Matematika

Definisi Himpunan hingga Sejarah, Cara Menyatakan, dan Jenis-Jenisnya

Definisi Himpunan
Written by Hendrik Nuryanto

Definisi Himpunan – Ketika membahas tentang “himpunan”, apa yang Grameds langsung pikirkan? Apakah mengenai penghitungan himpunan dalam matematika? Atau malah justru tentang organisasi kegiatan yang ada di jurusan kuliah? Meskipun nampak berbeda, keduanya adalah hal yang sama kok, yakni sama-sama berupa suatu “kelompok” atau “kumpulan” yang menaungi objek-objek dalam definisi yang jelas. Nah, kali ini kita akan membahas himpunan dalam ranah matematika ya…

Materi himpunan ini umumnya akan diajarkan oleh guru sejak kita masuk Sekolah Menengah Pertama, tepatnya pada kelas 7. Itulah mengapa, materi himpunan akan berkaitan dengan Aljabar yang sama-sama dipelajari pada kelas 7 SMP. Lantas, apa sih himpunan itu? Apa saja jenis-jenis himpunan yang kerap dipelajari? Bagaimana pula relasi antar himpunan? Nah, supaya Grameds memahaminya, yuk simak ulasan berikut ini!

Definisi Himpunan

https://www.pexels.com/

Apa Itu Definisi Himpunan Dalam Matematika?

Secara umum, definisihimpunan dapat diartikan sebagai kumpulan objek yang mana memiliki definisi jelas dan dapat dibeda-bedakan. Singkatnya, himpunan menjadi sebuah “koleksi” yang berisikan objek-objek yang didefinisikan secara baik (well defined).

Istilah “terdefinisi dengan baik” maksudnya adalah untuk sebarang objek X yang diberikan, kita akan selalu dapat menentukan apakah objek tersebut termasuk dalam himpunan tertentu atau tidak. Lalu, mengapa sih diperlukan pendefinisian yang jelas? Hal tersebut supaya orang dapat menentukan apakah objek atau benda yang dimaksud merupakan anggota himpunan yang dimaksudkan atau bukan.

Nah, objek yang terdapat dalam himpunan itu disebut dengan istilah “elemen”, “unsur”, atau “anggota”. Objek-objek yang dapat dimasukkan pada suatu himpunan haruslah memiliki sifat-sifat tertentu yang sama. Sifat tertentu yang sama tersebut juga harus dapat didefinisikan secara tepat ya, supaya Grameds juga dapat mengumpulkannya ke suatu himpunan yang cocok.

Menurut Hambali dan Siskandar (2002:1), batasan dari himpunan ini adalah suatu koleksi benda yang nyata ataupun tidak nyata. Misalnya nih, sekawanan kuda, sekumpulan huruf, sekelompok ayam. Nah, dari contoh tersebut, kata “sekawanan”, “sekelompok”, maupun “sekumpulan” itu sama saja dengan himpunan kok. Istilah lain lain dari himpunan adalah kelompok, gugus, keluarga, kelas, set, dan lainnya. Supaya Grameds lebih memahami apa itu himpunan, coba perhatikan contoh berikut ini ya…

Contoh Himpunan dan Bukan Himpunan

Contoh Himpunan:

1. Kumpulan Binatang Berkaki Empat

“Kumpulan Binatang Berkaki Empat” adalah himpunan. Nah, jika ada sekumpulan hewan yang berupa: laba-laba, bebek, paus, kucing, kerbau, anjing), maka Grameds pasti sudah tahu dong apa saja hewan yang memiliki kaki 4. Yap betul, ada kucing, kerbau, dan anjing.

Sementara itu sisanya yakni: laba-laba, bebek, dan paus, bukanlah anggota dari himpunan Binatang Berkaki Empat. Terlebih lagi, himpunan Binatang Berkaki Empat ini sangat didefinisikan secara jelas.

2. Kumpulan Empat Bilangan Genap Pertama

“Kumpulan Empat Bilangan Genap Pertama” juga termasuk himpunan. Dalam himpunan tersebut berisikan beberapa objek yang didefinisikan secara jelas, yakni berupa bilangan 2, 4, 6, 8, dan seterusnya.

Contoh Bukan Himpunan:

  • Kumpulan bilangan
  • Kumpulan lukisan yang indah
  • Kumpulan makanan yang lezat

Mengapa contoh-contoh di atas tidak dapat disebut sebagai himpunan padahal jelas bahwa contoh tersebut adalah kumpulan yang ada objeknya? Hal tersebut karena objek tersebut sangat abstrak. Maksudnya, objek-objek dalam himpunan tersebut sangat abstrak yang hanya dapat dipikirkan saja, tidak dapat dilihat, dirasa, diraba, maupun dipegang.

Pada contoh pertama yakni “Kumpulan Bilangan” itu memiliki objek yang berupa bilangan dan sangatlah abstrak. Yap, objek bilangan tersebut belum tentu sehingga kita juga tidak bisa menentukan bilangan apa saja yang termasuk dalam himpunan tersebut. Mengingat macam-macam bilangan itu ada banyak kan…

Lalu pada contoh kedua dan ketiga, masing-masing objeknya berupa lukisan dan makanan yang mana merupakan benda konkrit. Namun, kedua objek tersebut juga belum tentu lho, sebab sifat indah dan lezat itu ‘kan relatif.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa

“Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang dapat didefinisikan secara jelas”. 

Sejarah Singkat Konsep Himpunan

Georg Cantor - Definisi Himpunan

wikimedia.org

Menurut sejarah, teori mengenai himpunan matematika ini mulai dikenal oleh masyarakat umum sejak akhir abad ke-19. Namun kala itu, kemunculan konsep himpunan masih menjadi perdebatan antar ahli matematika. Akhirnya, pada tahun 1920 M, konsep himpunan ini menjadi salah satu pokok bahasan dalam bidang matematika. Sosok yang memperkenalkan konsep himpunan ini adalah Georg Cantor, seorang matematikawan berkebangsaan Jerman. Atas konsep yang digagasnya ini, Beliau mendapatkan julukan sebagai Bapak Himpunan. Hal tersebut karena Beliau lah sosok pertama yang mengembangkan adanya teori himpunan hingga teori himpunan tak hingga.

Bapak Himpunan ini lahir dengan nama Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor pada 3 Maret 1845 di St. Petersburg, Russia. Selama menempuh pendidikan dasar, Beliau tidak sekolah layaknya anak-anak biasa, melainkan menggunakan guru privat. Lalu di usia 11 tahun, Beliau pindah ke Jerman bersama keluarganya. Tepat pada tahun 1873, di usianya yang menginjak ke-28, Beliau mengumumkan sebuah teorinya melalui sebuah tulisan, bahkan hingga 10 tahun lamanya.

Meskipun teori himpunan dan konsep angka tak terbatas ini mengguncang dunia matematika, tetap justru Beliau tidak mendapatkan manfaat apapun dari penemuannya tersebut. Setelah itu, pada sekitar tahun 1867-1871, Beliau menerbitkan beberapa artikel yang berisikan masalah teori terhadap bilangan sebagai keberlanjutan dari teori himpunannya. Barulah pada akhir abad ke-19, teorinya ini berpengaruh besar pada literatur-literatur matematika.

Dalam gagasannya, Beliau mengungkapkan bahwa himpunan ini adalah ‘sekumpulan objek yang memiliki syarat tertentu dan jelas’. Objek-objek juga dapat berupa benda, bilangan, atau apapun yang kemudian disebut sebagai elemen atau anggota dari suatu himpunan. Nah, elemen dari suatu himpunan ini harus didefinisikan secara jelas, karena untuk membedakan mana yang merupakan anggota himpunan, dan mana yang bukan anggota himpunan.

Tulisannya yang paling berpengaruh besar adalah konsep mengenai himpunan tak terhingga, diterbitkan oleh Crelle’s Jurnal pada tahun 1874. Atas inovasinya tersebut, Beliau akhirnya diakui sebagai Bapak Himpunan dan kemudian meninggal dunia pada 6 Januari 1918.

himpunan adalah

Notasi Himpunan dan Cara Menyatakannya

https://www.pexels.com/

Notasi Himpunan

Pada dasarnya, istilah “himpunan” ini memiliki notasi tanda khusus, yakni berupa tanda kurung kurawal seperti { }. Biasanya, himpunan ini juga akan diberi nama menggunakan huruf kapital, misalnya A, B, C, X, dan lainnya. Sementara penggunaan huruf kecil digunakan untuk mengayakan anggota himpunan.

Keanggotaan dari suatu himpunan dinyatakan dengan lambang berupa , yang dibaca sebagai “anggota dari”. Sementara itu, untuk menyatakan anggota yang bukan termasuk pada himpunan, maka akan dinotasikan dengan lambang yang dibaca “bukan anggota dari”.  Contoh:

Terdapat suatu himpunan A yang mana didefinisikan sebagai himpunan warna pelangi. Jawaban yang benar mengenai himpunan A adalah jingga, merah, biru, hijau, kuning, nila, dan ungu. Nah, dari pernyataan tersebut, dapat dinotasikan berupa: Himpunan A = {jingga, merah, biru, hijau, kuning, nila, dan ungu}

Sementara itu, pada keanggotaannya dapat dituliskan berupa:

Jingga ∈ A

Merah ∈ A

Hijau ∈ A

Kuning ∈ A

dst

Apabila terdapat jawaban yang menyebutkan bahwa warna hitam termasuk dalam keanggotaan A, maka jawaban tersebut jelas salah ‘kan? Maka dari dinyatakan sebagai hitam ∉ A, artinya warna hitam bukan termasuk warna pelangi alias anggota dari himpunan A.

Cara Menyatakan Himpunan

Menurut teori himpunan, terdapat 3 cara yang dapat digunakan untuk menyatakan himpunan, yakni berupa tabulasi, notasi pembentuk himpunan, dan dengan menyebutkan syarat keanggotaannya. Nah, berikut adalah penjelasannya.

a) Tabulasi alias Mendaftar (The Roster Method)

Melalui metode ini, nantinya kita diharuskan untuk menyebutkan atau mendaftarkan anggota-anggota himpunan satu per satu. Dalam penulisannya tersebut, harus dipisah dengan tanda koma (,) ya…. Perlu diketahui bahwa dalam penulisan anggota himpunan ini, harus jelas dan tidak boleh ada yang berulang. Misalkan {a, a, b, c, d, d, d}

Nah, berikut ini adalah contoh penulisan himpunan menggunakan metode tabulasi:

  • Himpunan B adalah himpunan huruf vokal. Maka dapat ditulis berupa: B = { a, i, u, e, o }
  • Himpunan A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 9. Maka dapat ditulis berupa: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
  • Himpunan K adalah himpunan ibukota provinsi di Pulau Jawa. Maka dapat ditulis berupa: K = { Jakarta, Serang, Bandung, Semarang, Yogyakarta, Surabaya }
  • Himpunan D adalah himpunan bilangan bulat negatif yang lebih dari 10. Maka dapat ditulis berupa: D = { -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1 }

b) Dengan Notasi Pembentuk Himpunan (The Rule Method)

Melalui metode ini, nantinya anggota himpunan akan dinyatakan dengan variabel (pengganti atau pengubah), yang kemudian diikuti dengan tanda garis, dan dilanjutkan dengan menyebutkan sifat atau ciri dari unsur himpunan tersebut. Contohnya,

  • C = { x | x alat musik tiup }

Dibaca: himpunan C adalah himpunan x sedemikian hingga x adalah alat musik tiup.

  • P = {x | x bilangan prima kurang dari 12}

Dibaca: P merupakan suatu himpunan dengan x sedemikian sehingga x adalah bilangan prima kurang dari 12.

  • L = {x | x nama-nama kabupaten/kota di Provinsi Jawa Tengah}

Dibaca: L merupakan suatu himpunan dengan x sedemikian sehingga x adalah nama-nama kabupaten/kota di provinsi Jawa Tengah.

  • D = {x │ x adalah lima huruf pertama abjad latin}

Dibaca: himpunan D adalah himpunan x sedemikian hingga x adalah huruf pertama abjad latin.

c) Dengan Menyebutkan Syarat Keanggotaannya

Melalui metode ini, nantinya anggota himpunan akan dinyatakan dengan cara deskripsi. Artinya, untuk menyatakan himpunan adalah dengan kata-kata dan dibatasi oleh tanda kurung kurawal { }. Contoh:

  • Himpunan T adalah himpunan-himpunan warna lalu-lintas.
  • Himpunan B adalah himpunan mahasiswa Pendidikan Bahasa dan Sastra Indonesia UNNES yang mengambil peminatan Penyuntingan Naskah.
  • Himpunan Y adalah 7 huruf pertama dalam urutan abjad latin.

Jenis-Jenis Himpunan

https://pixabay.com/

Keberadaan himpunan tidak semata-mata hanya satu saja ya, melainkan ada 4 jenis yang memiliki karakteristik tersendiri. Nah, berikut adalah penjelasannya.

1. Himpunan Kosong

Sesuai dengan namanya, maka himpunan yang satu ini tidak memiliki atau bahkan tidak mempunyai anggota satu pun. Himpunan Kosong akan dinotasikan dengan lambang berupa Φ atau { }. Dalam penerapannya, banyak orang yang tidak dapat membedakan antara himpunan kosong dengan himpunan yang tidak tepat (bukan himpunan).

Pada himpunan kosong ini terjadi apabila anggotanya memang benar-benar tidak ada, sehingga kumpulan atau himpunan tersebut termasuk dalam himpunan kosong. Namun, jika anggotanya tidak jelas, dalam artian tidak dapat dapat dibedakan apakah suatu objek yang dimaksud termasuk anggotanya atau tidak, maka kumpulan tersebut bukanlah suatu himpunan ya… Contoh himpunan kosong:

  • Himpunan S adalah himpunan mahasiswa jurusan Sastra Inggris yang berusia 6 tahun.
  • Himpunan W adalah himpunan hari yang memiliki awalan huruf “H”.
  • Himpunan G adalah himpunan bilangan ganjil yang dapat habis dibagi 2.

Untuk memahami keberadaan himpunan kosong ini, harus berhati-hati dengan angka nol (0) ya… Hal tersebut karena angka nol (0) bukanlah himpunan kosong, tetapi justru anggota dari himpunan yang memang bernilai nol (0). Contohnya, ada himpunan 5 bilangan cacah pertama, maka tentu saja angka 0 termasuk dalam anggota himpunan tersebut.

2. Himpunan Semesta (Universum)

Yakni suatu himpunan yang dapat memuat seluruh objek yang tengah dibicarakan. Himpunan semesta ini disebut juga dengan himpunan semesta pembicaraan alias set universum, sehingga akan dilambangkan sebagai S atau U. Contohnya:

  • Himpunan anak TK Sudirman yang memakai masker berwarna putih

Maka himpunan semestanya adalah himpunan semua anak TK Sudirman.

  • Himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf S.

Maka himpunan semestanya adalah himpunan nama-nama hari selama seminggu.

  • B = {merah, kuning, hijau}

Maka, himpunan semesta yang mungkin adalah S = {warna-warna lampu lalu lintas} atau S = {warna-warna pelangi}

3. Himpunan Hingga

Yakni suatu himpunan yang jumlah anggotanya terhingga alias dapat dihitung. Jenis himpunan ini sering disebut dengan finite set. Contoh:

  • A = {x│x bilangan asli <7}.

Jika ditulis dalam bentuk tabulasi maka A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Banyaknya anggota terhingga dari himpunan A (dapat dihitung), yakni 6 (enam).

4. Himpunan Tak Hingga

Yakni jenis himpunan yang memiliki anggota tidak terhingga alias tidak dapat dihitung, sehingga tidak mungkin ditulis secara rinci, apalagi jika menggunakan metode tabulasi. Maka yang dapat dilakukan adalah dengan menggunakan tanda “…” (tiga titik) yang dibaca “seterusnya”.  Himpunan ini disebut juga dengan istilah infinite set. Contoh:

B = {x│x bilangan asli >15}

Maka B dapat ditulis dengan B = {16, 17, 18,…}

Dibaca himpunan B adalah himpunan bilangan 16, 17, 18 dan seterusnya.

Nah, itulah ulasan mengenai apa itu himpunan, beserta sejarah, notasi, cara menyatakan, dan jenis-jenisnya. Apakah Grameds sudah dapat membuat contoh dari himpunan ini berdasarkan objek yang ada di sekitarmu?

Sumber:

Nugraha, Ali dan A. Sy. Dina Dwiyana. MODUL 1: Himpunan (http://repository.ut.ac.id/)

Mahmud, Amir, dkk. (2020). HIMPUNAN: Teori dan Contoh Soal. Malang: Ahlimedia Press (http://repository.radenintan.ac.id/)

Darwanto, dkk. (2020). Teori Himpunan. Lampung: Universitas Muhammadiyah Kotabumi. (http://repository.umko.ac.id/)

https://evan_ramdan.staff.gunadarma.ac.id/

Baca Juga!

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.