Matematika

Limit Fungsi Aljabar: Konsep, Metode, Soal dan Pembahasannya

Written by Hendrik Nuryanto

Limit Fungsi Aljabar – Apakah Grameds menyadari bahwa dalam menjalani kehidupan sehari-hari ini, ternyata berkaitan erat pula dengan konsep matematika? Tidak hanya pada konsep hitungan dasar saja, tetapi bahkan pada konsep limit fungsi sekalipun. Ketika tengah berjalan-jalan melewati tol, apakah Grameds pernah iseng memandang di kejauhan jalan raya yang lurus itu. Lantas melihat kendaraan-kendaraan yang melintasi kita bergerak semakin jauh dan ukurannya juga semakin kecil. Nah, hal itu menandakan bahwa kita memiliki sebuah batas. Tidak hanya pada penglihatan saja, tetapi juga ada ambang batas pendengaran, batas kemampuan memikul beban, batas kemampuan membeli sebuah barang, dan lainnya.

Apabila di dalam ilmu matematika, batas tersebut dinamakan dengan istilah “limit”. Fungsi limit dapat berkaitan dengan beberapa cabang matematika lainnya, antara lain aljabar dan trigonometri. Nah kali ini kita akan membahas mengenai limit fungsi aljabar. Apa sih limit fungsi aljabar itu? Apa saja sifat-sifat dalam limit fungsi aljabar ini? Bagaimana metode pemecahan dalam limit fungsi aljabar ini? Yuk, simak ulasan berikut ini supaya Grameds memahami hal-hal tersebut!

https://www.pexels.com/

Apa Itu Limit Fungsi Aljabar?

Pada dasarnya, limit adalah suatu nilai yang menggunakan pendekatan fungsi ketika hendak mendekati nilai tertentu. Singkatnya, limit ini dianggap sebagai nilai yang menuju suatu batas. Disebut sebagai “batas” karena memang ‘dekat’ tetapi tidak bisa dicapai. Lalu, mengapa limit tersebut harus didekati? Karena suatu fungsi biasanya tidak terdefinisikan pada titik-titik tertentu. Meskipun suatu fungsi itu seringkali tidak terdefinisikan oleh titik-titik tertentu, tetapi masih dapat dicari tahu berapa nilai yang dapat didekati oleh fungsi tersebut, terlebih ketika titik tertentu semakin didekati oleh “limit”.

Definisi akan limit fungsi ini ternyata juga dapat dijelaskan secara aljabar lho… Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada interval tertentu yang memuat a, kecuali di a itu sendiri, sedangkan L adalah suatu bilangan riil. Maka fungsi f dapat dikatakan memiliki limit L untuk x mendekati a, sehingga ditulis Namun, hanya jika untuk setiap bilangan kecil ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga jika 0 < |x-a| <δ maka |f(x)-L| <ε. Pernyataan tersebut dinamakan definisi limit secara umum.

Rumus Limit

Dalam ilmu matematika, konsep limit ini ditulis berupa:

Maksudnya, apabila x mendekati a tetapi x tidak sama dengan a, maka f(x) akan mendekati L. Pendekatan x ke a ini dapat dilihat dari dua sisi, yakni sisi kiri dan sisi kanan. Nah, dengan kata lain bahwa x juga dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sehingga nantinya akan menghasilkan limit kiri dan limit kanan.

Maka dari itu, diperolehlah pernyataan bahwa:

0 <|x-p|<δ⇔|f(x) – L|ε

Maksudnya, suatu fungsi dapat dikatakan memiliki limit apabila antara limit kiri dan limit kanan juga mempunyai besar nilai yang sama. Apabila limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya juga tidak akan ada.

Sifat Fungsi Limit Aljabar

Apabila n adalah bilangan bulat positif, k adalah konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka sifat-sifatnya akan berupa:

Metode Dalam Pemecahan Limit Fungsi Aljabar

Ada beberapa metode yang lebih sederhana untuk menentukan limit, yakni dengan metode substitusi, memfaktorkan, dan merasionalkan penyebut. Bagaimana saja cara yang diterapkan dalam metode-metode tersebut, yuk simak ulasan berikut!

1. Menentukan Limit dengan Substitusi

Apabila nilai suatu fungsi untuk x mendekati a, yang mana a adalah bilangan riil, maka dapat ditentukan dengan cara substitusi. Dalam cara substitusi ini nantinya akan mengganti nilai x dengan a. Namun, apabila hasilnya menjadi (∞-∞) atau 0/0 ∞/∞. Maka cara ini tidak dapat diterapkan secara langsung. Ada baiknya jika fungsi yang diambil limitnya itu perlu disederhanakan lagi.  Perhatikan contoh berikut.

hasil dari limit  adalah 1.

Dengan menggunakan cara substitusi, didapat nilai limit sebagai berikut:

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell limit as x rightwards arrow 3 of 2 x minus 5 end cell equals cell 2 left parenthesis 3 right parenthesis minus 5 end cell row blank equals cell 6 minus 5 end cell row blank equals 1 end table

Dengan demikian, hasil dari limit  adalah 1.

2. Menentukan Limit dengan Memfaktorkan

Dalam cara ini, anggap saja kita memiliki soal berupa lim→a f(x)/g(x) . Nah, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila x = a maka dapat disubstitusikan pada fungsi yang diambil limitnya tersebut, sehingga akan menghasilkan

Maka dari itu, fungsi tersebut harus disederhanakan lagi dengan cara memfaktorkan f(x) dan g(x) sehingga keduanya dapat memiliki faktor yang sama. Selanjutnya, faktor yang sama itu dapat dihilangkan sehingga akan memperoleh bentuk yang lebih sederhana lagi, seperti berikut:

3. Menentukan Limit dengan Merasionalkan Penyebut

Dalam metode ini, apabila dalam suatu fungsi yang akan ditentukan nilai limitnya itu ternyata sulit disederhanakan karena memuat penyebut yang tidak rasional, maka dapat diselesaikan dengan merasionalkan penyebutnya terlebih dahulu. Cara merasionalkan penyebut pada suatu pecahan ini pernah kita pelajari ketika SD lho, apakah Grameds masih ingat? Nah, perhatikan pembahasan dibawah:

Bagaimana Cara Menentukan Nilai Limit Fungsi Aljabar?

1. Cara Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika Variabelnya Mendekati Nilai Tertentu

Jika menemui soal limit fungsi aljabar yang mana variabelnya mendekati nilai tertentu, maka dapat diselesaikan dengan beberapa metode, yaitu:

  • Metode Substitusi

Perhatikan contoh soal berikut!

Tentukan nilai lim  2x2 + 5x→3

Penyelesaian:

Nah ketika ditanya berapa nilai limit untuk fungsi diatas ?.

Kita menggantikan nilai x = 3 untuk variabel x pada 2x2, nah inilah yang dinamakan substitusi. Sehingga penyelesaian limit di atas secara subsitusi adalah :
lim  2x2 + 5 = 2.(3)2 + 5 = 23x→3

  • Metode Pemfaktoran

Metode ini akan digunakan apabila fungsi-fungsi tersebut dapat difaktorkan sehingga tidak menghasilkan nilai tak terdefinisi. Perhatikan contoh berikut!

Dalam contoh soal tersebut, jika x=3 maka dapat kita substitusikan menjadi f(3) = 3 akar 2 – 9 / 3 -3 = 0/0

Nah, Grameds pasti sudah tahu bahwa semua bilangan yang dibagi dengan 0 akan menjadi tidak terdefinisi. Itu berarti jika kita menentukan nilai pada contoh soal tadi, kita harus mencari fungsi yang baru supaya tidak terjadi pembagian dengan angka 0.

Dengan menggunakan metode substitusi akan menghasilkan bentuk tak terdefinisikan (0/0) :

limx→ 1
x2 + 2x – 3x – 1

=

12 + 2(1) – 31 – 1

=

00

Maka harus diselesaikan dengan metode pemfaktoran :

limx→ 1
x2 + 2x – 3x – 1

=

limx→ 1
(x – 1)(x + 3)(x – 1)

limx→ 1

(x + 3)

⇔ (1 + 3)
⇔ 4
  • Metode Merasionalkan Penyebut

Pada cara ketiga ini dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!

Contoh:

  • Metode Merasionalkan Pembilang

Pada cara ini, hampir sama dengan metode sebelumnya, yakni dapat digunakan jika penyebutnya berbentuk akar yang memang perlu untuk dirasionalkan, sehingga supaya tidak terjadi pembagian angka 0 dengan 0. Perhatikan contoh soal berikut!

  1. Menentukan Limit Fungsi Aljabar Jika Variabelnya Mendekati Tak Berhingga

Bentuk limit fungsi aljabar dapat juga terjadi jika variabelnya mendekati tak berhingga, contohnya seperti:

lim x→∞ f(x)/g(x) lim x→∞ [f(x)+g(X)

Nah, jika ada soal demikian maka dapat diselesaikan dengan beberapa metode, yakni berupa membaginya dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan faktor lawan. Berikut ulasannya! lim x→∞ f(x)/g(x) lim x→∞ [f(x)+g(X)

  • Metode Membagi dengan Pangkat Tertinggi

Pada cara ini, biasanya digunakan untuk mencari nilai lim x→∞ f(x)/g(x) . Caranya adalah dengan membagi f(x) dan g(x) dengan pangkat yang tertinggi dari n yang terdapat pada f(x ) atau g (x). Supaya lebih paham, perhatikan contoh soal berikut!

Contoh Soal :

  • Metode Mengalikan dengan Faktor Lawan

Pada metode ini, digunakan untuk menyelesaikan lim x→∞ {F(x)+G (X)

Perhatikan contoh soal dan penyelesaiannya berikut!

Nah, itulah ulasan mengenai apa itu limit fungsi aljabar dan metode-metode yang dapat digunakan menyelesaikannya. Apakah Grameds sudah menerapkan beberapa metode tersebut pada soal limit fungsi aljabar ini?

Baca Juga!

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.