Matematika

Memahami Pengertian, Rumus, dan Contoh Barisan Aritmatika!

Contoh barisan aritmatika
Written by Hendrik Nuryanto

Contoh barisan aritmatika – Halo sobat Grameds, bisakah kamu melanjutkan urutan angka 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …, …, …? Ayo, nomor berapa yang mengisi ketiga celah itu? Ya benar sekali. Ketiga bagian celah tersebut diisi dengan angka 15, 17 dan 19. Mudah bukan? Apakah Anda sekarang mencoba mencari tahu angka mana yang merupakan angka 20? Nah, Anda pasti pusing? Jika Anda ingin mencari bilangan dalam himpunan yang cukup besar, Anda dapat menggunakan rumus barisan aritmatika.

Dalam matematika terdapat istilah barisan aritmetika yang dapat kita jumpai ketika mempelajari materi aritmatika. Sederhananya, barisan aritmatika adalah angka dengan pola tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Apa yang dimaksud dengan barisan aritmatika? Ayo, simak penjelasannya!

Pengertian Barisan Aritmatika

Contoh barisan aritmatika

Sumber: Materi Mafia Online

Barisan aritmetika adalah barisan tanda atau barisan bilangan dengan selisih tetap. Misalnya seperti di awal artikel ini yaitu urutan angka 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 dst. Jika diperhatikan, selisih bilangan tersebut selalu sama, yaitu 2. Selisih deret aritmetika tersebut disebut selisih, atau dinyatakan secara matematis dengan b. Setiap angka yang menyusun deret disebut suku, atau dinyatakan sebagai Un. Misalnya 1 = Suku ke-1 (U1), 3 = Suku ke-2 (U2), 5 = Suku ke-3 (U3), dst. Sedangkan suku pertama barisan (U1) dinyatakan secara matematis sebagai a.

Perhatikan penjelasan berikut:

Sumber: berpendidikan.com

Barisan bilangan di atas memiliki perbedaan atau selisih 3 antara dua suku barisan yang berurutan. Jadi, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

Dapat diketahui barisan bilangan

Barisan bilangan ini mempunyai perbedaan atau selisih yang tetap antara dua suku deret yang berurutan, yaitu -4. Artinya barisan bilangan merupakan barisan aritmatika.

Dari kedua uraian tersebut dapat kita simpulkan bahwa deret aritmatika memiliki selisih yang tetap (sering ditunjukkan dengan b).

Jika b positif, deret aritmetika dikatakan deret aritmatika yang meningkat. Di sisi lain, ketika b negatif, deret aritmetika dikatakan sebagai deret aritmatika menurun.

Rumus Barisan Aritmatika

Anda memahami urutan aritmatika naik dan turun. Bagaimana cara mencari salah satu suku dalam barisan jika yang diketahui hanya suku pertama dan selisihnya?

Bagaimana cara menemukan perbedaan ketika hanya istilah pertama dan satu istilah lainnya yang diketahui? Untuk menjawabnya, pelajari uraian berikut.

Deret aritmatika dikenal sebagai berikut. U1, U2, U3, U4, U5, U6, …, Un – 1, Un

Dari jalur yang diterima

U1 = a (suku pertama dilambangkan dengan a)

U2 = U1 + b = a + b

U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b

U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = U5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b

Un = Un − 1 + b = (a + (n − 2) b ) + b = a + (n − 1) b

Sehingga rumus barisan aritmatika ke-n dapat ditulis sebagai berikut.

Contoh barisan aritmatika

Sumber: berpendidikan.com

Untuk mencari perbedaan dalam suatu barisan aritmetika, coba kamu perhatikan penjelasan berikut ini.

U2 = U1 + b maka b = U2 − U1

U3 = U2 + b maka b = U3 − U2

U4 = U3 + b maka b = U4 − U3

U5 = U4 + b maka b = U5 − U4

Un = Un − 1 + b maka b = Un − Un − 1

Maka dari itu, perbedaan suatu barisan aritmetika dinyatakan sebagai berikut.

Contoh barisan aritmatika

Sumber: berpendidikan.com

Rumus Barisan Aritmatika Tingkat Dua

Untuk mencari Un pada barisan aritmatika satuan, rumusnya sama dengan rumus baris aritmatika yang telah dipelajari sebelumnya, yaitu Un = a + (n-1)b. Nah, untuk mencari Un pada deret aritmatika dengan dua dan tiga tingkat, Anda bisa menggunakan rumus berikut.

Contoh barisan aritmatika

Sekarang mari kita coba mencari barisan dua tingkat dari rumus ini.

Substitusikan n = 1 pada Un = an2 + bn + c, kita dapatkan suku pertamanya, yaitu:

Un = an2 + bn + c

U1 = a(1)2 + b(1) + c

U1 = a + b + c

Mengganti n = 2 pada Un = an2 + bn + c, kita mendapatkan suku kedua, yaitu:

Un = an2 + bn + c

U2 = a(2)2 + b(2) + c

U2 = 4a + 2b + c

Mengganti n = 3 pada Un = an2 + bn + c, kita mendapatkan suku ketiga, yaitu:

Un = an2 + bn + c

U3 = a(3)2 + b(3) + c

U3 = 9a + 3b + c

Mengganti n = 4 pada Un = an2 + bn + c, kita mendapatkan suku keempat, yaitu:

Un = an2 + bn + c

U4 = a(4)2 + b(4) + c

U4 = 16a + 4b + c

Ini memberikan urutan aritmatika berikut:

Sumber; Ruangguru.com

Jika kita kemudian mencari perbedaan (perbedaan) dari istilah-istilah ini, kita mendapatkan:

Selisih antara suku pertama (U1) dan suku kedua (U2).

b = U2 – U1 = (4a + 2b + c) – (a + b + c)

b = 4a – a + 2b – b + c – c

b = 3a + b

Selisih antara suku kedua (U2) dan suku ketiga (U3).

b = U3 – U2 = (9a + 3b + c) – (4a + 2b + c)

b = 9a – 4a + 3b – 2b + c – c

b = 5a + b

Selisih antara suku ketiga (U3) dan suku keempat (U4).

b = U4 – U3 = (16a + 4b + c) – (9a + 3b + c)

b = 16a – 9a + 4b – 3b + c – c

b = 7a + b

Jadi itu adalah perbedaan antara suku-suku yang berdekatan dalam barisan aritmatika

Sumber: Ruangguru.com

Jadi, karena kita mencari barisan aritmatika dua tingkat menggunakan rumus deret aritmatika dua tingkat, Anda dapat melihat bahwa selisih suku-sukunya tidak tetap atau sama. Jadi mari kita pertimbangkan 3a + b, 5a + b dan 7a + b suku derajat pertama yang baru. Kemudian kita mencari lagi perbedaan antara suku-suku baru untuk mencari perbedaan yang tetap pada tingkat kedua.

Contoh barisan aritmatika

Selisih antara suku pertama tahap pertama (U1*) dan suku kedua tahap pertama (U2*).

b = U2* – U1* = 5a + b – (3a + b)

b = 5a – 3a + b – b = 2a

Selisih semester 2 S1 (U2*) dengan semester 3 S1 (U3*).

b = U3* – U2* = 7a + b – (5a + b)

b = 7a – 5a + b – b = 2a

Jadi selisih antara suku-suku baru tingkat 1 yang berdekatan dalam urutan aritmatika adalah:

Sumber: Ruangguru.com

Jadi sekarang Anda bisa melihat bahwa di level kedua kita bisa mendapatkan selisih tetap yaitu 2a.

Jadi mengapa kita mencari model pengurutan aritmatika dua tingkat seperti pada gambar di atas? Tujuannya adalah untuk memudahkan memperoleh nilai a, b dan c yang terdapat pada rumus deret aritmatika dua tahap (Un = an2 + bn + c).

Contoh Soal Aritmatika

Contoh 1

Pak Topik membuka sebuah warung pecel lele. Di hari pertama buka, Pak Topik menyediakan 20 ekor lele. Di hari kedua, persediaan lele ditambah menjadi 24 ekor lele. Di hari ketiga persediaannya menjadi 28 ekor. Seminggu pertama buka, jumlah lele ditambah dengan penambahan tetap. Berapakah jumlah ekor lele yang disediakan Pak Topik pada hari ketujuh?

Pembahasan:

Diketahui:

Persediaan lele hari pertama (U1) = a = 20

Persediaan lele hari kedua (U2) = 24

Persediaan lele hari ketiga (U3) = 28

Ditanya: U7 =…?

Pembahasan:

Mula-mula, kamu harus mencari selisihnya.

b = 24 – 20 = 4 ekor lele

Dengan demikian,

Jadi, jumlah ekor lele yang disediakan Pak Topik pada hari ketujuh adalah 44 ekor lele.

Contoh 2

Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut.

10, 13, 16, 19, 22, 25, ….

Tentukan:

  1. jenis barisan aritmetikanya,
  2. suku kedua belas barisan tersebut.

Jawab:

Untuk menentukan jenis barisan aritmatika, tentukan nilai beda pada barisan tersebut.

b = U2 − U1

= 13 − 10

= 3

Oleh karena b > 0, barisan aritmetika tersebut merupakan barisan aritmetika naik.

Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut.

Un = a + (n − 1)b maka

U12 = 10 + (12 − 1) 3

= 10 + 11 · 3

= 10 + 33

= 43

Jadi, suku kedua belas barisan tersebut adalah 43.

Contoh 3

Suku pertama barisan aritmetika tersebut adalah 6 dan suku ketujuh adalah 24.

  1. Tentukan beda garis.
  2. Tuliskan sepuluh suku pertama dari deret tersebut. Jawaban:

Dikenal sebagai:

suku pertama = a = 6

suku ketujuh = U7 = 36

  1. a) Penentuan perbedaan:

Un = a + (n − 1) b lalu

U7 = 6 + (7 − 1) b

36 = 6 + 6b

36 − 6 = 6 b

30 = 6b

b = 5

Jadi selisih urutannya adalah 5.

  1. b) Dengan suku pertama 6 dan selisih 5 diperoleh deret aritmetika berikut.

6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

Diberikan deret aritmatika:

−8, −3, 2, 7, 12, 17, …

Temukan rumus suku ke-n yang berlaku untuk deret tersebut. Jawaban:

Dikenal sebagai:

a = U1 = −8

b = U2 – U1

= −3 − (−8)

= −3 + 8

= 5

Jadi rumus umum dari baris ini adalah

Un = a + (n − 1) b

= −8 + (n − 1) 5

= −8 + 5n − 5

= 5n − 13

Contoh 4

Setiap bulan, Ziaggi selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya.

  1. Nyatakanlah uang yang ditabung Ziaggi (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama.
  2. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12.

Jawab :

Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut.

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

Diketahui : U1 = 10

b = 1

U12 = a + (n – 1) b

= 10 + (12 – 1) 1

= 10 + 11

= 21

Jadi, uang yang ditabung Ziaggi pada bulan ke-12 adalah Rp21.000,00.

Contoh 5

Di teater, kursi diatur sehingga baris pertama 12 kursi, baris kedua 14 kursi, baris ketiga 16 kursi, dan seterusnya, selalu dua lagi. Banyaknya kursi pada baris ke 20 adalah…

Jawaban:

Contoh: Un = jumlah digit pada baris ke-n

Dikenal sebagai:

U1 = 12,

U2 = 14 dan

U3 = 16

Diminta:

U20?

Diploma:

Banyaknya kursi pada setiap baris membentuk deret aritmatika dengan a = 12 dan b = 2.

Jadi Un = a + (n – 1)b

U20 = 12 + (20 – 1)2

= 12 + (19)2

= 12 + 38

= 50

Sejarah Penemuan Rumus Aritmatika

Aritmatika (terkadang salah eja menjadi aritmatika, berasal dari kata Yunani ναριμος – arithmos = angka), atau aritmatika sebelumnya, adalah cabang (atau nenek moyang) matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan. Kata “aritmatika” sering dipandang oleh orang awam sebagai sinonim dengan teori bilangan. Pertimbangkan angka untuk pemahaman yang lebih dalam tentang teori bilangan.

Prasejarah aritmatika terbatas pada sejumlah kecil objek yang dapat mendemonstrasikan konsep penjumlahan dan pengurangan. Yang paling terkenal adalah tulang Ishango dari Afrika tengah, ditemukan antara 20.000 dan 18.000 SM. SM, meskipun interpretasinya diperdebatkan. .

Catatan tertulis paling awal menunjukkan bahwa orang Mesir dan Babilonia hidup sejak tahun 2000 SM. menggunakan semua aritmatika dasar. Artefak ini tidak selalu mengungkapkan proses spesifik yang digunakan untuk memecahkan masalah, tetapi karakteristik sistem bilangan tertentu memiliki efek penting pada kompleksitas metode tersebut. Sistem hieroglif untuk angka Mesir, serta angka Romawi kemudian, berasal dari angka yang digunakan dalam penghitungan.

Dalam kedua kasus tersebut, asal ini mengirimkan nilai yang menggunakan desimal tetapi tidak berisi karakter pengganti. Perhitungan rumit yang melibatkan angka Romawi membutuhkan bantuan spreadsheet (atau Roman swipoa) untuk mendapatkan hasilnya.

Sistem angka awal yang memasukkan notasi tempat non-desimal termasuk sistem heksadesimal (basis 60) untuk angka Babilonia dan sistem vigesimal (basis 20) yang menentukan angka Maya. Berkat konsep nilai tempat ini, kemampuan untuk menggunakan kembali angka yang sama untuk nilai yang berbeda mempromosikan cara penghitungan yang lebih sederhana dan lebih efisien.

Perkembangan sejarah yang berkelanjutan dari aritmatika modern dimulai pada peradaban Helenistik Yunani kuno, meskipun itu kembali ke contoh Babilonia dan Mesir yang jauh kemudian. Sebelum karya Euclid sekitar 300 SM. Studi matematika Yunani bersinggungan dengan keyakinan filosofis dan mistis. Misalnya, dalam Pengantar Aritmatika, Nicomachus merangkum perspektif pendekatan Pythagoras sebelumnya terhadap angka dan hubungannya satu sama lain.

Archimedes, Diophantus dan lainnya menggunakan angka Yunani untuk notasi posisi, yang tidak jauh berbeda dengan notasi modern. Orang Yunani kuno tidak memiliki simbol nol hingga periode Hellenistik, dan menggunakan tiga set simbol terpisah sebagai angka:

satu set untuk digit pertama, satu untuk digit puluhan, dan satu untuk digit ratusan.

Untuk ribuan tempat, mereka menggunakan kembali simbol ribuan tempat, dll. Algoritma penjumlahan mereka identik dengan metode modern, dan algoritma perkaliannya hanya sedikit berbeda. Algoritma pembagian panjang adalah sama, dan Archimedes (yang mungkin telah menemukannya) mengetahui algoritma akar kuadrat angka demi angka, yang masih banyak digunakan pada abad ke-20.

Dia lebih suka metode perkiraan berturut-turut Heron karena angka, setelah dihitung, tidak berubah dan merupakan akar kuadrat dari kuadrat sempurna seperti 7485692. Untuk angka dengan pecahan seperti 546,934, gunakan pangkat negatif 60 dari angka tersebut alih-alih pangkat negatif 10 dari pecahan 0,934.

Orang Cina kuno memiliki studi aritmatika yang kompleks yang berasal dari Dinasti Shang dan berlanjut ke Dinasti Tang, dari bilangan dasar hingga aljabar tingkat lanjut. Orang Cina kuno menggunakan nama tempat yang mirip dengan orang Yunani. Karena mereka juga tidak memiliki simbol untuk nol, mereka memiliki satu set simbol untuk satu dan sheet lainnya untuk puluhan.

Kemudian untuk ratusan tempat digunakan lagi simbol untuk ratusan tempat dan seterusnya. Simbol mereka didasarkan pada aturan slide lama. Tanggal pasti kapan orang Tionghoa mulai menghitung berdasarkan representasi tempat tidak diketahui, meskipun adopsi mungkin terjadi sebelum 400 SM. SM dimulai Orang Cina kuno adalah orang pertama yang menemukan, memahami, dan menggunakan angka negatif. Ini dijelaskan dalam Sembilan Bab tentang Seni Matematika (Jiuzhang Suanshu) yang diajarkan oleh Liu Hui di bab ke-2. abad SM ditulis.

Perkembangan bertahap sistem angka Hindu-Arab secara mandiri menciptakan konsep nilai tempat dan notasi tempat, yang mencakup metode penghitungan sederhana dengan desimal dan penggunaan angka yang mewakili nol. Itu memungkinkan sistem untuk mewakili bilangan bulat besar dan kecil secara konstan, sebuah pendekatan yang nantinya akan menggantikan semua sistem lainnya.

Pada awal abad ke-5, ahli matematika India Aryabhata memasukkan versi yang ada dari sistem ini ke dalam karyanya dan bereksperimen dengan berbagai notasi. Pada abad ke-7 Brahmagupta memperkenalkan 0 sebagai bilangan terpisah dan menentukan hasil perkalian, pembagian, penjumlahan dan pengurangan nol dan semua bilangan lainnya – kecuali hasil pembagian dengan nol. Rekannya, uskup Suriah Severus Sebok Gt (650 M), berkata: “Orang India memiliki metode perhitungan yang tidak dapat dipuji dengan satu kata pun. Adanya sistem matematika rasional atau metode perhitungan. Maksudku, sistemnya menggunakan sembilan simbol.” Orang Arab juga mempelajari metode baru ini dan menyebutnya Hasan.

Contoh barisan aritmatika

Meskipun Codex Vigilanus menggambarkan bentuk awal angka Arab (tanpa 0) pada tahun 976, Leonardo de Pisa (Fibonacci) terutama bertanggung jawab untuk menyebarkan penggunaannya ke seluruh Eropa setelah menerbitkan bukunya Liber Abaci pada tahun 1202. Dia menulis: The Method of the Orang India (dalam bahasa Latin Modus Indoram) melampaui semua metode perhitungan yang dikenal. Ini adalah metode yang luar biasa. Mereka melakukan perhitungan dengan menggunakan sembilan angka dan simbol nol.

Pada Abad Pertengahan, aritmatika adalah salah satu dari tujuh seni yang diajarkan di universitas. Berkembangnya aljabar di dunia Islam Abad Pertengahan dan juga di Eropa Renaisans disebabkan oleh penyederhanaan angka desimal.

Berbagai alat telah ditemukan dan digunakan secara luas untuk membantu perhitungan numerik. Sebelum Renaisans, mereka adalah biara yang terpisah. Contoh yang lebih baru adalah aturan transfer, nomogram dan kalkulator mekanik seperti kalkulator Pascal. Hari ini mereka telah digantikan oleh kalkulator saku dan kalkulator elektronik.

Sobat Grameds. Demikianlah artikel mengenai pengertian, rumus, dan contoh soal barisan aritmatika Dengan adanya artikel ini diharapkan kalian dapat mengetahui materi tentang arimatika.

Jika kalian ingin mengetahui lebih banyak lagi tentang aritmatika, kalian dapat membeli buku yang tersedia di Gramedia. Gramedia sebagai #SahabatTanpaBatas telah menyediakan berbagai buku berkualitas yang bisa kalian miliki. Yuk Grameds, beli bukunya sekarang juga!

Penulis: Ziaggi Fadhil Zahran

Baca juga:

Deret Aritmatika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Operasi Perkalian Bilangan Bulat: Pengertian, Rumus, dan Soalnya

Barisan dan Deret Aritmetika: Pengertian, Rumus, dan Contoh Soal

Rumus Bola: Volume, Luas Permukaan, dan Contoh Soal

Algoritma: Pengertian, Sejarah, Jenis, Fungsi, dan Contohnya

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.