Matematika

Rumus Pencerminan Transformasi Geometri dan Contoh Soalnya!

Written by Hendrik Nuryanto

Rumus Pencerminan – Pada dasarnya, disiplin ilmu Matematika itu memiliki cabang-cabangnya tersendiri. Mulai dari aljabar, statistika, matematika terapan, hingga geometri.

Nah, dalam cabang ilmu geometri itu sendiri terdapat pula materi mengenai pencerminan alias refleksi, tepatnya pada bab Transformasi Geometri. Istilah pencerminan atau refleksi ini memang biasanya muncul dalam buku pelajaran Fisika, tetapi ternyata di ilmu Matematika pun juga ada. Sama halnya dengan materi Matematika pada umumnya, pada bab pencerminan ini tentu saja memiliki rumus tersendiri.

Lantas, apa sih rumus pencerminan dalam ilmu matematika itu? Bagaimana pula penjelasan dari konsep pencerminan atau refleksi ini? Nah, supaya Grameds memahami hal-hal tersebut, yuk simak ulasannya berikut ini!

Rumus Pencerminan

https://www.mathematics-monster.com/

Apa Rumus Pencerminan Dalam Matematika?

Menurut beberapa sumber, rumus pencerminan dalam matematika itu jumlah ada 4 yang didasarkan pada bagaimana sumbu dan garis yang mengaturnya. Hampir seperti materi Sumbu Kartesius, maka sumbu dan garis yang digunakan adalah X dan Y.

1. Pencerminan Terhadap Sumbu X dan Sumbu Y: (x, y) → (x, -y)

Pencerminan Terhadap Sumbu X

Menurut zenius.net, rumus pencerminan ini hanya akan dapat digunakan apabila pencerminan alias refleksi terjadi terhadap adanya sumbu X dan sumbu Y. Perlu diingat kembali ya bahwa konsep dasar dari materi pencerminan adalah jarak objek ke cermin = jarak bayangan ke cermin. 

Nah, apabila cermin tersebut diibaratkan sebagai sebuah sumbu X, maka rumus pencerminannya menjadi: (x, y) → (x, -y). Coba perhatikan gambaran ilustrasi dari pencerminan yang terjadi terhadap sumbu X berikut ini!

Rumus Pencerminan

https://www.zenius.net/

Pencerminan Terhadap Sumbu Y

Jika gambaran ilustrasi sebelumnya menunjukkan pencerminan terhadap sumbu Y, lalu  bagaimana dengan pencerminan terhadap sumbu Y? Tentu saja akan dicerminkan dari sumbu X, yakni rumusnya menjadi: (x, y) → (-x, y). Berikut gambaran ilustrasi dari pencerminan yang terjadi terhadap sumbu Y!

Rumus Pencerminan

https://www.zenius.net/

2. Pencerminan Terhadap Garis Y = X dan Y = -X

Rumus pencerminan selanjutnya berkaitan dengan adanya garis Y = X dan Y = -X. Rumus ini masih menggunakan konsep yang sama kok dengan sebelumnya. Hanya saja, pada pencerminan garis Y = X dan Y = -X ini, tentunya rumus pencerminan akan berbeda, menjadi: (x, y) →  (x’, y’)

Berdasarkan rumus pencerminan tersebut hanya dapat terjadi dengan keterangan bahwa:

  • x’ = y dan y’ = x terletak pada garis Y = X
  • x’ = -y dan y’ = -x terletak pada garis Y = -X

Misalnya, terdapat sebuah soal yang menyatakan adanya titik potong (4, 2) dengan pencerminan terhadap garis Y = X dan Y = -X. Maka gambarnya akan menjadi berikut ini!

Rumus Pencerminan

https://www.zenius.net/

3. Pencerminan Terhadap Garis X = H dan Y = K

Rumus pencerminan yang ketiga berkenaan dengan adanya garis X = H dan Y = K. Untuk pencerminan ini, memang agak sulit ya… tetapi coba kita pahami pelan-pelan melalui rumusnya terlebih dahulu. Konsep dari rumus pencerminan ini adalah sebagai berikut.

  • Pencerminan terhadap garis X = H

(x, y) →  (2H – x, y)

  • Pencerminan terhadap garis Y = K

(x, y) →  (x, 2k – y)

Nah, rumus tersebut jika diterapkan dalam titik potong (4, 2) maka akan menghasilkan gambar berikut ini.

Rumus Pencerminan

https://www.zenius.net/

Setelah Grameds memperhatikan gambar tersebut, pada X = H, anggap saja koordinat y akan selalu sama, sementara koordinat x akan selalu berubah. Jika Grameds bertanya-tanya, bagaimana cara mengetahui jarak dari H ke titik tersebut? Jawabannya adalah jarak dapat diketahui dengan menggunakan rumus “jarak H dikurangi jarak titik tersebut”. Nah, pada gambar tersebut jelas jaraknya adalah 1, dengan cara H – X = 3 – 2.

Nah, setelah tahu cara menghitung jarak antara H dan X, maka selanjutnya adalah menghitung letak X’. Caranya adalah dengan menambah H dengan hasil operasi sebelumnya (X’). Jika disusun menjadi rumus maka: X’ = H + (H – X). Apabila sudah mengetahui rumusnya, Grameds hanya tinggal memasukkan angkanya saja menjadi:

⇔ X’ = 2H – X

⇔ X’ = 2(3) – 2

⇔ X’ = 6 – 2

⇔ X’ = 4

Lalu, bagaimana dengan Y = K? Misalnya dengan tetap melihat pada gambar ilustrasi sebelumnya, maka hanya di-kebalikan saja seperti yang sebelumnya, yakni koordinat x akan selalu sama, sementara koordinat y akan selalu berubah. Untuk cara menghitungnya, masih tetap sama kok. Misalnya, Grameds hendak mencari berapa nilai dari Y’, maka penyelesaiannya harus menentukan nilai K dan Y terlebih dahulu, dengan cara jarak H dikurangi jarak titik tersebut.

⇔ H = K – Y

⇔ H = 3 – 2

⇔ H = 1

Nah, setelah itu, barulah memasukkan angka-angka yang sudah ada pada rumusnya.

⇔ Y’ = 2K – Y

⇔ Y’ = 2(3) – 2

⇔ Y’ = 6 – 2

⇔ Y’ = 4

4. Pencerminan Terhadap Titik Asal (O,O)

Rumus pencerminan yang terakhir adalah terjadi terhadap titik asal (O, O). Untuk itu, maka harus menggunakan rumus berupa: (x, y) →  (-x, -y). Penerapan rumus tersebut dapat dilihat pada gambar ilustrasi berikut ini!

Rumus Pencerminan

https://www.zenius.net/

Memahami Kembali Materi Pencerminan Pada Transformasi Geometri

https://www.cuemath.com/

Pada dasarnya, cabang ilmu Transformasi Geometri ini akan dipelajari oleh peserta didik ketika duduk di bangku kelas XII. Transformasi pada ini jika diibaratkan maka akan menjadi proses perpindahan suatu benda dari suatu kedudukan ke kedudukan lain. Benda tersebut dapat berupa titik, ruas garis, garis, maupun bangun datar.

Sementara itu, transformasi geometri pada ilmu matematika justru memberikan definisi sebuah operasi yang diberikan pada gambaran geometri dari suatu objek yang mengubah posisi, orientasi, maupun ukurannya. Maka dari itu, materi bab ini tentunya akan membahas mengenai perubahan letak maupun penyajian objek yang didasarkan pada gambar dan matriks. Nah, keberadaan transformasi geometri ini mencangkup translasi (pergeseran), rotasi (perputaran), refleksi (pencerminan), dan dilatasi (perubahan ukuran).

1. Translasi (Pergeseran)

Rumus Pencerminan

https://www.cuemath.com/

Bentuk pertama dari transformasi geometri adalah translasi alias pergeseran. Konsep dasar dari translasi ini adalah suatu transformasi (perpindahan) yang digambarkan dengan adanya perpindahan setiap titik pada suatu bidang, dengan didasarkan pada jarak dan arah tertentu. Nah, berhubung materi transformasi geometri ini berkenaan dengan titik, ruas garis, garis, maupun bangun datar, maka akan lebih mudah menggunakan pendekatan bidang cartesius.

Dalam hal ini, asumsikan saja pada bidang cartesius tersebut, untuk pergeseran ke kanan maka merupakan sumbu X positif; kemudian pada pergeseran ke kiri merupakan sumbu X negatif. Lalu, pada pergeseran ke atas merupakan sumbu Y positif; dan pergeseran ke arah bawah merupakan sumbu Y negatif. Supaya lebih mudah, berikut ini konsep penggambarannya.

Kanan = X positif Atas = Y positif
Kiri = X negatif Bawah = Y negatif

Berdasarkan pada Modul Pembelajaran SMA: Matematika Umum Kelas XI, ada beberapa hal yang perlu diketahui mengenai translasi (pergeseran) ini, yakni:

  • keberadaan translasi (pergeseran) ini pada titik A (x, y) apabila ditranslasikan oleh T (ab) maka akan menghasilkan bayangan A’ (x’, y’), tetapi ditulis dengan bentuk:

  • Bentuk persamaan matriks translasi adalah:
  • T (ab) dianggap sebagai komponen translasi. Sementara a adalah pergeseran secara horizontal dan b adalah pergeseran secara vertikal.
  • Titik A’ disebut sebagai bayangan titik A yang telah mengalami proses transformasi.

2. Rotasi (Perputaran)

Rumus Pencerminan

https://wikimedia.org/

Bentuk kedua dari materi bab transformasi geometri adalah rotasi (perputaran). Rotasi alias perputaran ini adalah transformasi (perpindahan) yang menghubungkan suatu titik dengan bayangannya, kemudian digambarkan dengan perpindahan suatu titik yang memutari titik pusat dan sudut tertentu. Berhubung rotasi ini menjadi bentuk transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh α terhadap suatu titik tertentu, maka rotasinya pada bidang datar akan ditentukan oleh:

  • Titik pusat rotasi
  • Besar sudut rotasi
  • Arah sudut rotasi

Sudut rotasi adalah sudut antara garis yang menghubungkan dengan titik asal, sedangkan pusat rotasi adalah yang menghubungkan titik bayangan dengan pusat rotasi. Perlu dipahami bahwa jika arah rotasi diputar searah jarum jam, maka besaran sudut rotasinya akan negatif (-α). Sementara itu, jika arah rotasi diputar berlawanan jarum jam, maka besar sudut rotasinya akan positif (α).

Rotasi tersebut akan dinotasikan menjadi bentuk R(P, α), dengan aturan bahwa P adalah pusat rotasi, sementara α  adalah besar sudut rotasi.

3. Refleksi (Pencerminan)

https://turtlediary.com/

Bentuk ketiga dari transformasi geometri adalah refleksi alias pencerminan. Refleksi alias pencerminan ini menjadi transformasi (perpindahan) yang menghasilkan bayangan melalui cerminan dari suatu objek. Dalam hal ini, bukan berarti kita menggunakan cermin beneran ya… tetapi digambarkan pada sebuah garis.

Berdasarkan pada Modul Pembelajaran SMA: Matematika Umum Kelas XI, ada beberapa sifat dari refleksi ini, yakni.

  1. Jarak dari titik asal ke cermin = jarak cermin ke titik bayangan.
  2. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan, akan tegak lurus terhadap cermin.
  3. Garis-garis yang terbentuk antara titik asal-asal dengan titik-titik bayangan, akan saling sejajar satu sama lain.

Jenis-jenis refleksi alias pencerminan ini ada 4 yakni

  1.  Refleksi atau Pencerminan Terhadap Sumbu X
  2. Refleksi atau Pencerminan Terhadap Sumbu Y
  3. Refleksi atau Pencerminan Terhadap Garis y = x
  4. Refleksi atau Pencerminan Terhadap Titik Asal (0,0)
  5. Refleksi atau Pencerminan Terhadap Garis y = -x
  6. Refleksi atau Pencerminan Terhadap Garis x = h
  7. Refleksi atau Pencerminan Terhadap Garis y = k

Nah, beberapa rumus-rumus pada jenis-jenis refleksi tersebut sudah dijelaskan sebelumnya ya…

4. Dilatasi

https://byjus.com/

Dilatasi menjadi bentuk transformasi geometri keempat yang menghubungkan suatu benda dengan bayangannya, tetapi menggunakan skala tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi; sementara faktor skala dan titik tertentu disebut sebagai pusat dilatasi. Pada dilatasi ini, bangun yang diperbesar maupun diperkecil menggunakan skala k, tentunya dapat mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuknya. Nah, perlu diperhatikan beberapa hal berikut ini!

  • Jika 𝑘 > 1, maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap sudut dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika 𝑘 = 1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.
  • Jika 0 < 𝑘 < 1, maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika −1 < 𝑘 < 0, maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika 𝑘 = −1, maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
  • Jika 𝑘 < −1, maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

30+ Latihan Soal Materi Transformasi Geometri

Latihan Soal Translasi

  1. Tentukan hasil bayangan titik 𝐴(3, 5) oleh translasi 𝑇 (-24) !
a. A’ (5, 1) b. A’ (3, 7) c. A’ (7, -1) d. A’(7, 3) e. A’ (1, 9)
  1. Diketahui titik 𝑃′(4, −12) adalah bayangan titik P oleh translasi 𝑇 = (-98). Koordinat titik 𝑃 adalah …
a. (13, −20) b. (13, −4) c. (4, 20) d. (−5, −4) e. (−5, −20)
  1. Titik 𝐴 ditranslasikan oleh 𝑇 = (6-3) menghasilkan titik 𝐴′(4, −2). Koordinat titik 𝐴 adalah …
a. (10, −5) b. (10,1) c. (2, −1) d. (−2,1) e. (−2, −1)
  1. Diketahui translasi 𝑇 memetakan titik 𝐶(−4, 2) ke titik 𝐶′(−1, 6). Translasi 𝑇 akan memetakan titik 𝐷(3, −2) ke titik …
a. 𝐷 ′ (0,4) b. 𝐷 ′ (0, 2) c. 𝐷 ′ (0, −6) d. 𝐷 ′ (6, −6) e. 𝐷 ′ (6, 2)
  1. Segitiga PQR mempunyai koordinat 𝑃(−3, 4),𝑄(−1,0), dan 𝑅(0, 2). Segitiga PQR ditranslasikan oleh 𝑇 menghasilkan bayangan segitiga 𝑃′𝑄′𝑅′. Jika koordinat titik 𝑃′(1, −2), koordinat titik 𝑄′ dan 𝑅′ berturut-turut adalah …
a. (3, −6) dan (4, −4) b. (3, −6) dan (−4, 4) c. (−3, 6) dan (4, −4) d. (−3, 6) dan (−4, 4) e. (−3, −6)dan (4, −4)

Latihan Soal Rotasi

  1. Titik 𝐴(−2, 3) dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (0, 0). Hasil rotasi titik 𝐴 adalah…
  2. Titik 𝐷(6 3) dirotasikan sebesar 270° terhadap titik pusat (2, 4). Hasil rotasi titik 𝐷 adalah…
  3. Titik 𝐵 dirotasikan sebesar 90° terhadap titik pusat (2, 1) menghasilkan bayangan 𝐵′(−2, 4). Koordinat titik 𝐵 adalah…
  4. Titik 𝐶 dirotasikan sebesar 180° terhadap titik pusat (2, 3) menghasilkan bayangan 𝐶′(4, −1). Koordinat titik 𝐶 adalah…
  5. Bayangan titik (4, −5) oleh rotasi 𝑅[𝑃, 90°] adalah (10, 5). Titik pusat rotasi tersebut adalah…
  6. Diketahui segitiga 𝑃𝑄𝑅 dengan koordinat titik sudut 𝑃(3, 2), 𝑄(4, −1) dan 𝑅(5, 3). Segitiga PQR diputar sebesar 180° terhadap titik pusat (0,0) diperoleh bayangan segitiga P’Q’R’. Koordinat 𝑃 ′ , 𝑄′ dan 𝑅′ berturut-turut adalah…
  7. Diketahui segitiga 𝐴𝐵𝐶 dengan koordinat titik sudut 𝐴(−3, 2), 𝐵(2, 4) dan 𝐶(−1, −1). Segitiga ABC diputar sebesar −𝜋 terhadap titik pusat (5,1) diperoleh bayangan segitiga A’B’C’. Koordinat 𝐴 ′ ,𝐵′ dan 𝐶′ berturut-turut adalah…
  8. Persamaan garis 2𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 dirotasikan dengan pusat (0, 0) sebesar 90° berlawanan arah jarum jam. Tentukan persamaan bayangannya!
  9. Lingkaran 𝐿: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 9 dirotasikan sebesar 90° terhadap titik 𝑃(2, −1). Persamaan lingkaran hasil rotasi tersebut adalah…

Latihan Soal Refleksi

  1. Titik 𝐴(3, −5) dicerminkan terhadap titik asal (0, 0). Koordinat bayangan titik A adalah…
  2. Titik 𝑃(5, − 4) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 𝑥. Koordinat bayangan titik 𝑃 adalah…
  3. Titik 𝑄(−3, 7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥. Koordinat bayangan titik 𝑄 adalah…
  4. Titik 𝑆(4, 7) dicerminkan terhadap garis 𝑦 = 2. Koordinat bayangan titik 𝑆 adalah…
  5. Tentukan koordinat titik asal pada titik 𝐵′(5, 2) setelah direfleksi terhadap garis 𝑥 = 3
  6. Tentukan bayangan bangun segitiga ABC dengan 𝐴(1, 2), 𝐵(3, −2) dan 𝐶(4,1) akan direfleksikan oleh 𝑀𝑦
  7. Jika garis 2𝑦 − 3𝑥 + 6 = 0 direfleksikan terhadap sumbu 𝑥, maka persamaan bayangan garis adalah…
  8. Jika garis 𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka persamaan bayangannya adalah…
  9. Parabola 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 dicerminkan terhadap sumbu y. Tentukan persamaan bayangan parabola!
  10. Lingkaran 𝑥 2 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 5𝑦 − 3 = 0 dicerminkan terhadap garis 𝑦 = −𝑥. Persamaan bayangan lingkaran adalah…

Latihan Soal Dilatasi

  1. Titik 𝐴(−2, −5) didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (0, 0). Hasil dilatasi titik 𝐴 adalah…
  2. Titik 𝐵 didilatasikan dengan faktor skala −2 terhadap titik pusat (0, 0) menghasilkan titik 𝐵′(−4, 6). Koordinat titik 𝐵 adalah…
  3. Titik 𝐴(2, −3) didilatasikan dengan faktor skala 3 terhadap titik pusat (1, −2). Hasil dilatasi titik 𝐴 adalah…
  4. Bayangan titik 𝑄(2, −1) oleh dilatasi terhadap titik pusat (3, 4) dengan faktor skala −3 adalah…
  5. Titik 𝐷 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (2, −3) menghasilkan titik 𝐷′(3, 6). Koordinat titik 𝐷 adalah…
  6. Titik 𝐶(−2, −1) didilatasikan dengan faktor skala 𝑘 terhadap titik pusat (0, −3) menghasilkan titik 𝐶′(4, −7). Nilai 𝑘 yang memenuhi adalah…
  7. Titik 𝑅(−4, −2) didilatasikan dengan faktor skala 1 3 dilanjutkan dengan dilatasi faktor skala −2 terhadap titik pusat (−1, 1). Hasil dilatasi titik 𝑅 adalah…
  8. Persamaan bayangan garis 4𝑥 − 𝑦 + 6 = 0 oleh dilatasi [𝑂, −2] adalah…
  9. Garis 𝑔 ∶ 𝑥 + 2𝑦 − 4 = 0 didilatasikan dengan faktor skala 2 terhadap titik pusat (0, 0). Hasil dilatasi garis 𝑔 adalah…

Sumber:

https://www.zenius.net/

Istiqomah. (2020). Modul Pembelajaran SMA: Matematika Umum Kelas XII. Kemendikbud. SMAN 5 Mataram.

https://eprints.uny.ac.id/55444/2/2.%20BAB%20II.pdf

About the author

Hendrik Nuryanto

Saya Hendrik Nuryanto dan biasa dipanggil dengan nama Hendrik. Salah satu hobi saya adalah menulis berbagai macam tema, seperti teknologi, hingga rumus-rumus beserta soalnya.