bilangan rasional – Halo, Grameds! Dalam dunia matematika, kita mengenal berbagai jenis bilangan yang memiliki karakteristik dan sifat berbeda. Salah satunya adalah bilangan rasional. Mungkin kamu sudah sering mendengar istilah bilangan ini, tapi apakah kamu tahu sebenarnya apa yang dimaksud dengan bilangan rasional?
Dalam matematika, ada banyak jenis bilangan yang perlu kamu ketahui, mulai dari bilangan pecahan, bilangan asli, bilangan prima, bilangan rasional, hingga bilangan irasional. Masing-masing memiliki peran penting dalam pemahaman konsep matematika yang lebih luas.
Nah, kali ini kita akan fokus membahas salah satu jenis bilangan yang sering digunakan, yaitu bilangan rasional.
Apa sebenarnya yang dimaksud dengan bilangan rasional? Bagaimana cara membedakan bilangan rasional dengan bilangan irasional? Selanjutnya, kita akan melihat beberapa sifat-sifat bilangan rasional yang penting untuk dipahami.
Semua pertanyaan ini akan dijawab dalam artikel ini, Grameds, jadi pastikan untuk terus simak pembahasan selanjutnya, ya!
Daftar Isi
Pengertian Bilangan Rasional
Bilangan rasional, atau yang lebih dikenal dengan bilangan pecahan, adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk a/b, di mana a dan b adalah bilangan bulat, dengan syarat b ≠ 0. Dalam hal ini, a disebut sebagai pembilang dan b sebagai penyebut.
Himpunan bilangan rasional, yang dilambangkan dengan simbol Q, mencakup pecahan positif, pecahan negatif, serta bilangan bulat. Dengan demikian, bilangan rasional mencakup angka yang dapat diwakili sebagai pecahan, seperti ½ , ¾ , dan -7/3, serta angka bulat seperti 5, -8, dan 0.
Salah satu karakteristik unik dari bilangan rasional adalah kemampuannya untuk diubah menjadi bentuk desimal. Angka desimal tersebut bisa berhenti pada suatu angka tertentu, atau jika tidak berhenti, akan membentuk pola pengulangan yang teratur.
Sebagai contoh, ⅓ akan menjadi 0.333…, yang terus mengulang angka 3.
Jenis Bilangan Rasional
Bilangan rasional dapat dinyatakan dalam dua bentuk utama, yaitu pecahan dan desimal. Untuk memahami lebih lanjut mengenai kedua bentuk ini, yuk simak penjelasannya di bawah ini, Grameds!
-
Rasional Pecahan
Bilangan rasional dalam bentuk pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut, yang dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, yaitu:
-
Pecahan Murni
Bentuk pecahan di mana pembilang lebih kecil dari penyebut, dengan penyebut tidak boleh sama dengan nol.
Contoh: ⅗ , 5/7.
-
Pecahan Campuran
Gabungan antara bilangan bulat dan pecahan, di mana penyebut pecahan lebih kecil dari pembilangnya, dan penyebut tidak boleh sama dengan nol.
Contoh: 2 ⅗ , 4 ⅓ .
-
Pecahan Palsu
Pecahan di mana pembilang lebih besar atau sama dengan penyebut dan hasil bagi antara pembilang dan penyebut adalah bilangan bulat.
Contoh: 5/1, 15/5.
-
Rasional Desimal
Bilangan rasional juga dapat dinyatakan dalam bentuk desimal, yang terbagi menjadi dua jenis, yaitu:
-
Rasional Desimal Terbatas
Desimal yang memiliki jumlah digit yang terbatas setelah titik desimal.
Contoh: 0.30, 0.35, 0.357.
-
Rasional Desimal Tak Terbatas Berulang
Desimal yang memiliki angka yang terus berulang tanpa akhir. Meskipun tak terbatas, angka-angka tersebut tetap mengikuti pola tertentu.
Contoh: 0.5555…. atau 0.345345345….
Perbedaan Bilangan Rasional dan Irasional
Bilangan rasional dan bilangan irasional adalah dua kategori utama dalam sistem bilangan real. Meskipun keduanya termasuk dalam kategori bilangan real, keduanya memiliki karakteristik yang sangat berbeda. Berikut adalah perbedaan utama antara bilangan rasional dan irasional yang wajib Grameds ketahui.
| Bilangan Rasional | Bilangan Irasional |
| Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan abba, di mana a dan b adalah bilangan bulat (integer), dan b tidak sama dengan nol. | Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak bisa dinyatakan dalam bentuk pecahan antara dua bilangan bulat. Artinya, mereka tidak dapat ditulis sebagai abba dengan a dan b adalah bilangan bulat. |
| Bilangan rasional memiliki representasi desimal yang bisa berhenti pada angka tertentu atau membentuk pola yang berulang. Misalnya, ⅓ = 0.333… (berulang). | Bilangan irasional memiliki representasi desimal yang tidak berulang dan tidak berhenti. Mereka terus berlanjut tanpa pola yang dapat diulang. |
| Contoh: ½ , ¾ , 7, -5, 0.25 (semua dapat dituliskan sebagai pecahan antara dua bilangan bulat). | Contoh: ππ, 22, dan e (bilangan Euler). Nilai desimal dari ππ misalnya, adalah 3.1415926535… yang terus berlanjut tanpa henti. |
Perbedaan utama antara bilangan rasional dan irasional terletak pada kemampuan bilangan tersebut untuk ditulis sebagai pecahan antara dua bilangan bulat. Bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk pecahan, sementara bilangan irasional tidak dapat ditulis demikian dan memiliki desimal yang tidak berulang.
Sifat-Sifat Bilangan Rasional
1. Tertutup terhadap Operasi Penjumlahan dan Perkalian
Bilangan rasional memiliki sifat tertutup, artinya jika dua bilangan rasional dijumlahkan atau dikalikan, hasilnya tetap bilangan rasional.
2. Sifat Komutatif
Operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan rasional mengikuti hukum komutatif, yang berarti urutan bilangan tidak mempengaruhi hasilnya.
Misalnya, a+b = b+a dan a×b = b×a.
3. Sifat Asosiatif
Sifat asosiatif berlaku pada penjumlahan dan perkalian bilangan rasional, di mana hasil operasi tidak dipengaruhi oleh pengelompokan angka-angka yang terlibat.
Contoh: (a+b)+c = a+(b+c) dan (a×b)×c = a×(b×c).
4. Sifat Distributif
Bilangan rasional memenuhi hukum distribusi dalam perkalian terhadap penjumlahan. Contoh: a×(b+c) = a×b+a×c
5. Identitas Penjumlahan dan Perkalian
Bilangan rasional memiliki elemen identitas, yaitu 0 untuk penjumlahan dan 1 untuk perkalian. Untuk setiap bilangan rasional a, berlaku a+0 = a dan a×1 = a.
6. Invers (Kebalikan)
Setiap bilangan rasional memiliki invers untuk penjumlahan dan perkalian.
7. Dapat Dikalikan dengan Nol (0)
Bilangan rasional tetap dapat dikalikan dengan nol, yang menghasilkan hasil nol, yaitu a×0 = 0.
8. Bentuk Desimal Berulang
Bilangan rasional, ketika ditulis dalam bentuk desimal, dapat memiliki dua kemungkinan: desimal yang terbatas (misalnya 0.75) atau desimal yang berulang (misalnya 0.3333…).
Contoh Soal Bilangan Rasional
Berikut contoh soal dan pembahasan terkait bilangan rasional untuk menambah wawasanmu, Grameds.
-
Penjumlahan Bilangan Rasional
Misalkan kita ingin menjumlahkan dua bilangan rasional: ⅓ + ⅖
Langkah-langkah penyelesaian:
- Cari KPK dari penyebut 3 dan 5, yaitu 15. Ubah pecahan menjadi penyebut yang sama:
⅓ = 5/15, ⅖ = 6/15
- Kemudian jumlahkan:
5/15 + 6/15 = 11/15
Hasil: ⅓ + ⅖ = 11/15
-
Pengurangan Bilangan Rasional
Misalkan kita ingin mengurangi dua bilangan rasional: ⅞ − ¾
Langkah-langkah penyelesaian:
- Cari KPK dari penyebut 8 dan 4, yaitu 8. Ubah pecahan menjadi penyebut yang sama:
⅞ = ⅞, ¾ = 6/8
- Kemudian kurangkan:
⅞ − 6/8 = ⅛
Hasil: ⅞ − ¾ = ⅛
-
Perkalian Bilangan Rasional
Misalkan kita ingin mengalikan dua bilangan rasional: ¾ × ⅖
Langkah-langkah penyelesaian:
- Kalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut:
¾ × ⅖ = (3×2) / (4×5) = 6/20
- Sederhanakan:
6/20 = 3/10
Hasil: ¾ × ⅖ = 3/10
-
Pembagian Bilangan Rasional
Misalkan kita ingin membagi dua bilangan rasional: ⅚ ÷ ⅔
Langkah-langkah penyelesaian:
- Kalikan dengan invers pecahan kedua:
⅚ × 3/2 = (5×3) / (6×2) = 15/12
- Sederhanakan:
15/12 = 5/4
Hasil: ⅚ ÷ ⅔ = 5/4
-
Bilangan Rasional dalam Bentuk Desimal
Misalkan kita ingin mengubah pecahan ⅞ menjadi bentuk desimal.
Langkah-langkah penyelesaian:
- Untuk mengubah pecahan ⅞ menjadi bentuk desimal, kamu cukup membagi pembilang dengan penyebutnya.
⅞ = 7 : 8 = 0,875
Hasil: 0,875
Kesimpulan
Grameds, bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan abba, di mana a dan b adalah bilangan bulat dan b tidak sama dengan nol.
Bilangan rasional juga dapat ditulis dalam bentuk desimal yang terbatas atau berulang. Sifat-sifat bilangan rasional meliputi tertutup terhadap operasi penjumlahan, perkalian, dan pembagian, serta mengikuti hukum komutatif, asosiatif, dan distributif. Dengan pemahaman ini, kamu dapat dengan mudah mengoperasikan bilangan rasional dalam berbagai konteks matematika.
Rekomendasi Buku Untuk Belajar Matematika
1. Kunci Sukses Matematika : Koleksi Rumus Dan Contoh Soal
Buku Kunci Sukses Matematika: Koleksi Rumus dan Contoh Soal merupakan panduan praktis yang menyajikan matematika sebagai alat bantu dalam kehidupan sehari-hari. Tak sekadar memuat kumpulan rumus dan teori, buku ini mengajak pembaca untuk memahami penerapan konsep-konsep matematika dasar dalam konteks yang nyata dan relevan.
Mulai dari materi aritmetika, aljabar dasar, geometri, hingga statistik, setiap bab disusun secara sistematis dan dilengkapi dengan contoh-contoh praktis—seperti menghitung bunga bank, mengelola anggaran, membaca grafik, atau menganalisis data dari berita. Tujuannya adalah agar pembaca dapat melihat bahwa matematika bukan hanya soal angka, tapi juga solusi dari berbagai persoalan harian.
2. MATEMATIKA DASAR
Buku ini berjudul Matematika Dasar dan menyajikan materi-materi fundamental yang menjadi pondasi penting dalam pembelajaran matematika. Buku ini terdiri dari 10 bab utama yang mencakup berbagai topik, dimulai dari Bab 1 tentang Logika, dilanjutkan dengan Himpunan, Relasi dan Fungsi, serta Metode Pembuktian yang menjadi dasar berpikir matematis.
Selanjutnya, pembaca akan mempelajari Persamaan dan Pertidaksamaan Linear di Bab 5, serta Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat di Bab 6. Buku ini juga membahas topik yang sering dijumpai dalam berbagai aplikasi, seperti Sistem Persamaan Linear, Matriks, Barisan dan Deret, hingga Peluang di bab terakhir.
Dengan urutan yang sistematis dan bahasa yang mudah dipahami, buku ini cocok digunakan oleh pelajar, mahasiswa, maupun siapa saja yang ingin memperkuat dasar-dasar matematika mereka.
3. Rumus Pocket Matematika SMA Kelas X, XI, XII
Buku ini disusun sebagai panduan belajar yang komprehensif dan efektif bagi siswa SMA/MA dalam mempersiapkan diri menghadapi berbagai jenis evaluasi, mulai dari Penilaian Harian hingga seleksi masuk perguruan tinggi.
Keunggulan utama buku ini meliputi:
- Memuat soal-soal HOTS (Higher Order Thinking Skills) yang dirancang untuk melatih kemampuan berpikir tingkat tinggi.
- Menyediakan ringkasan materi-materi penting yang telah disesuaikan dengan Kurikulum 2013, sehingga memudahkan siswa dalam memahami pokok bahasan.
- Dilengkapi contoh soal dan pembahasan yang diambil dari soal-soal yang sering muncul dalam Ujian Nasional dan SBMPTN.
- Menyediakan latihan soal lengkap dengan pembahasannya untuk menguji dan memperkuat pemahaman siswa.
- Pembahasan dilengkapi dengan trik atau strategi penyelesaian yang membantu siswa menemukan jawaban dengan cara yang lebih cepat dan efisien.
Buku ini juga terintegrasi dengan berbagai aplikasi digital pendukung belajar, yaitu:
- Aplikasi UNBK SMA/MA untuk Android
- Aplikasi UNBK SMA/MA untuk Windows PC
- Aplikasi UTBK SBMPTN untuk Android
- Aplikasi UTBK SBMPTN untuk Windows PC
- Video pembahasan untuk soal UN, SBMPTN, SIMAK UI, dan UTUL UGM Matematika
Dengan seluruh keunggulan tersebut, buku ini sangat sesuai digunakan sebagai bekal menghadapi Penilaian Harian (PH), Penilaian Tengah Semester (PTS), Penilaian Akhir Semester (PAS), Penilaian Akhir Tahun (PAT), Ujian Nasional (UN), Ujian Sekolah Berstandar Nasional (USBN), Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SBMPTN), Seleksi Masuk UI (SIMAK UI), dan Ujian Tulis UGM (UTUL UGM).
4. Kamus Matematika
Kamus Matematika ini menyajikan berbagai istilah penting dalam bidang aljabar, geometri, kalkulus, dan statistika. Setiap entri dipilih dengan teliti dari beragam buku pelajaran dan literatur dasar matematika. Penjelasannya disusun secara singkat dan menggunakan bahasa yang mudah dipahami, sehingga cocok untuk semua kalangan. Untuk memperkuat pemahaman, kamus ini dilengkapi dengan contoh-contoh serta ilustrasi yang relevan. Selain itu, tersedia pula linimasa perkembangan matematika, profil tokoh-tokoh penting, serta berbagai tabel penunjang seperti tabel logaritma, diferensial-integral, dan kumpulan rumus-rumus utama. Kamus ini sangat bermanfaat sebagai sumber referensi bagi siswa sekolah, guru, mahasiswa, maupun masyarakat umum yang ingin memperdalam pemahaman mereka di bidang matematika.
5. Pengantar Matematika Pemula
Pengantar Matematika Pemula adalah buku yang menjembatani pemahaman dasar-dasar matematika dalam konteks ekonomi dan bisnis. Seperti yang diketahui, ilmu ekonomi dan bisnis bersifat semi-eksakta—artinya, selain pendekatan kualitatif, pemahaman yang utuh juga memerlukan analisis kuantitatif. Di sinilah peran matematika menjadi sangat penting sebagai alat bantu analisis.
Buku ini dirancang khusus untuk membantu mahasiswa dan siapa pun yang ingin memahami ekonomi dan bisnis dengan pendekatan matematis. Di dalamnya dijelaskan bagaimana matematika terapan digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan ekonomi secara sistematis dan logis. Dengan menyoroti perbedaan antara matematika murni dan matematika ekonomi, buku ini memberikan landasan kuat bagi pembaca untuk memasuki kajian-kajian ekonomi yang lebih lanjut.
Cocok untuk pemula, buku ini menggunakan bahasa yang ringan dan disertai contoh penerapan nyata dalam dunia ekonomi dan bisnis.
