Limit Tak Hingga: Pengertian, Soal dan Pembahasan, Serta Sejarahnya

Limit Tak Hingga – Apakah Grameds menyukai mata pelajaran matematika? Jika iya, materi apa yang kira-kira menjadi favoritmu, apakah aljabar atau limit? Aljabar dan limit itu berbeda ya, meskipun keduanya itu sama-sama memiliki variabel dan beragam angka di dalamnya. Namun jangan berpikir bahwa materi dalam matematika hanya sekadar hitung-hitungan saja, tetapi juga dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari lho… Lalu, apakah yang disebut dengan limit tak hingga? Siapa saja sosok hebat yang menemukan limit dalam kehidupan sehari-hari ini? Bagaimana konsep dan sifat dari sebuah limit? Yuk simak ulasan berikut ini!

https://pixabay.com/

Daftar Isi

Konsep dan Sifat Limit Tak Hingga

Konsep sederhana supaya Grameds memahami apa itu limit, dapat mengambil contoh sebagai berikut. Ketika di sebuah warung, cobalah mengambil permen yang ada di toples dengan cara menggenggam. Pada genggaman pertama, kamu mendapatkan 5 bungkus permen. Kemudian pada genggaman kedua, mendapatkan 6 bungkus permen. Pada genggaman ketika, mendapatkan 5 bungkus permen. Lalu pada genggaman keempat, mendapatkan 7 bungkus permen. Terakhir alias pada genggaman kelima, mendapatkan 6 bungkus permen. Jadi, kelima genggaman tersebut dirata-rata adalah 5 bungkus dan hampir mendekati angka 6. Nah, “hampir mendekati” itulah yang dianalogikan sebagai konsep dari limit.

Limit Tak Hingga adalah konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞,yaitu bila nilai fungsi f(x) membesar atau mengecil tanpa batas atau bila x membesar atau mengecil tanpa batas. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. Sementara konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x→∞) atau untuk peubah x yang mengecil tanpa batas x→-∞), yang dikenal sebagai limit tak hingga.

Kemudian, sifat-sifat limit di satu titik dan limit fungsi komposisi untuk fungsi yang mempunyai limit, dan prinsip apit berlaku juga untuk limit di tak hingga. Pernyataan teoremanya persis sama, tetapi x→c diganti oleh x→∞, atau diganti oleh x→ – ∞, dan daerah asal f disesuaikan.

Singkatnya, limit tak hingga ini adalah bentuk kajian untuk mengetahui kecenderungan suatu fungsi, apabila nilai variabelnya memang dibuat semakin besar. Apabila dikatakan x menuju tak hingga, maka akan ditulis sebagai (x→∞). Artinya, nilai x akan semakin besar atau bertambah besar hingga tidak terbatas.

Rumus Limit Tak Hingga

Untuk menghitung kecenderungan suatu fungsi yang memang dibuat semakin besar, tentu saja harus menggunakan rumus tertentu. Dilansir dari edmodo.id, limit tak hingga memiliki rumus tersendiri bergantung bentuknya.

Rumus Limit Tak Hingga Dengan Bentuk Polinomial

Bentuk polinomial dalam variabel X pangkat tertinggi satu, jika digambarkan dalam sebuah diagram kartesius maka akan membentuk sebuah garis lurus. Nah, nilai limit dalam bentuk polinomial tersebut memang bergantung pada pangkat tertinggi dari polinomialnya. Limit fungsi yang memiliki variabel x, akan berpengaruh secara langsung dalam fungsi f(x).

Rumus Limit Tak Hingga Dalam Bentuk Pecahan

Rumus Limit Tak Hingga Dalam Bentuk Trigonometri

Soal dan Pembahasan Limit Tak Hingga

Contoh Soal 1

PEMBAHASAN

Contoh Soal 2

PEMBAHASAN

Contoh Soal 3

PEMBAHASAN

Mengenal Sejarah Limit

Sebelum membahas apa itu limit tak hingga, alangkah baiknya jika Grameds mengenal sejarah limit terlebih dahulu. Pada dasarnya, limit suatu fungsi adalah salah konsep dalam hal kalkulus dan analisis mengenai kelakuan atas suatu fungsi yang mendekati titik masukan tertentu. Suatu fungsi tersebut nantinya akan memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p, apabila f(x) “mendekati” pada L, sekaligus ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat pada L, ketika x juga mendekat menuju p.

Jika dianalisis lebih jauh lagi, apabila f diterapkan pada setiap masukan yang cukup dekat pada p, maka hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Nah, apabila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, maka fungsi f tersebut dapat dikatakan tidak memiliki limit.

Apakah Grameds pernah bertanya-tanya bagaimana sejarah dari keberadaan limit? Nah, definisi akan limit ini ternyata telah dipelajari sejak abad ke-19 lhooo…

Perlu diketahui bahwa sejarah perkembangan kalkulus itu dapat dilihat sejak periode zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern ini. Pada periode zaman kuno, muncul beberapa pemikiran akan kalkulus integral, tetapi sayangnya tidak dikembangkan secara baik dan sistematis. Alasannya sederhana, karena kala itu memang minim pengetahuan atau referensi yang berkaitan dengan kalkulus. Penghitungan volume dan luas yang mana merupakan fungsi utama dari kalkulus integral telah ditelusuri dan diabadikan di sebuah Papirus Moskwa Mesir (1800 SM). Sedikit trivia nih ya, papirus adalah naskah dari bahan yang menyerupai kertas tebal dan biasanya untuk media menulis pada zaman dahulu. Nah, pada Papirus Moskwa tersebut menyatakan bahwa orang Mesir telah mampu menghitung volume dari piramida yang kemudian dikembangkan lagi oleh Archimedes dan sekaligus menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Berlanjut pada zaman pertengahan, seorang ahli matematika berkebangsaan India bernama Aryabhata menggunakan konsep tak terhingga pada tahun 499 sekaligus mengekspresikan hal-hal yang berkenaan dengan astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan tersebut dikembangkan lagi oleh Bhaskara II pada abad ke-12 hingga menjadi bentuk awal turunan yang mewakili perubahan sangat kecil tak terhingga. Hal ini pula yang menjadi bentuk awal dari Teorema Rolle.

Sekitar tahun 1000, terdapat seorang ahli matematika berkebangsaan Irak bernama Ibn al-Haytham, menjadi sosok orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat dengan menggunakan induksi matematika. Ibn al-Haytham juga mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral, yang tentu saja menjadi hal penting dalam perkembangan kalkulus integral. Berlanjut pada abad ke-12, muncul seorang ahli matematika berkebangsaan Persia bernama Sharaf al-Din al-Tusi yang berhasil menemukan turunan dari fungsi kubik yang menjadi hal penting dalam kalkulus diferensial.

Sementara itu pada zaman modern, muncul penemuan independen tepatnya pada awal abad ke-17 di Jepang yang dicetuskan oleh seorang ahli matematika bernama Seki Kowa. Lain negara, lain pula ahli matematika yang mencetuskan penemuannya akan limit. Di Eropa, terdapat beberapa ilmuwan matematika yang memberikan terobosan dalam materi kalkulus, sebut saja ada John Wallis dan Isaac Barrow. Bahkan James Gregory juga turut membuktikan kalkulus dengan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus tepatnya pada tahun 1886.

Beberapa ahli terkemuka lainnya yang mendorong penemuan kalkulus ini adalah Leibniz dan Newton. Kedua ahli ini dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah tetapi dengan waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum di bidang fisika, sementara Leibniz mengembangkan kalkulus dalam kehidupan sehari-hari. Nah, ketika Leibniz dan Newton berhasil mempublikasikan hasil penelitiannya untuk pertama kali, muncullah kontroversi yang “memperdebatkan” mengenai ahli matematika mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan. Newton dianggap telah menyelesaikan hasil penelitiannya terlebih dahulu, tetapi Leibniz menjadi yang pertama kali mempublikasikannya. Bahkan, Newton menuduh Leibniz mencuri gagasannya melalui catatan-catatan miliknya, yang kala itu memang sering dipinjamkannya kepada beberapa anggota Royal Society.

Nah, untuk mengatasi permasalahan ini, dilakukanlah sebuah pemeriksaan secara terperinci guna menunjukkan bahwa kedua ahli matematika tersebut memang bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai penelitiannya dari integral, sementara Newton memulainya dari turunan. Setelah pemeriksaan tersebut, baik Newton dan Leibniz dinyatakan sebagai ahli matematika yang berperan besar dalam bidang kalkulus dan mendapatkan penghargaan. Leibniz dianggap sebagai sosok yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini yakni dengan nama “Kalkulus”, sementara Newton dianggap sebagai sosok yang memberi nama “The Science of Fluxions”.

Sejak itu, banyak ahli matematika yang turut berkontribusi untuk mengembangkan kalkulus, salah satunya adalah Maria Gaetana Agnesi pada 1748. Maria menemukan perkembangan lebih lanjut dari kalkulus berupa analisis finit dan infinitesimal. Selain itu, ada juga Cauchy yang turut membahas limit dalam penelitiannya berjudul Cours d’analyse pada tahun 1821 dan dianggap sebagai metode baku untuk menerangkan limit.

Kalkulus ini pada umumnya memang dikembangkan dengan memanipulasi jumlah kuantitas yang sangat kecil, tentu saja objeknya adalah angka. Sebuah bilangan dx yang kecilnya tak terhingga, dapat menjadi lebih besar dari 0, tetapi juga dapat lebih kecil dibandingkan dengan bilangan apapun pada deret 1, ½, ⅓, dan seterusnya; dan bilangan riil positif apapun. Selain itu, setiap perkalian dengan bilangan ‘kecil tak terhingga’ (infinitesimal) tetaplah ‘kecil tak terhingga’. Dengan kata lain, kecil tak terhingga ini tidak memenuhi sudut pandang Archimedes. Maka dari itu, kalkulus adalah sekumpulan teknik untuk memanipulasi ‘kecil tak terhingga’.

Pada abad ke-19, konsep ‘kecil tak terhingga’ ditinggalkan karena dianggap kurang meyakinkan dan digantikan dengan konsep limit. Limit menjelaskan nilai suatu fungsi pada nilai input tertentu dengan hasil dari nilai input terdekat. Dari sudut pandang inilah menyatakan bahwa kalkulus adalah sekumpulan teknik memanipulasi limit-limit tertentu.

Jika dianalisis kembali, maka definisi limit suatu fungsi adalah: “Diberikan fungsi f(x) yang didefinisikan pada interval di sekitar p, terkecuali mungkin pada p itu sendiri. Kita mengatakan bahwa limit f(x) ketika x mendekati p adalah L”, maka penulisannya adalah:

Nah, apabila untuk setiap bilangan ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 yang berkoresponden dengannya sedemikian rupanya untuk setiap x:

Ilmuwan-Ilmuwan yang Berkontribusi Pada Limit

Augustin-Louis Cauchy

Sebelumnya, Grameds pasti menyadari bahwa nama Cauchy muncul dalam sejarah munculnya Limit. Yap, Beliau lahir pada 21 Agustus 1789 di Paris, Perancis, dan kemudian meninggal dunia pada 23 Mei 1857 di usia 67 tahun, yang mana telah dikenal sebagai seorang ahli matematika berkebangsaan Perancis. Cauchy menempuh pendidikannya di Ecole Polytechnique, karena kesehatannya juga tidak begitu baik dirinya berkarir sebagai mahaguru di Ecole Polytechnique dan College de France.

Meski kalkulus diciptakan pada sekitar abad ke-17, tetapi dasar-dasarnya tetap kacau dan berantakan sampai Cauchy dan rekan-rekannya mengadakan penelitian lebih lanjut.

Sir Isaac Newton

Newton selain seorang ahli fisika, juga merupakan ahli matematika, astronomi, filsuf alam, hingga teolog berkebangsaan Inggris, yang lahir pada 4 Januari 1643 dan meninggal dunia pada 31 Maret 1727 di usianya yang ke-84 tahun. Beliau merupakan seorang pengikut aliran heliosentris dan menjadi ilmuwan paling berpengaruh sepanjang sejarah. Bahkan Newton juga disebut sebagai “Bapak Ilmu Fisika Klasik”.

Karya bukunya Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica yang diterbitkan pada tahun 1687 dianggap sebagai buku paling berpengaruh sepanjang sejarah sains, sebab membahas mengenai dasar-dasar mekanika klasik. Dalam buku tersebut, Newton turut menjabarkan hukum gravitasi dan tiga hukum gerak yang mendominasi pandangan sains mengenai alam semesta selama tiga abad. Newton juga berhasil menunjukkan bahwa gerak benda di Bumi dan benda-benda luar angkasa lainnya diatur oleh sekumpulan hukum-hukum alam yang sama. Newton menjadi sosok yang mampu membuktikan hubungan antara hukum gerak planet Kepler dengan teori gravitasinya.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz adalah seorang filsuf berkebangsaan Jerman yang lahir pada 1 Juli 1646 yang terkenal karena paham Theodicee yang diciptakannya. Pemahaman tersebut mengungkapkan bahwa a manusia hidup dalam dunia yang sebaik mungkin karena dunia ini diciptakan oleh Tuhan Yang Sempurna. Selain menjadi filsuf, dirinya juga merupakan seorang ilmuwan matematika, diplomat, ahli fisika, ahli sejarah, hingga doktor dalam hukum gereja. Kontribusinya terhadap ilmu pengetahuan sangatlah besar, hingga banyak sekali jurnal dan naskah manuskrip yang diterbitkan atas namanya.