Turunan Fungsi Trigonometri: Rumus, Perluasan, dan Contoh Soal

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri dan Perluasannya – Rumus turunan fungsi trigonometri penting untuk diketahui para siswa sekolah menengah saat belajar matematika. Trigonometri berupa fungsi sebuah sudut digunakan untuk menghubungkan sudut-sudut dengan sisi-sisi segitiga. Dengan kata lain, trigonometri merupakan ilmu yang digunakan untuk mengukur segitiga.

Ketika mempelajari trigonometri, akan ada beberapa identitas umum yang digunakan, mulai dari fungsi sinus, cosines, tangen, secan, cosecan, dan kotangen. Keenam identitas trigonometri tersebut diterapkan dalam sejumlah rumus. Identitas dan rumus ini menunjukkan gabungan antara fungsi serta digunakan untuk menemukan sudut segitiga.

Lebih lanjut, rumus trigonometri ini dikembangkan lagi menjadi rumus turunan fungsi trigonometri. Sesuai dengan sebutannya, fungsi ini untuk menemukan turunan dari fungsi trigonometri atau tingkat perubahan yang terjadi terkait suatu variabel. Dalam hal ini, terdapat beberapa rumus khusus dalam turunan fungsi trigonometri.

Sebagai materi dasar, penting untuk mengetahui pengertian dari turunan fungsi trigonometri, berbagai rumus, dan cara operasinya. Selain rumus umum, ada juga perluasan turunan fungsi trigonometri lain yang sering digunakan. Perluasan turunan fungsi trigonometri ini digunakan jika terjadi pada beberapa kondisi variabel tertentu.

Berikut beberapa rumus turunan fungsi trigonometri dan rumus perluasannya yang perlu kalian ketahui.

Daftar Isi

Penemu Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Sir Isaac Newton.

Gottfried Wilhem Leibniz.

Turunan merupakan salah satu cabang diferensial kalkulus. Sejarah perkembangannya juga berhubungan erat dengan perkembangan kalkulus. Konsep turunan dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642-1727), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhem Leibniz (1646-1716), ahli matematika bangsa Jerman.

Sejarah perkembangan kalkulus dibagi menjadi beberapa zaman sebagai berikut.

Pada zaman kuno, pemikiran integral kalkulus sudah muncul, tetapi belum dikembangkan secara baik dan lebih teratur. Fungsi utama dari integral kalkulus adalah perhitungan volume dan luas yang ditemukan kembali di Papirus Moskwa dari Mesir. Pada Papirus tersebut, orang Mesir dapat menghitung volume piramida yang mereka bangun. Selanjutnya, Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh lagi.
Pada zaman pertengahan, matematikawan yang berasal dari India bernama Aryabhata, menggunakan konsep kecil tak terhingga pada 499 dan menunjukkan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian membawa Bashkara II pada abad ke-12 melakukan pengembangan terhadap bentuk awal turunan.
Pada abad ke-12, seorang Persia bernama Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan.

Turunan memiliki banyak aplikasi dalam bidang kuantitatif. Salah satunya adalah hukum gerak Newton yang kedua yang menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda juga sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Laju reaksi dari reaksi kimia juga termasuk turunan.

Dengan fungsinya dalam bidang ekonomi, turunan juga dapat memberikan strategi yang terbaik untuk perusahaan yang sedang dalam persaingan. Turunan dapat menghitung efektivitas waktu dan tenaga kerja agar biaya menjadi minimum. Selanjutnya, turunan juga dapat menghitung berapa jam pabrik harus bekerja agar keuntungan menjadi maksimal.

Dalam materi turunan ini banyak yang berpendapat sangat sulit untuk dikerjakan, terlebih materi turunan ini termasuk dalam materi pokok matematika, turunan merupakan cabang dari pelajaran kalkulus, pada dasarnya materi kalkulus ini memerlukan ketelitian dan kecermatan dalam menggerakkannya. Oleh karena itu, artikel ini ditulis dengan tujuan mempermudah dalam pembelajaran para siswa. Artikel ini menyajikan materi beserta soal dan pembahasan yang mudah dipahami.

Diferensial kalkulus itu sangat penting peranannya dalam kehidupan sehari-hari, dunia bisnis maupun dalam dunia sains. Dengan mempelajari diferensial kalkulus, dapat membantu arsitek dalam membuat konstruksi bangunan, melakukan pencampuran bahan bangunan, membuat tiang-tiang, langit-langit pada bangunan.

Penggunaan lain dalam difererensial kalkulus, yaitu dalam pembuatan pesawat dan kapal laut. Turunan juga memiliki fungsi penting, apalagi nantinya dapat berguna dalam bidang ekonomi, dalam menghitung nilai minimum dan maksimum sebuah keuangan.

Mempelajari turunan tidaklah sulit, hanya saja perlu ketelitian agar turunan yang dihasilkan nanti benar. Selain itu, turunan hanya menggunakan konsep hitung yang dasar seperti perkalian, pembagian, penjumlahan, dan pengurangan. Tanpa ketelitian mengerjakan turunan memang terkadang sulit dan perlu diperiksa ulang hingga benar.

Pengertian Turunan dan Turunan Fungsi

1. Pengertian dari Turunan

Turunan atau deriviatif adalah pengukuran terhadap fungsi yang berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan proses suatu besaran berubah akibat perubahan besaran yang lainnya. Contohnya: turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu ialah kecepatan sesaat oleh objek tersebut.

Proses dalam menemukan sebuah turunan disebut dengan diferensiasi, sedangkan kebalikan dari sebuah turunan disebut dengan anti turunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa anti turunan, yaitu sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah dua fungsi penting dalam kalkulus.

$turunan fungsi trigonometri$ .
$(\sin x)'=\cos x\,$ .
$(\cos x)'=-\sin x\,$ .
$(\tan x)'=\sec ^{2}x\,$ .

Dengan keterangan :

${\displaystyle y'} - turunan fungsi trigonometri$ adalah simbol untuk turunan pertama.
${\displaystyle y''} - turunan fungsi trigonometri$ adalah simbol untuk turunan kedua.
${\displaystyle y'''} - turunan fungsi trigonometri$ adalah simbol untuk turunan ketiga.

Simbol yang lainnya selain $y'\,$ dan $y''\,$ ialah ${\frac {dy}{dx}}\,$ dan $turunan fungsi trigonometri$ .

2. Pengertian dari Turunan Fungsi

Turunan fungsi (diferensial), yaitu suatu fungsi lain daripada sesuatu fungsi sebelumnya, misalkan dalam fungsi f menjadi f’ yang memiliki nilai tidak beraturan. Suatu konsep dari turunan yang menjadi bagian utama dalam kalkulus ditemukan oleh seorang ilmuwan ahli matematika dan juga ahli fisika berkebangsaan Inggris bernama Sir Isaac Newton dan ahli matematika dari Jerman bernama Gottfried Wilhelm Leibniz.

Umumnya, turunan (diferensial) ini biasa dipakai sebagai suatu alat dalam menyelesaikan berbagai macam masalah-masalah di bidang geometri dan juga mekanika. Suatu konsep turunan fungsi yang secara universal atau menyeluruh banyak sekali digunakan di dalam berbagai bidang keilmuan. Sebut saja dalam bidang ekonomi digunakan untuk menghitung berupa biaya total atau total penerimaan. Adapun dalam bidang biologi digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan organisme.

Selanjutnya, dalam bidang fisika digunakan untuk menghitung kepadatan kawat. Untuk bidang kimia digunakan untuk menghitung laju pemisahan. Terakhir, dalam bidang geografi dan sosiologi digunakan untuk menghitung laju pertumbuhan penduduk dan masih banyak lagi.

Rumus Dasar dari Turunan dari Turunan Fungsi

Menenai soal aturan-aturan yang ada didalam kosep turunan fungsi adalah sebagai berikut :

f(x), menjadi f'(x) : 0.
Apabila f(x) : x, maka f’(x) : 1.
Aturan pangkat : apabila f(x) : xⁿ, maka f’(x) : n X ^{n – 1.}
Aturan kelipatan konstanta : apabila (kf) (x) : k. f’(x).
Aturan rantai : apabila ( f o g ) (x) : f’ (g (x)). g’(x)).

Mengenal Trigonometri dan Identitasnya

Sebelum mengetahui rumus turunan fungsi trigonometri, perlu dipahami terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan fungsi trigonometri. Seperti disebutkan sebelumnya trigonometri merupakan fungsi yang digunakan untuk menghubungkan sudut-sudut dan sisi-sisi dalam segitiga.

Dalam hal ini, sudut sinus, cosinus, dan tangent merupakan fungsi utama dari trigonometri. Kemudian dari ketiga fungsi ini diturunkan menjadi fungsi trigonometri lainnya yaitu secan, cosecan, dan kotangen. Berikut karakteristik dari fungsi dasar trigonometri yang perlu kalian pahami:

Sinus, yaitu perbandingan sisi depan sudut segitiga dengan sisi miring. Perbandingan ini digunakan dengan catatan segitiga tersebut berupa siku-siku, atau salah satu sudutnya memiliki besaran 90 derajat. Untuk fungsi ini, nilai sinus positif berada di kuadran I dan II, sedangkan kuadran III dan IV berupa nilai negatif.
Cosinus, yaitu perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring. Sama seperti sinus, perbandingan ini digunakan dengan catatan segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudutnya memiliki besaran 90 derajat. Namun, dalam perbandingan ini nilai positif berada di kuadran I dan IV, sedangkan kuadran II dan III berupa nilai negatif.
Tangen, yaitu perbandingan sisi segitiga yang terletak di depan sudut dengan sisi segitiga di bagian sudut. Perbandingan ini digunakan dengan catatan segitiga tersebut berupa siku-siku, atau salah satu sudutnya memiliki besaran 90 derajat. Untuk perbandingan ini, nilai positif berada di kuadran I dan III, sedangkan kuadran II dan IV berupa nilai negatif.

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Dasar

Setelah memahami fungsi dasar trigonometri, berikutnya perlu diketahui turunan fungsi trigonometri. Fungsi turunan ini tidak lain digunakan untuk mengetahui rumus turunan dari fungsi trigonometri dasar.

Berikut beberapa rumus turunan fungsi trigonometri dasar yang perlu kalian ketahui:

Turunan dari f (x) = sin x adalah f ‘(x) = cos x.
Turunan dari f (x) = cos x adalah f ‘(x) = -sin x.
Turunan dari f (x) = tan x adalah f ‘(x) = sec2 x.
Turunan dari f (x) = kotangen x adalah f ‘(x) = -cosecan2 x.
Turunan dari f (x) = secan x adalah f ‘(x) = sec x . tan x.
Turunan dari f (x) = cosecan x adalah f ‘(x) = -cosecan x . cotangen x.

Rumus Perluasan Turunan Fungsi Trigonometri

Selain beberapa rumus turunan fungsi trigonometri dasar, terdapat beberapa rumus perluasan yang tak kalah penting untuk diketahui.

Fungsi perluasan ini digunakan jika ditemukan beberapa kondisi tertentu. Pertama, rumus turunan yang didapat dari turunan u terhadap x, dan fungsi perluasan kedua didapat jika variabel sudut trigonometrinya adalah (ax+b). Berikut penjelasan rumusnya.

Rumus perluasan turunan fungsi trigonometri I

Turunan dari f (x) = sin u adalah f ‘(x) = cos u . u’.
Turunan dari f (x) = cos u adalah f ‘(x) = -sin u . u’.
Turunan dari f (x) = tan u adalah f ‘(x) = sec2u . u’.
Turunan dari f (x) = cot u adalah f ‘(x) = -csc2 u . u’.
Turunan dari f (x) = sec u adalah f ‘(x) = sec u tan u . u’.
Turunan dari f (x) = csc u adalah f ‘(x) = -csc u cot u . u’.

Rumus perluasan turunan fungsi trigonometri II

Turunan dari f (x) = sin (ax + b) adalah f ‘(x) = a cos (ax + b).
Turunan dari f (x) = cos (ax + b) adalah f ‘(x) = -a sin (ax + b).
Turunan dari f (x) = tan (ax + b) adalah f ‘(x) = a sec2 (ax +b).
Turunan dari f (x) = cot (ax + b) adalah f ‘(x) = -a csc2 (ax+b).
Turunan dari f (x) = sec (ax + b) adalah f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b).
Turunan dari f (x) = csc (ax + b) adalah f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Contoh Soal

Berikut ini terdapat beberapa contoh soal turunan trigonometri.

Contoh 1

Turunkan fungsi berikut ini.

y = 5 sin x

Pembahasan:

y = 5 sin x
y’ = 5 cos x

Contoh 2

Diberikan fungsi f(x) = 3 cos x
Tentukan nilai dari f ‘ (/2)

Pembahasan:

Perhatikan rumus turunan untuk fungsi trigonometri berikut ini.

y = sin x adalah y‘ = cos x.
y = cos x adalah y‘ = -sin x.
y = tan x adalah y‘ = sec² x.
y = cosec x adalah y‘ = -cosec x cot x.
y = sec x adalah y‘ = sec x . tan x.
y = cot x adalah y‘ = -cosec²x.

f(x) = 3 cos x.
f ‘(x) = 3 (-sin x).
f ‘(x) = -3 sin x.
Untuk x = /2 diperoleh nilai f ‘(x).
f ‘(/2) = -3 sin (/2) = -3 (1) = -3.

Contoh 3

Tentukan turunan pertama dari y = -4 sin x.

Pembahasan:

y = -4 sin x.
y’ = -4 cos x.

Contoh 4

Diberikan y = -2 cos x. Tentukan y’.

Pembahasan

y = -2 cos x
y’ = -2 (-sin x)
y’ = 2 sin x

Contoh 5

Tentukan y’ dari y = 4 sin x + 5 cos x.

Pembahasan:

y = 4 sin x + 5 cos x
y’ = 4 (cos x) + 5 (-sin x)
y ‘ = 4 cos x -5 sin x

Contoh 6

Tentukan turunan dari y = 5 cos x -3 sin x.

Pembahasan:

y = 5 cos x -3 sin x
y’ = 5 (-sin x) – 3 (cos x)
y’ = -5 sin x -cos x

Contoh 7

Tentukan turunan dari:

y = sin (2x + 5)

Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = sin (2x + 5)
y ‘ = cos (2x + 5) . 2 -> Angka 2 diperoleh dari menurunkan 2x + 5
y’ = 2 cos (2x + 5)

Contoh 8

Tentukan turunan dari y = cos (3x -1)

Pembahasan:

Dengan aplikasi turunan berantai maka untuk

y = cos (3x -1)
y ‘ = -sin (3x -1) . 3 -> Angka 3 diperoleh dari menurunkan 3x -1
Hasil akhirnya adalah y’ = -3 sin (3x -1)

Contoh 9

Tentukan turunan dari y = sin² (2x -1).

Pembahasan:

Turunan berantai:

y = sin² (2x -1)
y’ = 2 sin ^2-1 (2x -1) . cos (2x -1) . 2
y’ = 2 sin (2x -1) . cos (2x -1) . 2
y’ = 4 sin (2x -1) cos (2x -1)

Contoh 10

Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x)

Turunan pertama fungsi f adalah f ‘ maka f ‘(x) =….

Pembahasan

f(x) = sin³ (3 – 2x)

Turunkan sin³ nya,
Turunkan sin (3 – 2x)nya,
Turunkan (3 – 2x)nya.

Hasilnya dikalikan semua seperti ini:
f(x) = sin³ (3 – 2x)
f ‘ (x) = 3 sin ² (3 -2x) . cos (3 -2x) . -2
f ‘ (x) = -6 sin ² (3 -2x) – cos (3 -2x)

Sampai sini sudah selesai, tetapi di pilihan belum terlihat, diotak-atik lagi pakai bentuk sin 2 = 2 sincos

f ‘ (x) = -6 sin ² (3 -2x) . cos (3 -2x)
f ‘ (x) = -3 . 2 sin (3 -2x) . sin (3 – 2x) . cos (3 -2x)
f ‘ (x) = -3 . 2 sin (3 -2x) . cos (3 – 2x) . sin (3 -2x)
|_____________________|
|

sin 2 (3 -2x)
f ‘ (x) = -3 sin 2(3 – 2x) . sin (3 -2x)
f ‘ (x) = -3 sin (6 – 4x) sin (3 -2x)
atau:
f ‘ (x) = -3 sin (3 -2x) sin (6 – 4x)

Contoh 11

Diketahui fungsi f(x) = sin² (2x + 3) dan turunan dari f adalah f’. Maka f’ (x) = …

Pembahasan:

Turunan berantai
f(x) = sin² (2x + 3)
Turunkan sin² nya,
Turunkan sin (2x + 3)nya,
Turunkan (2x + 3)nya.
f ‘(x) = 2 sin (2x + 3) . cos (2x + 3) . 2
f ‘(x) = 4 sin (2x + 3) . cos (2x + 3)

Demikianlah penjelasan tentang turunan fungsi trigonometri, semoga bermanfaat dan sampai jumpa di pembahsan selanjutnya. Jika ada yang masih kurang jelas atau pertanyaan lain terkait turunan fungsi trigonometri, sampaikan di kolom komentar.

BACA JUGA: