu pengetahuan yang mendukung keahlian dalam bidang keteknikan dan matematika lanjutan. Selain itu, materi ini juga menjadi mata kuliah utama yang membuat mahasiswa bisa memahami berbagai cabang matematika lain dengan tingkat yang lebih tinggi. Sebagai keahlian dasar, Kalkulus Diferensial dan Integral secara umum dipelajari oleh mahasiswa:

1. Pendidikan Matematika
2. Fakultas Teknik
3. Fakultas Ekonomi
4. Fakultas MIPA-Matematika
5. Fakultas Teknik Informatika
6. dan ilmu-ilmu komputer lainnya di setiap perguruan tinggi.

Buku ajar ini memberikan paparan uraian teori perihal Kalkulus Diferensial dan Integral dengan terperinci serta dilengkapi dengan berbagai teori dan aplikasinya untuk berbagai bidang keilmuan seperti Fisika, Ekonomi, Bisnis, dan Demografi. Pada tiap-tiap pembahasannya, dilengkapi dengan pengertian menggunakan bahasa yang sederhana, sehingga lebih mudah untuk dipahami, dan cara penerapannya dalam bentuk penyelesaian contoh yang telah dipaparkan dengan jelas pada tiap pembahasannya, baik dengan bentuk gambar atau berbentuk komentar yang dapat membantu memberikan pemahaman dengan lebih baik.

Daftar Isi

1. Komposisi Fungsi dan Fungsi Invers
2. Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri
3. Turunan Aljabar dan Aplikasi
4. Turunan Trigonometri dan Implisit
5. Turunan Logaritma dan Persamaan Parametrik
6. Pengertian Integral
7. Integral Tertentu
8. Integral Substitusi
9. Integral Parsial

2. Sukses Juara Kompetisi Matematika SMA/MA

Deskripsi Buku

Buku Sukses Juara Kompetisi Matematika SMA/MA adalah buku yang dirancang khusus dengan tujuan untuk mempersiapkan siswa dalam menghadapi kompetisi Matematika. Buku ini disusun dari berbagai sumber soal-soal latihan kompetisi Matematika yang sampai saat ini belum banyak beredar di pasaran. Selain itu, soal dalam buku ini dibagi menjadi dua level, yakni level dasar dan lanjut, di mana tiap-tiap levelnya terdiri atas 200 soal latihan dengan bentuk pilihan ganda.

Di samping itu, buku ini juga disusun berdasarkan pada pengalaman penulis yang telah didapatkan dalam beberapa tahun atas perannya sebagai:

1. Penyusun naskah soal
2. Anggota
3. Koordinator tim penyusun naskah soal
4. Anggota tim penilai dalam berbagai kompetisi matematika tingkat sekolah di Indonesia.

Dengan berbagai soal variatif yang disajikan di dalam buku ini, diharapkan siswa-siswa bisa berlatih dengan maksimal dengan meningkatkan rasa percaya diri mereka untuk memenangkan kompetisi Matematika. Selamat belajar dan semoga sukses!

3. 30 Solusi Unik Taklukkan Matematika

Deskripsi Buku

Matematika bagi sebagian orang ibarat hantu kehidupan yang sangat menakutkan. Hanya dengan mendengar istilah matematika, seolah menjadi momok yang menyeramkan. Bahkan, banyak juga orang tua yang merasa takut dengan matematika.

Banyak yang salah kaprah dalam menghadapi matematika, bukannya mengatasi rasa tersebut, malah justru menghindar. Anggapan matematika adalah hantu sebenarnya sangat bertentangan dengan keadaan yang sebenarnya. Sesungguhnya, matematika sangat berguna bahkan hampir pada setiap kegiatan dalam kehidupan sehari-sehari yang saling bersinggungan dengan matematika.

Buku ini hadir sebagai penyelamat dengan menjadi media terbaik untuk membantu mereka yang masih merasa takut pada matematika. Hanya dengan mempelajari buku ini, mereka tak akan lagi merasa takut dan bahkan mereka akan tertarik dan jatuh hati. Buku ini menyajikan berbagai cara terbaik untuk mempelajari matematika supaya menjadi lebih mudah dan menyenangkan. Tidak sekadar itu, buku ini juga dilengkapi dengan berbagai trik menarik perihal matematika yang dapat dipelajari oleh siapa pun.

Dengan hadirnya buku ini, Grameds dapat menemukan cara yang lebih cepat, tepat, mudah, dan berbeda untuk menyelesaikan berbagai soal matematika. Grameds pasti sudah sangat penasaran dengan isi dari buku ini, kan? Yuk, santap seluruh bahasan yang tersedia di dalam buku ini!