Matematika

Sifat Sifat Eksponen, Fungsi, hingga Contoh Penerapannya

Sifat sifat Eksponen
Written by Hendrik Nuryanto

Sifat sifat Eksponen – Bilangan eksponen merupakan salah satu mata pelajaran matematika yang diajarkan di sekolah.

Konsep eksponensial tidak asing bagi siswa. Salah satu rumus yang diajarkan dalam matematika memiliki berbagai sifat eksponensial. Untuk menjelaskan hal ini, artikel ini akan membahas semua tentang eksponen.

Apakah Anda tahu kapan fungsi eksponensial menjadi terkenal? Metode ini pertama kali ditemukan oleh Euclid, seorang matematikawan Yunani yang dikenal sebagai bapak geometri. Ini pertama kali digunakan secara modern oleh Michael Stifel pada tahun 1544.

Bilangan eksponensial adalah salah satu dari banyak metode yang dipilih oleh para ilmuwan atau matematikawan. Apalagi jika perlu menuliskan banyak nol atau banyak desimal setelah 0. Angka ini juga sering digunakan dalam ilmu ekonomi dan komputer.

Untuk itu agar sobat Grameds dapat lebih mudah memahami mengenai pengertian bilangan eksponen dan sifat-sifatnya dalam pelajaran matematika pada pembahasan kali ini kami telah merangkum berbagai informasi terkait pengertian bilangan eksponen yang dapat sobat Grameds simak dengan baik sebagai tambahan ilmu pengetahuan.

Selanjutnya pembahasan mengenai pengertian dan sifat bilangan eksponen dapat kalian simak di bawah ini!

Pengertian Bilangan Eksponen

Sederhananya, bilangan eksponensial didefinisikan sebagai metode perkalian yang memiliki jumlah dan pengulangan yang sama. Singkatnya, kita dapat mengatakan bahwa eksponen adalah perkalian berulang, sedangkan jika kita melihatnya dari segi bentuk, itu adalah a. di mana a adalah basis dan n adalah eksponen atau pangkat.

Bilangan eksponensial adalah bilangan yang mengandung pangkat, atau disingkat disebut berpangkat. Eksponen adalah cara mengalikan angka dengan dirinya sendiri berulang kali. Eksponen adalah salah satu konsep matematika dasar yang menggambarkan kekuatan suatu angka atau variabel. Eksponen ditulis sebagai angka setelah variabel yang akan dipangkatkan.

Eksponen juga bisa berupa bilangan negatif atau bilangan desimal yang menyatakan pembagian dengan pangkat yang sama dengan bilangan tersebut.

Eksponen adalah cara menyatakan bilangan besar dalam bentuk eksponensial. Artinya eksponen menunjukkan berapa kali suatu bilangan dikalikan dengan dirinya sendiri.

Misalnya, 5 dikalikan dengan dirinya sendiri empat kali adalah 5 x 5 x 5 x 5. Bisa ditulis 5⁴. Di sini 5 adalah bilangan dasar dan pangkat empat (⁴) adalah eksponen. Angka ini dapat dibaca sebagai 5 pangkat 4. Tanpa eksponen, angka yang digunakan berulang kali akan sulit ditulis. Karena lebih mudah menulis 5⁴ daripada 5 x 5 x 5 x 5.

Simbol yang digunakan untuk mendeskripsikan eksponen adalah tanda ^. Misalnya, 4 pangkat 2 dapat ditulis sebagai 4^2 atau 4².

1. Bilangan Eksponen Menurut KBBI

Kamus eksponen KBBI berisi kata-kata yang berhubungan dengan homonim. Ini karena mereka memiliki ejaan dan pengucapan yang sama tetapi memiliki arti yang berbeda. Berikut pengertian eksponensial dalam kamus KBBI:

  • Eksponen didefinisikan sebagai orang yang menjelaskan atau menafsirkan teori. Dimana sebuah teori merupakan dan bagian contoh dari sebuah teori.
  • Eksponen juga diartikan sebagai orang atau tokoh penting dalam suatu gerakan atau bidang kehidupan.
  • Eksponen adalah angka yang ditulis di atas angka lain di sebelah kanan. Angka menunjukkan urutan angka, misalnya 2^3, yang dibaca sebagai dua pangkat 3.

Sifat sifat Eksponen

Sifat-Sifat Bilangan Eksponen

Sifat sifat eksponen juga sering disebut sebagai hukum keadaan eksponen, yang digunakan untuk menyelesaikan soal eksponen. Berdasar halaman CueMath, sifat eksponen seperti aturan utama yang harus diikuti oleh eksponen saat menyelesaikan setiap bilangan berpangkat (eksponen).

Sifat-sifat eksponen yang berbeda dijelaskan berdasarkan kekuatannya. Pada dasarnya ada dua hukum eksponen, yaitu hukum perkalian dan hukum pembagian. Dari sana selanjutnya dipecah kembali menjadi tujuh sifat eksponensial berikut:

  • a^mxa^n = a^(m + n)
  • a^m ÷ a^n = a^(m-n)
  • (a^m)^n = a^mn
  • (ab)^m = a^m b^m
  • (a/b)^m = a^m/b^m
  • a^0 = 1
  • a^(-m) = 1/a^m

Sifat-sifat eksponen ini digunakan untuk menyederhanakan ekspresi aljabar yang kompleks dan untuk menulis bilangan besar secara sederhana dan mudah dipahami. Setiap sifat dari bilangan eksponensial akan dijelaskan melalui poin-poin berikut ini:

1. Sifat sifat eksponen perkalian (law of product)

Sifat  pertama dari eksponen terkait dengan aturan perkalian. Jika hukum hasil kali menyatakan bahwa aturan dua bilangan atau lebih yang memiliki basis yang sama, nilainya sama dengan basis persekutuan yang dipangkatkan dengan eksponen.

Artinya, jika kita mengalikan bilangan pokok yang sama, meskipun dengan eksponen yang berbeda, kita hanya perlu menjumlahkan eksponennya saja. Contoh:

2² x 2⁴ = 2 (² + ⁴)

= 2⁶

= 64

2. Sifat sifat eksponen pembagian (law of quotient)

Sifat pembagian eksponensial menyatakan bahwa hasil bagi dari dua bilangan atau lebih dengan basis yang sama sama dengan pangkat basis persekutuan dari selisih eksponensial. Dengan kata lain, jika kita membagi bilangan pokok yang sama, meskipun dengan eksponen yang berbeda, kita hanya perlu melakukan satu operasi pengurangan pada eksponen tersebut.

Contoh:

2⁴ ÷ 2² = 2 (⁴ – ² )

= 2²

= 4

3. Sifat sifat eksponen pangkat dari pangkat (law of power of power)

Sifat ketiga dari eksponen terkait dengan kekuatan eksponen. Jika kita ingin mencari pangkat suatu bilangan, kita hanya perlu mengalikan eksponennya.

Sebagai contoh:

(2⁴)² = 2(⁴x²)

= 2⁸

= 256

4. Sifat sifat eksponen keempat (law of power of a product)

Selanjutnya mari beralih ke hukum eksponensial keempat. Ketika dua bilangan dasar dipangkatkan dengan eksponen yang sama, hasilnya sama seperti jika setiap bilangan dikalikan dengan eksponen secara terpisah.

Dengan kata lain, perkalian dua bilangan berbeda dengan eksponen yang sama sama dengan perkalian setiap bilangan dengan eksponen tersebut. Contoh:

(2 x 3)² = 2² x 3²

= 4×9

= 36

5. Sifat sifat eksponen kelima (hukum pangkat hasil bagi)

Sifat eksponensial dari hasil bagi menyatakan bahwa membagi dua angka dengan pangkat dua memberikan jawaban yang sama, dalam hal ini setiap angka dibagi dengan eksponen terpisah.

Artinya, saat kita menaikkan hasil bagi menjadi pangkat, kita menaikkan bilangan dan penyebut menjadi pangkat.

Contoh:

(4/2)² = 4/2 x 4/2

= 4×4/2×2

= 4²/2²

= 16/4

= 4

6. Sifat sifat eksponen keenam (Hukum pangkat 0)

Nah, sifat eksponensial keenam sangat sederhana. Hukum eksponen nol menyatakan bahwa setiap angka yang dipangkatkan dengan nol (0) memiliki nilai satu (1).

Menurut studi matematika, ini diberikan oleh persamaan contoh berikut:

1 = a²/a²

= a²-²

= a⁰

a⁰ = 1

7. Sifat sifat eksponen ketujuh (hukum eksponen negatif)

Dengan sifat eksponensial ketujuh, sifat ini berlaku untuk bilangan prima dengan eksponen negatif. Ketika aturan eksponensial negatif menyatakan bahwa basis dengan eksponen negatif sama dengan kebalikan dari basis ditambah, yang merupakan kebalikan dari eksponen.

Eksponen negatif menyatakan berapa kali kita harus mengalikan basis. Misalnya, jika a^(-m) ditentukan, dapat diperluas menjadi 1/a^m seperti yang ditunjukkan di atas. Ini berarti bahwa kita harus mengalikan kebalikan dari a, yaitu 1/a, dengan m kali banyaknya.

Eksponen negatif digunakan saat menulis pecahan dengan eksponen. Beberapa contoh eksponen negatif yang diubah menjadi eksponen positif adalah:

2 x 3-⁹ = 2 x (1/3⁹) = 2/3⁹

7-³ = 1/7³

67-5 = 1/675

Tujuh sifat eksponensial yang dijelaskan adalah aturan dasar untuk menggunakan bilangan eksponensial. Mengetahui berbagai sifat-sifat yang ada pada bilangan eksponen di atas menjadikan sobat Grameds lebih mudah memahaminya kan?

Fungsi Bilangan Eksponen

Fungsi eksponensial menggunakan penerapan bilangan berpangkat dalam matematika. Sebelum kita membahas rumus eksponensial lebih lanjut. Ketika Anda mempelajari rumus eksponensial, Anda pasti akan menemukan fungsi eksponensial di dalamnya. Jadi apa itu fungsi eksponensial? Fungsi eksponensial adalah fungsi yang berisi variabel di bagian eksponensial.

Bentuk umum fungsi eksponensial adalah sebagai berikut!

Jika kamu mengetahui fungsi variabel x, persamaan di atas juga dapat dimodifikasi dalam variabel x sehingga menjadi:

Perhatikan contoh berikut.

Fungsi eksponensial dinyatakan sebagai f(x) = 23x+1. Temukan nilai fungsi jika x = 1.

Hasil:

Untuk mengatasi masalah ini, Anda harus mengganti nilai x = 1 pada variabel x di bagian fungsi.

f(x) = 23x+1

↔ f(1) = 23(1)+1

↔f(1) = 24 = 16.

Sifat sifat Eksponen

Rumus Bilangan Eksponen

Anda memerlukan rumus jika ingin menentukan eksponen dalam matematika. Rumus eksponensial dalam matematika dibagi menjadi dua bagian utama, yaitu persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial. Berikut penjelasannya:

1. Persamaan eksponensial

Merujuk pada buku Matematika Pasti Bisa Karya Tim Operasi Ganesha untuk SMA/MA Kelas X, persamaan eksponensial adalah persamaan yang mengandung fungsi eksponensial. Bentuk-bentuk persamaan eksponensial adalah sebagai berikut.

A.. a^f(x) = 1, lalu f(x) = 0

Contoh:

2^x-4 = 1

2x – 4 = 0

2x = 4

X = 4/2

x = 2

Jadi x = 2 adalah hasilnya.

B. a^f(x) = a^p, a ≠ 0, lalu f(x) = p

Contoh:

2^2x-5 = 2^3

2x – 5 = 3

2x = 3 + 5

2x = 8

x = 8/2

x = 4

Jadi x = 2 adalah hasilnya.

C. a^f(x) = a^g(x), a ≠ 0, jika f(x) = g(x);

contoh:

2^3-10 = 2^4x-5

3x – 10 = 4x –

3x – 4x = -5 +

x = -5

Dari x = -5 adalah hasilnya.

D. a^f(x) = b^f(x); a, b ≠ 0; a, b ≠ 1; jika a ≠ b, maka f(x) =

Contoh:

2^5x-5 = 3^5x-5

5x – 5 =

5x =

x = 1

Jadi x = 1 adalah hasilnya..

E. A(a^f(x))^2 + B(a^f(x)) + C = 0, maka hasil dari penyelesaiannya = a^f(x) ini

Contoh:

2^2x – 2^2x + 2 = 0

(2^x)^2 – 3 . 2^x + 2 = 0

Misalkan p = 2^x, lalu p^2 – 3p + 2 = 0

(p – 2) (p – 1) = 0

p=2 atau p=1

2^x = 2

x = 1

Jadi x = 1 adalah hasilnya.

F.f(x)^g(x) = f(x)^b(x)

Ada 4 kemungkinan dalam persamaan ini, yaitu:

g(x) = b(x)

f(x) = 1

f(x) = -1, di mana g(x) dan b(x) bersama-sama genap atau ganjil

f(x) = 0, di mana g(x) > 0 dan b(x) > 0

2. Pertidaksamaan eksponensial

Mengutip kembali buku Tim Ganesha Operation Matematika Pasti Bisa untuk SMA/MA Kelas X, pertidaksamaan eksponensial adalah pertidaksamaan yang berbentuk eksponensial atau eksponensial yang melibatkan variabel x. Memecahkan pertidaksamaan eksponensial dapat ditentukan oleh sifat-sifat fungsi naik dan turun eksponen. Ini rumusnya:

A. a^f(x) > a^g(x)

Hasilnya:

Jika 0 < a < 1, maka f(x) < g(x)

Jika a > 1, maka f(x) > g(x)

B. a^f(x) < a^g(x)

Penyelesaiannya:

Jika 0 < a < 1, maka f(x) > g(x)

Jika a > 1, maka f(x) < g(x)

Contoh Penerapan Eksponen Dalam Berbagai Bidang Keilmuan

Apakah sobat Grameds tahu bahwa eksponen yang dipelajari di SMA sangat berguna untuk memecahkan masalah di berbagai bidang. Oleh karena itu, sangat penting bagi sobat untuk mempelajari beberapa materi tersebut. Berikut adalah beberapa contoh penggunaan eksponen dalam berbagai bidang keilmuan.

1. Biologi

Dalam biologi, eksponen sering digunakan untuk menghitung pertumbuhan bakteri. Sebagai contoh, berikut adalah contoh kasus:

Amoeba dapat tumbuh dengan cepat dengan membelah diri, sehingga jumlahnya akan terus bertambah seiring waktu. Dalam hal ini, rumus eksponensial yang digunakan adalah At = A0 x (2)t. A0 = 40 pada pukul 09:00. Berapa banyak amoeba yang ada pada pukul 09.08.

Hasil:

A0 = Banyak amuba

t = Waktu pengamatan

At = A0 x (2)t

At = 100 x (2)8

At = 100 x 256

At = 25.600

Jadi dalam 8 menit jumlah amoeba menjadi 25.600

2. Ekonomi

Rumus eksponensial juga digunakan dalam ekonomi. Biasanya digunakan di perbankan untuk menghitung bunga majemuk. Berikut adalah contoh kasus menggunakan eksponensial.

Jika Anda berencana menabung Rp 10.000.000 dalam 10 tahun ke depan. Berapa banyak uang yang harus Anda tabung per tahun jika bunga majemuk 24% per tahun? Inilah solusinya.

Dalam menentukan penyelesaian diterapkan prinsip bunga majemuk yaitu y = p(1+) mt dengan keterangan sebagai berikut:

y: modal akhir

p: modal pertama

r: bunga besar

m: jumlah bunga

t: waktu

10.000.000 = p(1 + 0,241)10

10.000.000 = (1,24)10

P = 10.000.0001,24. 10

P = 10.000.00012.4

P = 806.451,61

Oleh karena itu, jumlah tahunan tabungannya kira-kira 8.064.561.

3. Ilmu Sosial

Dalam bidang sosial, rumus eksponensial sering digunakan untuk menghitung pertumbuhan penduduk dalam kurun waktu tertentu. Di bawah ini adalah contoh penerapan rumus eksponensial dalam domain sosial:

Misalnya, pada tahun 2014 sekitar 286.841 orang tinggal di wilayah tersebut. Jadi berapa perkiraan jumlah penduduk Kabupaten pada tahun 2024 jika laju pertumbuhan penduduk eksponensial adalah 2,99%?

Untuk menyelesaikan kasus di atas, Anda dapat menggunakan rumus pertumbuhan penduduk, yaitu:

Pt = P0ert dengan keterangan :

Pt : Jumlah penduduk pada tahun 2024

P0: Penduduk 2014 (286.841)

t: waktu tambahan

r: pertumbuhan populasi

e: bilangan eksponensial (2,71828182)

Solusi untuk masalah di atas adalah sebagai berikut:

Pt = P0ert

Pt = 286,841 x e0,0299 x 10

PT = 286,841 x 1,34850962347291

pt = 386.807,

Sifat eksponensial memiliki bentuk yang berbeda yang dapat Anda pelajari sebagai mata pelajaran di sekolah atau diterapkan pada kebutuhan yang berbeda. Rumus ini dapat mempermudah perkalian dengan kelipatan.

Kesimpulan

Sekian pembahasan singkat mengenai definisi dari sifat-sifat bilangan eksponen. Pembahasan kali ini tidak hanya membahas definisi dari sifat-sifat bilangan eksponen saja namun juga membahas lebih jauh bagaimana pengertiannya, fungsi, serta contoh dari penerapan sifat-sifat bilangan eksponen pada bidang keilmuan lain yang dapat sobat grameds simak dengan baik.

Memahami pengertian dari sifat-sifat bilangan eksponen memberikan kita pengetahuan tambahan mengenai berbagai bilangan dan rumus matematika yang dapat kita pelajari serta memudahkan perhitungan secara sederhana. Selain itu sifat-sifat bilangan eksponen juga dapat digunakan dan berguna pada bidang keilmuan lain.

Demikian ulasan mengenai pengertian sifat-sifat bilangan eksponen. Buat Grameds yang mau mempelajari semua hal tentang pengertian sifat-sifat bilangan eksponen. Dan ilmu pengetahuan yang berhubungan dengan matematika lainnya, kamu bisa mengunjungi Gramedia.com untuk mendapatkan buku-buku terkait.

Sebagai #SahabatTanpaBatas, Gramedia selalu memberikan produk terbaik, agar kamu memiliki informasi terbaik dan terbaru untuk kamu. Untuk mendukung Grameds dalam menambah wawasan, Gramedia selalu menyediakan buku-buku berkualitas dan original agar Grameds memiliki informasi #LebihDenganMembaca.

Penulis: Pandu Akram

Artikel terkait:

Bilangan Bulat: Operasi Hitung, dan Contoh Soalnya

Operasi Perkalian Bilangan Bulat: Pengertian, Rumus, dan Soalnya

Teori Bilangan dan Jenis-Jenis Bilangan

Pengertian Invers Matriks: Konsep, Sifat, dan Istilah-Istilahnya

Contoh Barisan dan Deret Aritmetika: Pengertian dan Contoh Soalnya

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.